福建省三明地区部分高中2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省三明地区部分高中2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为( )
A.1B.3C.7D.9
2、已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3、如果，，那么直线不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4、已知直线与平行，则与的距离为( )
A.B.C.D.
5、《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为( )
A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺
6、动圆P过定点，且与圆相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
7、已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A.若点P为椭圆C上的点，轴，且，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、若曲线与曲线的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知数列的前n项和，则( )
A.不是等差数列
B.
C.数列是等差数列
D.
10、已知点P为圆上的动点，直线l过点，，过l上一点Q作圆O的切线，，切点分别为C，D，则下列说法正确的有( )
A.当最大时，
B.点P到l的距离的最大值为
C.四边形的面积的最小值为9
D.四边形的面积最小时，直线的方程为
11、已知抛物线（）的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A. C的准线方程为
B.若，则
C.若，则l的斜率为
D.过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分，则
12、如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点P为正方体上底面上的动点，则( )
A.满足平面的点P的轨迹长度为
B.满足的点P的轨迹长度为
C.存在唯一的点P满足
D.存在点P满足
三、填空题
13、以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为__________.
14、已知抛物线，直线交C于A，B两点，则线段的长是_______.
15、设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为____.
16、已知数列满足，，记数列的前n项和为，则_______.
四、解答题
17、已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线.
（1）求圆C的方程，并判断点P是否在圆上，证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程.
18、已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.
19、已知双曲线，的离心率为2，且过点.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线l与C交于P，Q两点，且与x轴交于点M，若Q为的中点，求l的方程.
20、在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，，M为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）N为线段上一点，且，求二面角的正弦值.
21、已知点F为抛物线的焦点，点，,且点P到抛物线准线的距离不大于10，过点P作斜率存在的直线与抛物线E交于A，B两点（A在第一象限），过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点C.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）求证：直线过定点.
22、已知圆，B是圆上的点，关于y轴的对称点为，且的垂直平分线与交于点P，记P的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）坐标原点O关于,的对称点分别为，,点,关于直线的对称点分别为，,过的直线l与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意，，，，
故选：B.
2、答案：A
解析：向量，，则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
3、答案：D
解析：由可得，，
因为，，故，.
故直线不经过第四象限.
故选：D.
4、答案：D
解析：由题意直线与平行，
因此，解得，
所以即为，
由两平行线之间的距离可知与的距离为.
故选：D.
5、答案：B
解析：从冬至日起，依次构成等差数列，设为，
由题意得：，
解得，
又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
6、答案：A
解析：圆的圆心为，半径为2，且，
设动圆P的半径为r，则，，即.
即点P在以M，N为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点P在靠近于点N这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是.
故选：A.
7、答案：D
解析：由题意可得，,,,
所以，所以,
所以，所以，所以,
所以，所以，解得或,
因为，所以,
故选：D.
8、答案：B
解析：曲线可得或，
曲线,
由，，可得；
那么，即,
圆心为，半径为1，作出图象如下，
通过图象可知与曲线交于A，只有一个交点；
那么与曲线必有2个交点；
直线恒过点，
当直线与曲线相切于B点时，可得，解得或舍；
当直线恰好过A点时，可得；
所以恰有三个不同的交点，则k的取值范围为.
故选：B.
9、答案：BC
解析：由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，故B正确；
因为，所以是等差数列，故A错误；
对于C，，
因为，所以数列是等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，当时，，
故，故D错误.
故选：BC.
10、答案：BC
解析：对于A，如图1，当与圆相切时，最大，设圆O半径为r，,，，，故A错误；
对于B，由已知直线l的方程为，当点P到l的距离最大时，最大距离为圆心O到直线l的距离加上半径，即为，故B正确；
对于C，如图2，，是圆O的切线，则，，
四边形的面积，
四边形的面积最小时，即为取最小，又，即，
所以当最小时，取最小，即当时，，
则，四边形的面积的最小值为9，故C正确；
对于D，四边形的面积最小时，，直线的斜率为，方程为，故D错误.
故答案为：BC.
11、答案：BCD
解析：因为抛物线（）的焦点F到准线的距离为2，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；
若，则，所以，所以，故B正确；
可设，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去x，可得，
可得，，
由抛物线的定义可得，
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确；
对于D，若x轴平分，则，又轴，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
12、答案：ABC
解析：对于A，取的中点Q，的中点N，又点M为的中点，
由正方体的性质知，平面，平面,
所以平面，同理平面，，平面，
所以平面平面，又平面，平面，
故点P的轨迹为线段，故A正确；
以D为原点，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，设且，，
，，，
对于B，，即，
又，，则点P的轨迹为线段，
，且，故B正确；
对于C，，
显然，只有，时，，即，故存在唯一的点P满足，故C正确；
对于D，点M关于平面的对称点的为，A，P，三点共线时线段和最短，
故，故不存在点P满足，故D错误.
故选：ABC.
13、答案：
解析：以点为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：.
14、答案：5
解析：设，，
联立，消得，
，
则，，
所以.
故答案为：5.
