特训04 特殊三角形（新题速递）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、解答题
1．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知和都是直角三角形，，，点A与点D重合，点B在边上，现将绕点B以每秒的速度顺时针旋转．（当点A落在射线上时停止旋转）

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，边与边的交点记为M，如图2，是等腰三角形，求t的值；
(3)当边与边分别交于点P，Q时，如图3，当时，是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
2．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】
如图1，点是线段，的中点，求证：；
(2)【变式迁移】
如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点．使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由；
(3)【拓展应用】
如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长．

3．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，中，，在上，在延长线上．

图1 图2 图3
(1)如图1，若，，延长交于，求证：；
(2)如图2，若，点为中点，连接，，求证：；
(3)如图3，若，，为线段上的一点，，求的最大值．
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，M为中点，D为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点F．

(1)如图1，当点D与点M重合时，请直接写出与的数量关系：______；
(2)如图2，当点D在线段上，求证：点E在的垂直平分线上．
(3)点D在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数．
5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．

(1)点，运动几秒后，，两点重合？
(2)点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．
(3)点，运动几秒后，可得到直角三角形？
6．（2023秋·陕西西安·八年级西北大学附中校考开学考试）在边长为2的等边中，点D是中点，点E在线段上

(1)如图1，的最小值为 ；
(2)在的下方作等边，连接，如图2，求出的度数；如果变化；
(3)在图2的基础上，连接，如图3，当的周长最小时，求的度数．
7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

(1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是 ；此时 ；
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明．
8．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接．

(1)如图，求证：；
(2)若，将沿直线翻折得到，连接交于．
如图，若，求证：为的中点；
如图，交于点，若，求．
9．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）【基础巩固】
（1）如图1，作三角形中的角平分线与的外角平分线交于点D，证明．
【尝试应用】
（2）如图2，在等边三角形中，D，E分别是边的点，且满足，连接，交于点M．作，的角平分线，交于点N．
①证明；
②求的度数．
【拓展提高】
（3）在（2）的条件下，连接，如图3，当，求的度数．

10．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）阅读并回答下列问题．
几何模型：如图，、是直线同侧的两个定点．问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．（不必说明）
模型应用：如图，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．

(1)用含的代数式表示的长为 ；
(2)拓展运用：
请问点满足时，的值最小，最小值为 ；
请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
根据中的规律和结论，直接写出代数式的最小值．
11．（2023春·河南开封·七年级校联考阶段练习）在中，三点、、是逆时针顺序，，是边上的动点，，三点、、也是逆时针顺序，．

(1)当时，过点作，垂足为点．
如图，若点与点重合，则的度数为______；
如图，点到的距离等于______；
．线段的长 ．线段的长 ．线段的长．线段的长
(2)如图．当时，
试说明：点到的距离等于线段的长；
连接交于点，试说明：．
12．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

(1)如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
(2)如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
(3)如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
13．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图，中，，为斜边中点，则．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图，在中，点为边中点，直线绕顶点A旋转，若、在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接、；
(1)求证：；
(2)若直线绕点旋转到图的位置时，点、在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图，，旋转到与垂直的位置，为上一点且，于，连接，取中点，连接，，求证：．
14．（2023春·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，过点A作交于点D．
(1)填空： ______°；
(2)求的值；
(3)①说法１：如图2，在AB上截取，将线段绕点M顺时针旋转90°得到，连接交于点E，探究之间的数量关系，并证明．
②说法2：如图2，若平分交于点E，探究之间的数量关系，并证明．
(4)说法3：若平分交于点E，探究三条线段之间的数量关系，并证明．
15．（2023·河南安阳·统考模拟预测）已知，是等边三角形，．

(1)观察猜想：
如图1，点是边上一点，，交的外角平分线于点，求线段，，之间的数量关系．小明发现，过点作的平行线交于点，容易发现线段，，之间的数量关系是_________；
(2)类比探究：
如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，写出此时，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：
如图3，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，直接写出的最小值．
16．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，与中，，，，，，连接、．

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，平分，求证：；
(3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．
17．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）等腰中，，点为上一点，连接，满足．

(1)如图1，若，，求的面积．
(2)如图2，过点作且，连接，以为边作，连接交于点，交于．若．求证．
(3)如图3，若，，过点A作于，为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，求的最小值．
18．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，等边中，，为边上一点，为直线上一点，连接，使得．

(1)①如图1，与的数量关系为______；
②如图1，线段的数量关系为______．
(2)如图2，若将“等边”改为“等腰直角（）”，其他条件不变，求证：；
(3)如图3，若继续将“等腰直角”改为“等腰（）”其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．
19．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．

（1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________．
（2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________；
（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________．
20．（2023春·四川成都·八年级统考期末）已知，与均为等腰直角三角形，且，，其中，绕着A点逆时针进行旋转，连接，．

(1)若旋转至图1位置时，求证：；
(2)若旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线，证明：；
(3)若旋转至图3位置时，线段恰好垂直于，此时的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长．
21．（2023秋·湖北孝感·八年级校考期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在中，平分，．求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．


(1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；
(2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明．
(3)活学活用
如图5，是四边形的对角线，，求证：．
(4)思维拓展
如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ．