专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点【考点导航】 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31243" 【典型例题】  PAGEREF _Toc31243 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28361" 【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】  PAGEREF _Toc28361 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21472" 【考点二 数轴上的动点中求定值问题】  PAGEREF _Toc21472 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc9498" 【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】  PAGEREF _Toc9498 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc4250" 【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】  PAGEREF _Toc4250 \h 23【典型例题】【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？【变式训练】1．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）如图，数轴上有、两个动点，点以3个单位长度/秒作匀速移动，点以2个单位长度/秒作匀速移动，两点初始位置是：点对应的数是、点对应的数是3．(1)若点分别到、两点的距离相等，那么点对应的数是几?(2)若、两点同时出发且相向移动，则经过几秒两点相遇?(3)若、两点同时出发向右移动，则经过几秒两点相距3个单位长度?2．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ．(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问：经过多少秒，①点P追上点Q？②点P与点Q间的距离为8个单位长度？3．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，数轴上A、B两点表示的数为、19，动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度匀速向右运动，动点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度匀速向左运动，且两点同时出发，设运动时间为t秒．  (1)求点A与点B两点间的距离；(2)当t为何值时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数；(3)若点P、Q相遇后，点Q按原路立即返回，速度变为原来的2倍，点P继续按原速原方向运动，在整个运动过程中，t为何值时？4．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）【阅读理解】定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离一半，则称点C是（A，B）的相伴点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为，点D表示的数为0．点C到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点C是（A，B）的相伴点；又如，点D到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点D就不是（A，B）的相伴点，但点D是（B，A）的相伴点．【知识应用】如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为1．(1)点E，F，G表示的数分别是，，，其中___________是（M，N）的相伴点；(2)现有一个动点P从点M出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间t为何值时，点P是（N，M）的相伴点？【拓展提升】(3)如图3，A，B为数轴上两点，若点A表示的数是，点B表示的数是，现有两个动点P、Q分别从点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点P，Q和B中恰有一个点为其余两点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）．【考点二 数轴上的动点中求定值问题】例题：点在数轴上对应的数分别为，且满足．(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．【变式训练】1．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足，点C为数轴上一动点且对应的数为x．  (1)求a，b的值；(2)若点C在点A的左侧运动，M是的中点，式子的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；(3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时向左运动了t秒，当时，请求出此时t的值．2．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）已知点A、在数轴上对应的数分别为、，且，，点A、之间的距离记作，(1)线段的长为___________；（直接写出结果）(2)若动点在数轴上对应的数为，①当点是线段上一点，，则点表示的数为__________；此时____________；（直接写出结果）②当时，求的值；③当动点在点A的左侧，、分别是、的中点，在运动过程中的值是否发现变化？若不变，求出其值，若变化，请求出变化范围．3．（2023秋·重庆巴南·七年级统考期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，我们把数轴上任意两点、之间的距离记作．(1)求和的值，并求点、之间的距离；(2)设动点从数对应的点开始向右运动．速度为每秒2个单位长度．同时点、在数轴上运动，点的速度是每秒3个单位长度，点是每秒4个单位长度，设运动时间为秒．①若点向右运动，点向左运动，且．求的值：②若点向左运动，点向右运动，若的值不随时间的变化而改变，求的值．【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数 的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．2．如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数．3．（2023春·上海·六年级专题练习）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．(2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______．(3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．4．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）已知关于x的代数式不含三次项，且二次项系数为，数轴上两点所对应的数分别是和．(1)＝ ，＝ ，两点之间的距离为 ；(2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，求点运动到第2023次时所对应的有理数；(3)在（2）的条件下，点会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的3倍？若可能请求出此时点的位置，若不可能请说明理由．【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．  填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；(2)解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）【变式训练】1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3∴的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)当a为何值时，代数式的最小值是23．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为　 　；（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．