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专题04 特殊三角形（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）
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这是一份专题04 特殊三角形（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版），文件包含专题04特殊三角形难点原卷版docx、专题04特殊三角形难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题D．定理一定有逆命题
【答案】C
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A．真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，不符合题意；
B．原命题是假命题，则它的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，不符合题意；
C．命题一定有逆命题，故本选项正确，符合题意；
D．定理不一定有逆命题，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，也考查了逆命题，逆定理．
2．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度．
【解析】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，
过作交的延长线于，
则四边形是矩形，
，，
连接，则即为最短距离，
高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
，，
在中，．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
3．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可得，，故①正确；由点是动点，则的长不确定，即，故②错误，由折叠的性质可得，，，则不是等边三角形，故③错误，由“”可证，故④正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求，故⑤正确；即可求解．
【解析】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，，故①正确；
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，，，
不是等边三角形，故③错误；
在和中，
，
，故④正确；
，，
在中，，
，故⑤正确；
∵根据现有条件无法确定是否相等，
，故②错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
4．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解．
【解析】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第2021个等腰三角形的底角度数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．
5．如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：
①；②；③；④；错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
【答案】A
【分析】如图，过点C作交的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明，得到，，，可判断②③正确，然后利用同角的余角相等得到，进而证明，得到，，然后证明，得到，，等量代换可得，，可判断①④正确．
【解析】如图，过点C作交的延长线于K．
，，平分，
∴，，
，
，
，
，
，
（ASA），
，，，故②③正确，
，
，
，
，
（ASA），
，，
，，
（SAS），
，，
，，故①④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由可判定①不正确；根据，和的角平分线相交于点，可得，而，即得，故②正确；由和的角平分线相交于点，知是的内心，可判定③正确；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正确．
【解析】，
∴，
①不正确；
，
，
和的角平分线相交于点，
，
，
，
，
，故②正确；
和的角平分线相交于点，三条角平分线交于同一点
平分，故③正确；
，，，
∴，
∴，
平分，，
，
∴，
∴，故④不正确；
综上所述，正确的有②③
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明．
7．如图，在中，，E，F是斜边的三等分点，点P从点A出发，沿线段移动，移动到点B停止，连接，若，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由题意知，分点在线段上和在线段上两种情况求解：①当点在线段上，求出的最小值，然后分别计算与重合时的值，然后判断即可；②当在线段上，求出的最小值大于5，即不满足要求，然后进行判断作答即可．
【解析】解：由题意知，，，
由勾股定理得，，
由题意知，分①点在线段上，②点在线段上两种情况求解：
①当点在线段上，如图1，作关于的对称点，连接，交于，连接，，则，
∴，此时最小，
如图1，过作于，
∵
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴的最小值的值为，
当与重合时，，
∴当点在上运动时，存在一点使，
当与重合时，如图2，过作于，
∵，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
∴当点在上运动时，存在一点使，
综上，点在上运动时，存在2个点使；
②当在线段上，如图3，作关于的对称点，连接交于，连接交于，连接，则，
∴，此时最小，
如图3，过作的延长线于，
∵
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，，
由勾股定理得，则，
∴，
∵的最小值的值大于5，
∴点在上运动时，不存在点使；
综上所述，共有2个点使；
故选：B．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于分情况并灵活运用知识进行求解．
8．如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【解析】∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】可证，从而可证()，进而可求，即可判断①③；过作交于，作交于，可证，即可判断④；当、、在一条直线上时，可判断②；即可求解．
【解析】解：和都是等边三角形，
，，
，
，
即：，
在和中
，
()，
，
，
，
，
即：，
，
故①③都正确；
如图，过作交于，作交于，
，
，
平分，
故④正确；
如图，当、、在一条直线上时，
此时满足已知条件，但与显然不平行，故③错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有（ ）
；
；
点到各边的距离相等；
设，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，则，故正确．
【解析】解：在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故错误；
在中，和的平分线相交于点，
，
，
，
，
，
，故正确；
过点作于，作于，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用．
二、填空题
11．如图，中，，，，将折叠，使得点恰好落在边上的点出，折痕为，为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据由沿对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【解析】由沿对称得到，
则E与C关于直线对称，
，
∴，
如图,连接，
由题意得，
∴，
当P在边上，即D点时取得最小值6，
∴周长为，最小值为．