15、答案：15
解析：如图所示：
在椭圆中，，，，
所以焦点坐标分别为，.
.
，当且仅当P在直线上时取等号，
当点P与图中的点重合时，有，
此时取最大值，最大值为.
故答案为：15.
16、答案：506
解析：由递推公式可得，
；
；
……
；
而
.
故答案为：506.
17、答案：（1），点P不在圆上.证明见解析
（2）或.
解析：（1）圆C的方程为：，
点P不在圆上.证明如下：
，
由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上.
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为，即，
又∵，解得，此时直线l为，
综上所述：直线l的方程为或.
18、答案：（1）
（2）78
解析：（1）设等差数列的公差为d，
，解得，
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，.
所以.
由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向下，
所以，当n取与最近的整数即时，最大值，最大值为.
19、答案：（1）
（2）（或）
解析：（1）因为，所以，即.
将点A的坐标代入，得，
解得，故C的方程为.
（2）设，，，
因为Q为的中点，所以.
因为直线l的斜率为，所以可设l的方程为，
联立，得，
，
由韦达定理可得，.
因为，所以，解得，
，解得，
即，故l的方程为.
在第（2）问中，若未写判别式大于0，
但写到“由，得l与C必有两个不同的交点”，
另外本问还可以通过联立方程消去y求解，其过程如下：
设，，l的方程为，
联立得，
，
由韦达定理可得，.
因为Q为PM的中点，所以，则，
，解得，，
，解得，
即，故l的方程为（或）.
20、答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：（1）解法1：因为是边长为2的正三角形，M为的中点，
所以，，同理，，
又，因为，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
解法2：因为是边长为2的正三角形，M为的中点，
所以，，且，，，平面，
所以平面，平面，
所以.
（2）因为是正三角形，M为的中点，所以，又，，
故以M为原点，分别以,,为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
因为平面，平面，所以.
在中，，
因为N为线段上一点，设，则，
所以，
又，所以，解得，所以.
或设，则，
又，，由得，，
由得，，，，
设面的法向量为，，，
取，，，，
设面的法向量为，，，
取，，，，
设二面角的大小为，
则，
所以，，二面角的正弦值为1.
另解：在中，，，
所以，所以，
又，所以平面，平面，所以.
在中，,
在边长为2的正中，取中点D，
则，,又,M是的中点，
所以，所以,即，M是的中点，则.
在中,,
在中，，，，
所以，所以，，
又，，
所以平面，平面，
所以平面平面，所以二面角的大小为，
二面角的正弦值为1.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）焦点，，，
，
又，且点P到抛物线E准线的距离不大于10，即,
,
抛物线E的标准方程为.
（2）依题意直线斜率存在且过点，则可设的方程为，
由，
化简得：，,
,
设，,,
则由韦达定理可知，,
消去得：①,
又，则②,
由①②得，
③,
由于,
（ⅰ）若直线没有斜率，则，
又，
（舍去）,
（ⅱ）若直线有斜率，
直线的方程为，即，
将③代入得，，
故直线有斜率时过点.
22、答案：（1）
（2）结论③正确，证明见解析
解析：（1）由题意得，圆的圆心坐标，
又因为关于y轴的对称点为，则.
因为P为的垂直平分线上的点，所以所以，
所以点P的轨迹是以、为焦点的椭圆.
设，其中，.
由题可知：则，，
，.
故的方程为：
（2）法一：结论③正确.若证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线l的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由
得
，
解得.
故点Q在直线，
由于Q的横坐标是常数，纵坐标不确定，它到定直线、的距离都不是常数，
而线段、的长度为定值，则、的面积不是定值.
因为Q到的距离，
因此的面积是定值，故③正确.
.
法二：结论③正确.若证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线l的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，
直线的方程为：，
由
得
.
故点Q在直线，
由于Q的横坐标是常数，纵坐标不确定，它到定直线、的距离都不是常数，
而线段、的长度为定值，则、的面积不是定值.
因为Q到的距离，
因此的面积是定值，故③正确.
.
法三：结论③正确.若证：的面积是定值.
由题意得，，，，，直线的斜率不为0.
（i）当直线l垂直于x轴时，，由得或，
不妨设，，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，所以，
故Q到的距离，
此时的面积是.
（ii）当直线l不垂直于x轴时，
设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
直线的方程为：，
直线的方程为：，
由，
得
.
若证：.
即证，
即证，
即证，
即证，
上式显然成立，
故点Q在直线，
由于Q的横坐标是常数，纵坐标不确定，它到定直线、的距离都不是常数，
而线段、的长度为定值，则、的面积不是定值.
因为Q到的距离，
此时的面积是定值，
.
由（i）（ii）可知，的面积为定值，故③正确.
.
法四：
结论③正确.若证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线l的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
直线的方程为：，
直线的方程为：，
因为，所以，
故直线的方程为：.
由，
得
，
解得.
故点Q在直线，
由于Q的横坐标是常数，纵坐标不确定，它到定直线、的距离都不是常数，
而线段、的长度为定值，则、的面积不是定值.
因为Q到的距离，
因此的面积是定值，故③正确.
.