江西省宜春市十校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省宜春市十校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知曲线，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、直线与圆、圆锥曲线。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，，，，动点P满足，则的最大值是（ ）
A．6B．C．5D．
7．已知棱长为4的正四面体，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（ ）
A．B．
C．D．
8．若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知曲线，则（ ）
A．E关于原点对称B．E关于y轴对称
C．E关于直线对称D．为E的一个顶点
10．已知函数，，，，它们的最小正周期均为，的一个零点为，则（ ）
A．的最大值为2
B．的图象关于点对称
C．和在上均单调递增
D．将图象向左平移个单位长度可以得到的图象
11．已知F为抛物线的焦点，，是C上两点，O为坐标原点，M为x轴正半轴上一点，过B作C的准线的垂线，垂足为，AB的中点为E，则（ ）
A．若，则四边形的周长为
B．若，则的面积为
C．若，则E到y轴的最短距离为3
D．若直线AB过点，则为定值
12．如图，已知正三棱台的上、下底面的边长分别为4和6，侧棱长为2，以点A为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，P为上一点，则（ ）
A．CP的最小值为
B．存在点P，使得
C．存在点P及上一点Q，使得
D．所有线段AP所形成的曲面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量a，b满足，，则______.
14．已知实数x，y满足，则的取值范围为______.
15．已知函数，若对不相等的正数，有成立，则的最小值为______.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D.
（1）若，求；
（2）若，求CD.
18．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，的前n项和为，证明：.
19．（本小题满分12分）
已知动点P到点的距离是到直线的距离的倍，记动点P的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点能否作一条直线l，使得l与交于B，C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，D，E分别是CB，CA的中点，.
（1）若平面平面，求点到平面ABC的距离；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，存在，使得，求M的最大值；
（2）已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
（1）求的方程；
（2）若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
（3）设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.
宜春十校2023~2024学年高三（上）第一次联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 由题意知，当时，，所以，所以.故选D.
2．B 由题意得，所以，所以，故，所以.故选B.
3．C 若，则，，易知，所以“”是“”的充分条件；若，则，且，所以，所以“”也是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件.故选C.
4．B .故选B.
5．C 双曲线C的渐近线方程为，直线与其中一条渐近线平行，二者之间的距离，且直线在直线的左边，由题意知点P到直线的距离大于，所以，所以实数m的取值范围为.故选C.
6．A 由，得动点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，其方程为，设，则，表示圆C上的点P到点的距离，所以.故选A.
7．A 与点A，B，C，D距离均相等的平面可分为两类，一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），此时截面过棱的中点，且与一个面平行，故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为，故其面积为，这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为，另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4，这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12，故符合条件的截面的面积和为.故选A．
图1 图2
8．D 令，则，由题意知当时，，故在上单调递增．因为为奇函数，所以，即为偶函数，所以原不等式变为，所以，所以，解得，或，故原不等式的解集为.故选D．
9．ACD 用和替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；用替换方程中的x，方程变为，与原方程不同，故E不关于y轴对称，故B错误；用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故E关于直线对称，故C正确；用替换y，同时用替换x，方程不变，故E关于直线对称，联立解得或由顶点的定义知，为E的一个顶点，故D正确.故选ACD.
10．BCD 因为的最小正周期为，故，所以，所以，又的一个零点为，所以，即，又，故，所以，所以，，所以，故，又，故的图象关于点对称，故A错误，B正确；易求的单调递增区间为，的单调递增区间为，二者的交集为，又，故C正确；将的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选BCD．
11．BD 对于A，由题意知|，且轴，由抛物线的定义知，故，所以，所以，所以四边形的周长为，故A错误；对于B，，则，所以，所以，故B正确；对于C，过A，E分别作C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当直线AB过点F时等号成立，所以点E到y轴的最小距离为，故C错误；对于D，设直线AB的方程为，联立方程，得，消去x并整理，得，则，且，，故，即为定值，故D正确.故选BD.
12．ACD 延长正三棱台的三条侧棱交于点O，取BC的中点D，连接OD交于E，则E为的中点，由题意得，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，易证平面ADE，又平面ADE，所以，又，平面，所以平面.又球A的半径为，故在侧面上的截面圆的半径，故曲线是以点E为圆心，以2为半径的两段圆弧和（如图所示，其中F，G为BC上到点E距离为2的点）．，故CP的最小值为，故A正确；因为平面，要使，则P在线段DE上，又P在和上，由图知，二者无公共点，故不存在点P，使得，故B错误；当点P在点G处时，平面，过点A，P，作平面必与有公共点Q，故存在P以及上的点Q，使得，故C正确；易求得，所以和的长均为，所有线段AP所形成的曲面的展开图为两个扇形，其面积和为，故D正确.故选ACD.
13． 因为，所以，又，所以，所以.
14． 设，则，由题意知，直线与圆有公共点，故，解得，故的取值范围为.
15． ，因为，则，所以，即.又，所以，当且仅当，即，时等号成立.故的最小值为.
16． 设，，因为点A在第一象限，所以.又A，B均在以线段F1F2为直径的圆上，所以四边形为矩形，即．因为，所以，即.因为，，所以，即.因为，设，，则，.易知在区间上单调递增，所以，即.当时，解得，即，解得；当时，解得，即，即，所以.
17．解：（1）由题意，得，
所以，
由得.
在中，
由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即，
两式联立消去，得，所以.
（2）因为，，所以，
由余弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得.
所以，
又，所以，
所以，
在△DBC中，，所以.
18．（1）解：因为，
当时，，由知，所以.
当时，，代入，得，
两边同除以，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
又，所以.
（2）证明：由（1）得，
当时，
，
而当，2时，，也满足上式，所以.
因为，，所以，
易知数列单调递增，所以，
所以.
19．解：（1）设，因为，所以，
点P到直线的距离，
由题意知，即，
化简，得，即的方程为.
（2）假设存在直线满足条件，设，，则
，，
所以，即，
因为A为线段BC的中点，所以，，即，，
所以，所以，即l的斜率为4，
所以直线l的方程为，即.
联立方程，得消去y并整理得，
，
所以直线l与无公共点，这与直线l与交于B，C两点矛盾，
故不存在过点A的直线满足条件.
20．解：以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，因为，，，
所以，则，，
，.
设平面的一个法向量，则，即
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则，即
令，则，，所以.
因为平面平面，所以，
所以，即，所以，
所以，所以点在z轴上，即平面ABC，
因为平面ABC，所以，
又，，所以，
故到平面ABC的距离为.
（2）由（1）知，由，则，
因为，所以，
所以，，所以.
由（1）知平面的一个法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
21．（1）解：当时，，
则的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为，
由题意知，
故M的最大值为.
（2）证明：由题意知，，
所以，
所以.
因为，
所以
，
所以要证，只要证，
因为，所以只要证，
令，则，即证，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以.
22．解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，，所以，
所以.
故椭圆的方程为.
（2）设点关于直线l的对称点为，
则解得则，
由N在椭圆P上，可得，
整理得，解得或.
当时，点与点M重合，舍去．则.
（3）设，，，，则，.
又，设PA的斜率为，则，直线PA的方程为，
由消去y并整理得，
则，所以.
又，所以，
所以，则，
同理可求得.又，
则，
.
由点C，D和点三点共线，所以，
则，
可得，则.