故答案为:．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
12．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当 秒，的面积等于．
【答案】或或
【分析】分当点在线段上运动时，当点在线段上运动且在点的左边时，当点在线段上运动且在点的右边时，三种情况讨论，根据的面积等于，计算点的运动路程，求出的值即可．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
当点在线段上运动时，
∵的面积等于12，
∴，
∴（秒）；
当点在线段上运动且在点的左边时，
，
∴点的运动路程，
∴（秒）；
当点在线段上运动且在点的右边时，
，
∴点的运动路程，
∴（秒）．
故答案为∶或或．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的运用、勾股定理等，根据点的运动位置分类讨论是解题的关键．
13．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则 ；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为 度．
【答案】 55 45
【分析】（1）根据平行线和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
【解析】（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键．
14．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④．
【解析】解：在中，，
∴，
又∵、分别平分、，
∴，
，，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故结论②正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，故结论③正确；
连接，，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．
15．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【答案】3
【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小．
【解析】解：如图， 取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时的值最小，
在中，∵，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是
【答案】①②③
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【解析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，．
∴．
∴．
故①正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
故②正确；
∵，，
∴．
即．
∴．
∴．
故③正确；
∵点A是线段的中点，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
故④不正确；
故答案是①②③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题．
17．如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）
【答案】①②③④
【分析】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到和，从而证明，根据全等三角形对应边相等得到结论；②过点作于点，通过证明是的垂直平分线就易得出结论；③通过证明和来证明结论；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据，即可得出结论．
【解析】①∵，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故①正确
②过E作于点G．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即G是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即．故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，
∴．
∴，故③正确；
④如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵,
∴，
即
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，在中，，，点D为延长线上一点，延长至点B，使，连接、．过点F作的垂线，过点G作的垂线交于点C，交于点H，两条垂线相交于点A，连接、、．下列结论中正确的是 ．（请填写序号）
①；②当时，；③；④；⑤若，，，则．
【答案】①②④
【分析】证明，即可判断①；根据等边对等角有，结合垂直的定义可判断②；先证明，即有，在中，，据此进而可判断③；根据，有，根据，，可得，结合，可得，故可判断④；利用勾股定理可得，进而有，则可得，根据，可得，根据，可得，进而有，即可得，据此可判断⑤．
【解析】∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，勾股定理，垂直的定义，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等知识，证明，，是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知中，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为t秒．
(1)为何值时，平分？
(2)求当为何值时，为等腰三角形？
(3)若出发时，同时另有一点，从点开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）过点P作于点D，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论①当点P在上时；②当点P在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点C作于点H；Ⅲ、当时，过点P作于点G；即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；④当时，即可解答．
【解析】（1）解：过点P作于点D，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：；
（2）解：①当点P在上时，，
∵，
∴；
②当点P在上时，
Ⅰ、当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ、当时，
过点C作于点H，
∵，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
Ⅲ、当时，
过点P作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∴，
∴；
综上：或或或；
（3）解：点P运动到点B需要时间，
点P运动到点A需要时间，
点P运动到点C需要时间，
点Q运动到点A需要时间，
点Q运动到点B需要时间，
①当时，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
②当时，，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：（舍去），
③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；
④当时，，
∴，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想．
20．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知中，，是三角形的双腰分割线，且．①求∠C的度数．②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由是三角形的双腰分割线，且．得，，从而求得；②过点作于点，中，，中，，得，解方程即可．
