期中测试卷02（测试范围：第1-3章）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、单选题
1．以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ）
A．3，6，9B．3，5，9C．2，6，4D．4，6，8
【答案】D
【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可：三角形三边长要满足两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．
【解析】解：A．∵，∴3，6，9不能构成三角形，该选项不符合题意；
B．∵，∴3，5，9不能构成三角形，该选项不符合题意；
C．∵，∴2，6，4不能构成三角形，该选项不符合题意；
D．∵，∴4，6，8能构成三角形，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，只要举例说明即可求解．
【解析】解：能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是，则当，
故选D
【点睛】本题考查了举反例说明命题是假命题，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．不等式3x﹣3≤0解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解析】解：3x﹣3≤0，
3x≤3，
x≤1，
故选D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集， 解一元一次不等式.①在解不等式时，如果有乘、除法要注意不等号的方向改不改改变；②在表示解集时要注意点是用空心还是实心表示.
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图形可知，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解析】解：在和中
∵，，
∴当时，满足，可证明，故选项A符合题意；
当时，满足，可证明，故选项B符合题意；
当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意；
当时，满足，可证明，故选项D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即，，，和．
5．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长为的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为，则等腰三角形的周长为10或8；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定方法对①进行判断；根据勾股定理的逆定理对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据线段垂直平分线的判定对④进行判断．
【解析】解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故正确；
②，则三边长为，，的三角形不是直角三角形，故错误；
③等腰三角形的两条边长为2，4，则三边分别为2，4，4，则等腰三角形的周长为10，故错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长．
【解析】解：∵，，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．
7．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解．
【解析】解：∵，
∴．
∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
【答案】D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
10．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①③D．②③④
【答案】B
【分析】先证明，即可判断①，再证明，即可判断②，延长交于点M，证明即可判断③，利用垂直平分线的判定与性质即可判断④．
【解析】解：∵，分别为，边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
，
∴，
∵，
∴，故②错误；
延长交于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
若，
则，
∴E点是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即周长等于的长，
∵，
∴即周长等于的长，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的判定与性质等，解题关键是读懂题意，牢记相关概念并利用转化的思想．
二、填空题
11．命题“等边三角形有一个角等于60º”的逆命题是 .逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）.
【答案】 有一个角等于60°的三角形是等边三角形； 假.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“等边三角形有一个角等于60°”的条件是“等边三角形”，结论是“有一个角等于60°”，故其逆命题：有一个角等于60°的三角形是等边三角形，然后判断真假．
【解析】解：逆命题为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形，此命题为假命题，
故答案为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了互逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ．
【答案】或
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为；
【解析】如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．
【答案】2.4
【分析】在Rt中，由勾股定理可求得AB的长，进而可根据三角形面积的不同表示方法求出CD的长．
【解析】解：Rt中，AC=4m，BC=3m
AB=m
∵
∴m=2.4m
故答案为2.4 m
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的公式结合利用面积法是解题关键．
14．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为
【答案】或．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据所有整数解的和为﹣9可以确定有哪些整数解，再根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【解析】解：，
由①得，，
不等式组有解，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为，
不等式组的整数解为、、或、、、、0、1．
I.当不等式组的整数解为、、时，有，
∴的取值范围为；
II.当不等式组的整数解为、、、、0、1时，有，
∴的取值范围为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定的取值范围是解决本题的关键．
15．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为 度．
【答案】100
【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【解析】解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
16．如图，已知四边形，，，，且，，则 ．
【答案】10
【分析】在上截取，连接，则，垂直平分，结合题意推出，过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，进而得出，根据题意及三角形外角性质推出，利用判定，根据全等三角形的性质得到，结合题意即可得解．
【解析】解：在上截取，连接，则，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【解析】解：，
由得，
由得，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
【答案】证明见解析.
【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
【解析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．
19．图（）和图（）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1，请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶角重合.
（1）请在图（）中画出一个面积为6的等腰三角形.
（2）请在图（）中画出一个边长为的等腰直角三角形.

【答案】详见解析.
【解析】试题分析：（1）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质即可画出；（2）利用勾股定理得出当直角边为或斜边为时，任画一种即可．
试题解析：
（1）
（2）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°，（2）见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．
21．某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
(1)甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元
(2)见解析
【分析】（1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需要资金1440元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买个甲种书柜，则购买个乙种书柜，根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能提供资金4320元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案．
【解析】（1）解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，
依题意得：，
解得：．
答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元．
（2）设购买个甲种书柜，则购买个乙种书柜，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取8，9，10，
该校共有3种购买方案，
方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；
方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；
方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
（1）求证：；
（2）已知，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由，等量代换得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出；
（2）作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理即可求出，再求出的长，然后在直角中利用勾股定理得出的长．
【解析】解：（1）连接，
是边上的高线，
是直角三角形，
是边上的中线，
是的中点，
即是斜边上的中线，
，
，
，
，
；
（2）作于点，
，，
，
，，
，
，
，
在直角中，，，，
．
【点睛】此题考查了勾股定理，三角形中位线的性质和等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（1）如图1，已知线段相交于点F，连接．若，
求证：；
（2）如图2，中， 垂足为点D，垂足为点E，．
求证：；
（3）如图3，在（2）的前提下，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）首先根据对顶角的定义得到，然后根据三角形内角和求解即可；
（2）根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（3）连接，首先根据等腰三角形三线合一性质得到是等腰三角形底边上的中线，然后根据直角三角形的性质得到，最后利用求解即可．
【解析】（1）∵与为对顶角
∴
∵，
又∵
∴；
（2）∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）如图所示，连接
∵，
∴是等腰三角形底边上的中线，
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F．
（1）如图1，求证：∠1＝60°；
（2）如图2，连结FG，求∠2的度数；
（3）如图3，连结OC，若BD＝10，OC＝4，求△ACE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）．
【分析】（1）由△ABC和△DCE均是等边三角形，得到，，可证明，然后可得到，最后根据三角形内角和定理即可证明∠1＝60°；
（2）根据题意证明，可得，然后由可得是等边三角形，即可求出∠2的度数；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，首先根据全等三角形对应边上的高相等得到CM=CN，然后根据角平分线的逆定理得到，利用勾股定理求出CM的长度，即可求出△BCD的面积，即△ACE的面积．
【解析】解：（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴在△BCD和△ACE中，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在△BCF和△ACG中，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，
∵，CM是△BCD中BD边上的高，CN是△ACE中AE边上的高，
∵BD=AE，
∴CM=CN，
∴OC是∠BOE的角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，等边三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意证明出．