第一次月考测试卷02（测试范围：1.1-2.5）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【解析】解：根据轴对称图形的定义：轴对称图形沿一条直线对折两边能够完全重合可知，
选项A、B、D中的图形都是轴对称图形，
只有选项C中的图形不是轴对称图形，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．中，下列选项正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据高线的定义进行作答即可．
【解析】解：边上的高就是过B作垂线垂直交的延长线于D点，因此只有选项B符合条件，
故选：B．
【点睛】本题考查画高线．熟练掌握高线是从三角形的一个顶点出发，到对边的垂线段，是解题的关键．
3．三角形的两边长分别为和，则周长的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．
【解析】解：∵三角形的两边长分别为和，
∴第三边的取值范围是大于5-3而小于5+3，
即第三边的取值范围是大于2而小于8．
又另外两边之和是5+3=8，
故周长的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记关系求出第三边的取值范围是解题的关键．
4．如图，中，，点D、E在上，，若，则（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得，再说明即可得到结论．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（）
A．3B．4C．6D．5
【答案】A
【分析】过作于，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可．
【解析】解∶如图，过作于，
是中的角平分线，于点，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
≌，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
≌，
故③符合题意；
④，，，
≌，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴DE＝AB＝BD＝AD，
∵DE＝BE，
∴DE＝BE＝BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和等边三角性质，准确计算是解题的关键．
9．在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A、B两点能构成（ ）个等腰三角形．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】如图：
从图中第一列中，可知当格点在最下方时，△ABC为等腰三角形，
第二列中没有构成等腰三角形的格点；
第三列中第一个格点和第二个格点可以构成等腰三角形△ABD，△ABE；
第四列中第二个格点和第四个格点可以构成等腰三角形△ABF，△ABG；
第五列中没有构成等腰三角形的格点．
故选C．
10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
【解析】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题
11．“等腰三角形两底角相等”的逆定理为 ．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解析】解：根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．如图，已知为直角三角形，，则 ．
【答案】/度
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形外角的性质得到，据此即可得到答案．
【解析】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为
【答案】60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解析】解：当高在三角形内部时（如图1），
∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是 ；

【答案】11
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，再根据S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9，得出OM+ON的值，从而求出△MON 的周长.
【解析】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，

∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
∴S△OPM=OM·PG=OM2=OM；S△OPN=ON·PE=ON2=ON，
∵S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9
∴OM+ON=9，
∴△MON 的周长=OM+ON+MN =9+2 =11.
故答案为11.
【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形的面积，观察出S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN ，运用等积法是解题的关键.
15．如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】延长、相交于点，由角平分线的性质可得，利用证明，得到，根据同角的余角相等得到，通过证明，得到，从而即可得到答案．
【解析】解：如图，延长、相交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
16．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．

【答案】
【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可．
【解析】如图，连接，

∵在中，，，点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为定值，
∴要的面积最大，则的面积最小即可，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则当最小时，的面积最小，
当时，最小，此时，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题
17．如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，，且．

(1)证明：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由平行得，由求证三角形全等；
（2）由全等三角形得，，进而求得．
【解析】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；由全等三角形得到线段相等是解题的关键．
18．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．

(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
19．如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求；
（2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点）
（3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求．
【解析】（1）如图①，点P即为所求

此时；
（2）如图②，点P即为所求

此时的值最小；
（3）如图③，点P即为所求

此时最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
20．如图：在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)与有什么数量关系？请说明理由；
(3)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)72
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）根据ASA证明三角形全等即可；
（3）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
（2），理由如下：
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴
（3）∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，三角形的面积等知识，关键是在较复杂的图形中找出全等的三角形，利用ASA证出．
21．如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
(1)若，则的度数为______，的角度为______；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)当是等边三角形时，求的度数．
【答案】(1)40°，50°；
(2)见解析
(3)120°
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形；
（3）首先根据等边三角形的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后由直角三角形的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，，
∴
在和中
∴
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵为等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22．如图，C是上一点，点D、E分别位于的异侧，，且，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)若，且为钝角三角形，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明，可证明；
（2）由（1）中的三角形全等可得，可证明，可证明为等腰三角形；
（3）由是钝角三角形，可得，再利用三角形的内角和可得的范围．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，即，
∴，
即；
（3）解：∵是钝角三角形，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．如图1，已知AB＝AC，D是AC上一个动点，E、C位于BD两侧，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE；
(1)当∠BAC＝60°时，如图2，连接AE，求证：AE＝CD；
(2)当∠BAC＝45°时，
①若DE⊥AB，则∠CDB＝ 度；
②如图4，连接AE．当∠CDB＝ 度时，AE最小；
(3)当∠BAC＝90°时，如图5，连接CE交AB于点M，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①67.5；②90
(3)2
【分析】（1）连接AE，可知△ABC，△BDE是等边三角形，再利用SAS证明△BCD≌△BAE，得AE=CD；
（2）①利用等腰三角形两底角相等知∠BDE=67.5°，再根据平角的定义可得答案；
②作BH⊥AC于H，EC⊥AB于G，利用AAS证明△BDH≌△BEG，得∠BHD=∠BGE=90°，可知E在EG上运动，当E与G重合时，AE最小，此时∠BDC=∠BHC=90°；
（3）作EQ⊥AB于Q，利用AAS证明△ADB≌△QBE，得AD=BQ，则CD=AQ，再利用AAS证明△AMC≌△QME，得AM=MQ，从而解决问题．
【解析】（1）证明：连接AE，
∵∠BAC=∠DBE=60°，BD=BE，AB=AC，
∴△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
在△BCD和△BAE中，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴AE=CD；
（2）解：①当∠BAC=∠DBE=45°时，
∵BD=BE，
∴∠BDE=(180°-45°)÷2=67.5°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴∠CDB=67.5°，
故答案为：67.5；
②作BH⊥AC于H，EG⊥AB于G，

∵∠A=45°，
∴∠ABH=∠DBE=45°，
∴∠DBH=∠EBG，
∵∠BHD=∠BGE，BD=BE，
∴△BDH≌△BEG（AAS），
∴∠BHD=∠BGE=90°，
∴点E在EG上运动，
当点E与G重合时，AE最小，此时∠BDC=∠BHC=90°，
故答案为：90；
（3）作EQ⊥AB于Q，

∵∠QEB+∠QBE=90°，∠QBE+∠ABD=90°，
∴∠BEQ=∠ABD，
∵BD=BE，∠DAC=∠BQE，
∴△ADB≌△QBE(AAS)，
∴AD=BQ，
∴ CD=AQ，
∵∠CAB=∠AQE，∠AMC=∠EMQ，
∴△AMC≌△QME(AAS)，
∴AM=MQ，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，巧作辅助线构造全等三角形是解题的关键．