【解析】（1）解：线段是的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
（2）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线．
（3）①是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
②过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
21．如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
(1)当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
(3)如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或，理由见解析
【分析】（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解析】（1）证明：，是等腰直角三角形，于．
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）或理由如下：
如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴．
当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．
22．（1）如图，在和中，，．且，B、D、E三点共线，与交于点F．
① 求证：；
② 如图2，若点G是中点，且，连接、，求证：；
（2）若，，且，在直线上取一点D，使得，连，过A作，且，使直线和交于F，则____________．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）或或
【分析】（1）①利用“”易证，即可证明结论；
②延长至点，使得，连接，可证，得到，，进而得到，，从而证明，得到，即可证明结论；
（2）点在直线上有两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上，同时又存在两种情况，利用全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质分别求解，即可得到答案．
【解析】（1）证明：①，
，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图，延长至点，使得，连接，
点G是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即；
（2）①如图，点在线段上，此时，
当时，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②如图，点在线段的延长线上，此时，
，，
，
当时，连接，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
当时，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
综上可知，或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
23．在中，，，是边上的中点，是直线右侧的一点，且，连接，过点作的垂线交射线于点．
(1)点到的距离为______；
(2)如图1，当点在的外部时．
①求证：：
②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；
【答案】(1)
(2)①见解析，②
【分析】（1）连，由等腰直角三角形可知，，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出的长即可；
（2）①连接，设交于点，由（1）可知，，即，，利用互余可得，，证明，即可证得结论；
②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得．
【解析】（1）解：连接，
∵在中，，，D是边上的中点，
∴，，，
∴点C到的距离为，
故答案为：；
（2）①证明：连接，设交于点，
由（1）可知，，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵过点D作的垂线交射线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴；
②延长和交于点，连接，
∵，，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形．
24．(1)问题发现：
如图①，在平面直角坐标系中，已知点和点则线段的长为______；
(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，点A在第一象限，点在线段上，点M，N分别是边，上两点，求周长的最小值．
（提示：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．）
(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边上，M在上，且．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可；
（2）作分别关于、的对称点和，根据对称的性质的，当四点共线时，周长最小，最小值为的长，求出的长即可；
（3）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，作关于对称点，连接，则，故当三点共线时，最小，计算即可解答；
【解析】（1）；
（2）如图1所示，求分别关于、的对称点和，
由对称性质得，
则的周长为 ，
当四点共线时，周长最小，最小值为的长，
∵在等边中，，过作，
且 ，
在 中，，
如图 2 ，过点作，则 ，
在 中，，
则 ，
∴的周长最小为；
（3）存在；如图 3 ，将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，
四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，
关于对称点，连接，
则，故当三点共线时，最小，
∴最小值为 ；
则四边形周长最小为．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换再进行对称求解．
25．如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．
(1)如图1，点落在边上，若，则 ， ．
(2)如图2，若，是边中点，连接，求的面积．
(3)如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法可得：，可得：，从而可得答案；
（2）如图，延长交于，设，，则，由勾股定理可得：，结合由面积法可得：，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案；
（3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当时，如图，过作于，证明，可得，可得，即，当时，同理设，，可得，利用勾股定理可得：，从而可得答案.
【解析】（1）解：∵四边形是长方形，，，，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，则由等面积法可得：
，
解得：，
∴，
（2）解：∵四边形是长方形，，，，是边中点，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，，，
∴，
如图，延长交于，设，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∴，
由面积法可得：，
∴，即，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴；
（3）∵是以为腰的等腰三角形，
当时，如图，过作于，
∴，
由折叠可得：，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
当时，同理
设，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
解得：，即；
综上：或.
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，二元一次方程组的解法，本题难度大，属于压轴题.
26．综合与实践：数学模型可以用来解决一些实际问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接、，则与的数量关系为：______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接、，延长、交于点D，则的度数为：______；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接、，且点B、E、F在一条直线上，则、、之间的数量关系为：______；
(4)实践应用：锐角中，，以为边作等边三角形，（点D与点C在同侧），连接，若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明，即可得出结论；
（4）在上截取，连接，同（1）的方法证明，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3）∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
∴
（4）解：如图所示，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，则
又∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的中与判定是解题的关键．
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题D．定理一定有逆命题
【答案】C
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A．真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，不符合题意；
B．原命题是假命题，则它的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，不符合题意；
C．命题一定有逆命题，故本选项正确，符合题意；
D．定理不一定有逆命题，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，也考查了逆命题，逆定理．
2．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度．
【解析】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，
过作交的延长线于，
则四边形是矩形，
，，
连接，则即为最短距离，
高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
，，
在中，．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
3．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可得，，故①正确；由点是动点，则的长不确定，即，故②错误，由折叠的性质可得，，，则不是等边三角形，故③错误，由“”可证，故④正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求，故⑤正确；即可求解．
【解析】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，，故①正确；
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，，，
不是等边三角形，故③错误；
在和中，
，
，故④正确；
，，
在中，，
，故⑤正确；
∵根据现有条件无法确定是否相等，
，故②错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
4．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解．
【解析】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第2021个等腰三角形的底角度数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．
5．如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：
①；②；③；④；错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
【答案】A
【分析】如图，过点C作交的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明，得到，，，可判断②③正确，然后利用同角的余角相等得到，进而证明，得到，，然后证明，得到，，等量代换可得，，可判断①④正确．
【解析】如图，过点C作交的延长线于K．
，，平分，
∴，，
，
，
，
，
，
（ASA），
，，，故②③正确，
，
，
，
，
（ASA），
，，
，，
（SAS），
，，
，，故①④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由可判定①不正确；根据，和的角平分线相交于点，可得，而，即得，故②正确；由和的角平分线相交于点，知是的内心，可判定③正确；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正确．
【解析】，
∴，
①不正确；
，
，
和的角平分线相交于点，
，
，
，
，
，故②正确；
和的角平分线相交于点，三条角平分线交于同一点
平分，故③正确；
，，，
∴，
∴，
平分，，
，
∴，
∴，故④不正确；
综上所述，正确的有②③
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明．
7．如图，在中，，E，F是斜边的三等分点，点P从点A出发，沿线段移动，移动到点B停止，连接，若，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由题意知，分点在线段上和在线段上两种情况求解：①当点在线段上，求出的最小值，然后分别计算与重合时的值，然后判断即可；②当在线段上，求出的最小值大于5，即不满足要求，然后进行判断作答即可．
【解析】解：由题意知，，，
由勾股定理得，，
由题意知，分①点在线段上，②点在线段上两种情况求解：
①当点在线段上，如图1，作关于的对称点，连接，交于，连接，，则，
∴，此时最小，
如图1，过作于，
∵
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴的最小值的值为，
当与重合时，，
∴当点在上运动时，存在一点使，
当与重合时，如图2，过作于，
∵，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
∴当点在上运动时，存在一点使，
综上，点在上运动时，存在2个点使；
②当在线段上，如图3，作关于的对称点，连接交于，连接交于，连接，则，
∴，此时最小，
如图3，过作的延长线于，
∵
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，，
由勾股定理得，则，
∴，
∵的最小值的值大于5，
∴点在上运动时，不存在点使；
综上所述，共有2个点使；
故选：B．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于分情况并灵活运用知识进行求解．
8．如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【解析】∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】可证，从而可证()，进而可求，即可判断①③；过作交于，作交于，可证，即可判断④；当、、在一条直线上时，可判断②；即可求解．
【解析】解：和都是等边三角形，
，，
，
，
即：，
在和中
，
()，
，
，
，
，
即：，
，
故①③都正确；
如图，过作交于，作交于，
，
，
平分，
故④正确；
如图，当、、在一条直线上时，
此时满足已知条件，但与显然不平行，故③错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有（ ）
；
；
点到各边的距离相等；
设，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，则，故正确．
【解析】解：在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故错误；
在中，和的平分线相交于点，
，
，
，
，
，
，故正确；
过点作于，作于，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用．
二、填空题
11．如图，中，，，，将折叠，使得点恰好落在边上的点出，折痕为，为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据由沿对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【解析】由沿对称得到，
则E与C关于直线对称，
，
∴，
如图,连接，
由题意得，
∴，
当P在边上，即D点时取得最小值6，
∴周长为，最小值为．
故答案为:．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
12．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当 秒，的面积等于．
【答案】或或
【分析】分当点在线段上运动时，当点在线段上运动且在点的左边时，当点在线段上运动且在点的右边时，三种情况讨论，根据的面积等于，计算点的运动路程，求出的值即可．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
当点在线段上运动时，
∵的面积等于12，
∴，
∴（秒）；
当点在线段上运动且在点的左边时，
，
∴点的运动路程，
∴（秒）；
当点在线段上运动且在点的右边时，
，
∴点的运动路程，
∴（秒）．
故答案为∶或或．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的运用、勾股定理等，根据点的运动位置分类讨论是解题的关键．
13．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则 ；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为 度．
【答案】 55 45
【分析】（1）根据平行线和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
【解析】（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键．
14．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④．
【解析】解：在中，，
∴，
又∵、分别平分、，
∴，
，，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故结论②正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，故结论③正确；
连接，，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．
15．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【答案】3
【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小．
【解析】解：如图， 取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时的值最小，
在中，∵，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是
【答案】①②③
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【解析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，．
∴．
∴．
故①正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
故②正确；
∵，，
∴．
即．
∴．
∴．
故③正确；
∵点A是线段的中点，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
故④不正确；
故答案是①②③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题．
17．如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）
【答案】①②③④
【分析】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到和，从而证明，根据全等三角形对应边相等得到结论；②过点作于点，通过证明是的垂直平分线就易得出结论；③通过证明和来证明结论；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据，即可得出结论．
【解析】①∵，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故①正确
②过E作于点G．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即G是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即．故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，
∴．
∴，故③正确；
④如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵,
∴，
即
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，在中，，，点D为延长线上一点，延长至点B，使，连接、．过点F作的垂线，过点G作的垂线交于点C，交于点H，两条垂线相交于点A，连接、、．下列结论中正确的是 ．（请填写序号）
①；②当时，；③；④；⑤若，，，则．
【答案】①②④
【分析】证明，即可判断①；根据等边对等角有，结合垂直的定义可判断②；先证明，即有，在中，，据此进而可判断③；根据，有，根据，，可得，结合，可得，故可判断④；利用勾股定理可得，进而有，则可得，根据，可得，根据，可得，进而有，即可得，据此可判断⑤．
【解析】∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，勾股定理，垂直的定义，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等知识，证明，，是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知中，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为t秒．
(1)为何值时，平分？
(2)求当为何值时，为等腰三角形？
(3)若出发时，同时另有一点，从点开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）过点P作于点D，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论①当点P在上时；②当点P在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点C作于点H；Ⅲ、当时，过点P作于点G；即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；④当时，即可解答．
【解析】（1）解：过点P作于点D，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：；
（2）解：①当点P在上时，，
∵，
∴；
②当点P在上时，
Ⅰ、当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ、当时，
过点C作于点H，
∵，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
Ⅲ、当时，
过点P作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∴，
∴；
综上：或或或；
（3）解：点P运动到点B需要时间，
点P运动到点A需要时间，
点P运动到点C需要时间，
点Q运动到点A需要时间，
点Q运动到点B需要时间，
①当时，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
②当时，，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：（舍去），
③当时，点P和点Q都在上，不符合题意；
④当时，，
∴，
∴，，
∵直线将的周长分成相等的两部分，
∴，即，
解得：；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想．
20．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知中，，是三角形的双腰分割线，且．①求∠C的度数．②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由是三角形的双腰分割线，且．得，，从而求得；②过点作于点，中，，中，，得，解方程即可．
【解析】（1）解：线段是的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
（2）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线．
（3）①是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
②过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
21．如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．
(1)当点在线段上（不与点，点重合），求证：；
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值；
(3)如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或，理由见解析
【分析】（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【解析】（1）证明：，是等腰直角三角形，于．
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）或理由如下：
如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴．
当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．
22．（1）如图，在和中，，．且，B、D、E三点共线，与交于点F．
① 求证：；
② 如图2，若点G是中点，且，连接、，求证：；
（2）若，，且，在直线上取一点D，使得，连，过A作，且，使直线和交于F，则____________．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）或或
【分析】（1）①利用“”易证，即可证明结论；
②延长至点，使得，连接，可证，得到，，进而得到，，从而证明，得到，即可证明结论；
（2）点在直线上有两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上，同时又存在两种情况，利用全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质分别求解，即可得到答案．
【解析】（1）证明：①，
，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图，延长至点，使得，连接，
点G是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即；
（2）①如图，点在线段上，此时，
当时，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②如图，点在线段的延长线上，此时，
，，
，
当时，连接，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
当时，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
综上可知，或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
23．在中，，，是边上的中点，是直线右侧的一点，且，连接，过点作的垂线交射线于点．
(1)点到的距离为______；
(2)如图1，当点在的外部时．
①求证：：
②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；
【答案】(1)
(2)①见解析，②
【分析】（1）连，由等腰直角三角形可知，，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出的长即可；
（2）①连接，设交于点，由（1）可知，，即，，利用互余可得，，证明，即可证得结论；
②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得．
【解析】（1）解：连接，
∵在中，，，D是边上的中点，
∴，，，
∴点C到的距离为，
故答案为：；
（2）①证明：连接，设交于点，
由（1）可知，，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵过点D作的垂线交射线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴；
②延长和交于点，连接，
∵，，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形．
24．(1)问题发现：
如图①，在平面直角坐标系中，已知点和点则线段的长为______；
(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，点A在第一象限，点在线段上，点M，N分别是边，上两点，求周长的最小值．
（提示：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．）
(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边上，M在上，且．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可；
（2）作分别关于、的对称点和，根据对称的性质的，当四点共线时，周长最小，最小值为的长，求出的长即可；
（3）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，作关于对称点，连接，则，故当三点共线时，最小，计算即可解答；
【解析】（1）；
（2）如图1所示，求分别关于、的对称点和，
由对称性质得，
则的周长为 ，
当四点共线时，周长最小，最小值为的长，
∵在等边中，，过作，
且 ，
在 中，，
如图 2 ，过点作，则 ，
在 中，，
则 ，
∴的周长最小为；
（3）存在；如图 3 ，将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，
四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，
关于对称点，连接，
则，故当三点共线时，最小，
∴最小值为 ；
则四边形周长最小为．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换再进行对称求解．
25．如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．
(1)如图1，点落在边上，若，则 ， ．
(2)如图2，若，是边中点，连接，求的面积．
(3)如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法可得：，可得：，从而可得答案；
（2）如图，延长交于，设，，则，由勾股定理可得：，结合由面积法可得：，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案；
（3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当时，如图，过作于，证明，可得，可得，即，当时，同理设，，可得，利用勾股定理可得：，从而可得答案.
【解析】（1）解：∵四边形是长方形，，，，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，则由等面积法可得：
，
解得：，
∴，
（2）解：∵四边形是长方形，，，，是边中点，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，，，
∴，
如图，延长交于，设，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∴，
由面积法可得：，
∴，即，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴；
（3）∵是以为腰的等腰三角形，
当时，如图，过作于，
∴，
由折叠可得：，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
当时，同理
设，，
∴，
∴由勾股定理可得：，
解得：，即；
综上：或.
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，二元一次方程组的解法，本题难度大，属于压轴题.
26．综合与实践：数学模型可以用来解决一些实际问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接、，则与的数量关系为：______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接、，延长、交于点D，则的度数为：______；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接、，且点B、E、F在一条直线上，则、、之间的数量关系为：______；
(4)实践应用：锐角中，，以为边作等边三角形，（点D与点C在同侧），连接，若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明，即可得出结论；
（4）在上截取，连接，同（1）的方法证明，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3）∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
∴
（4）解：如图所示，在上截取，连接
∵，
∴是等边三角形，则
又∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的中与判定是解题的关键．
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