湖北省沙市中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若数列的前6项为1,,,,,则数列的通项公式可以为( )
A.B.
C.D.
2、已知等比数列的前n项和为,其中,,的值为( )
A.128B.64C.63D.127
3、数列满足,,则的值为( )
A.B.1C.3D.2
4、若过点的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为( )
A.B.C.D.
5、若椭圆的弦AB被点平分,则AB所在直线的方程为( )
A.B.
C.D.
6、已知等差数列共有项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则的值为( )
A.30B.29C.28D.27
7、斐波拉契数列满足：,,.该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系,设,,给出以下三个命题：( )
①;
②;
③.
其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
8、已知A,B是圆上两点,且.若存在,使得直线与的交点P恰为AB的中点,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知数列的前n项和为,则下列结论正确的有( )
A.是递减数列B.
C.D.当最小时,
10、已知数列的通项公式为,则( )
A.数列为递增数列B.
C.为最小项D.为最大项
11、已知曲线C的方程为,圆,则( )
A.C表示一条直线
B.当时,C与圆M有3个公共点
C.当时,存在圆N,使得圆N与圆M相切,且圆N与C有4个公共点
D.当C与圆M的公共点最多时,r的取值范围是
12、已知双曲线的左､右焦点分别是,点P在双曲线的右支上,则( )
A.若直线的斜率为k,则
B.使得为等腰三角形的点P有且仅有2个
C.点P到两条渐近线的距离乘积为
D.已知点,则的最小值为5
三、填空题
13、设等比数列的前n项和为,且满足①,②是递增数列,③,写出一个满足上述三个条件的一个数列通项=________.
14、已知等差数列,的通项公式分别为,将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前n项和为____________.
15、在平面直角坐标系xOy中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线的距离的最小值是____________.
16、已知A,B,C是椭圆上的三个点,O为坐标原点,A,B两点关于原点对称,AC经过右焦点F,若且,则该椭圆的离心率是________.
四、解答题
17、已知数列为等差数列.
（1）,,求;
（2）若,求.
18、在平面直角坐标系中,,,,四点在同一个圆E上.
（1）求实数a的值;
（2）若点在圆E上,求的取值范围.
19、在数列中,,,.
（1）设,求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
20、已知公差不为0的等差数列的首项,且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,,是数列的前n项和,求使成立的最大的正整数n.
21、汶川震后在社会各界的支持和帮助下,汶川一中临时搭建了学校,学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐,每星期一有A、B两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一）,为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查.调查资料表明,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20％改选B,而选B菜的,下周星期一则有30％改选A,若用,分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
（1）试以表示;
（2）若,求的通项公式;
（3）在（2）的条件下,问第n个星期一时,选A与选B的人数相等？
22、已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求C的方程：
（2）点M,N在C上,且,,D为垂足.证明：存在定点Q,使得为定值.
参考答案
1、答案：D
解析：通过观察数列的前6项, 可以发现有如下规律:且奇数项为正,
偶数项为负,故用表示各项的正负;各项的绝对值为分数,
分子等于各自的序号数,而分母是以1为首项,2为公差的等差数列,
故第n项的绝对值是,
所以数列的通项可为,
故选：D.
2、答案：A
解析：由题意,显然首项不为0 且公比不为1 ,
可得 ,解得 ,所以.
故选：A.
3、答案：B
解析：由已知,,
,,,
,,
因此数列是周期数列, 周期是6,
所以.
故选：B.
4、答案：B
解析：因为圆与两坐标轴都相切,点在该圆上,
所以可设该圆的方程为 ,
所以,即,解得 或 ,
所以圆心的坐标为或,所以圆心到直线的距离为或 ,
故选：B.
5、答案：A
解析：设,
则,
所以,
整理得,
因为为弦AB的中点,
所以,
所以,
所以弦AB所在直线的方程为,即.
故选：A.
6、答案：B
解析：由题知奇数项共有项,其和为,
偶数项共有n项, 其和为,
所以.
7、答案：D
解析：
8、答案：B
解析：圆,半径,
因为M恰为AB的中点, 直线与圆相交弦长,
所以,
M的轨迹方程足.
又直线过定点,直线过定点,
且,则点P是两垂线的交点,所以P在以QS为直径的圆上,
则圆心,半径为
P的轨迹方程足 由于的斜率存在,
所以点P的轨迹要除去点,由已知得圆M与圆P有公共点,
, 即, 又 ,
所以, 解得
实数m的取值范围为.
故选：B.
9、答案：BCD
解析：,当时,;
当时,注意到时也满足,所以数列的通项公式为,
是递增数列,A选项错误;
,B选项正确;
,C选项正确;
,
当最小时,, D选项正确.
故选：BCD.
10、答案：CD
解析：对于A,,
可知当时,数列递减, 当 时,数列递减,A错误;
对于B,,,
则,B错误;
对于C和D,结合A选项分析可知为最小项,为最大项,
故选：CD.
11、答案：BC
解析：
12、答案：AC
解析：
13、答案：(答案不唯一,只要满足,即可)
解析：因为,是递增数列,
所以
由$
且,而,
所以,即只需满足,
取,则
故答案为:.
14、答案：
解析：因为数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列是以1首项,
以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项,
以6为公差的等差数列,所以的前n项和为,
故答案为:.
15、答案：
解析：设直线l与直线 平行且与曲线相切,
切点为,
由,得, 所以,
则, 故切点坐标为,所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离,即.
16、答案：
解析：
17、答案：（1）
（2）72
解析：（1）设公差为d,
由,解得,所以,
（2）因为,所以.
18、答案：（1）1或5
（2）见解析
解析：（1）设过A、B、C的圆的方程为
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程,
得,
解得：,,.
得圆的方程为
将点D的坐标代入上述所得圆的方程,
得解得或5;
（2）点在圆上,
其几何意义为圆E上的点到距离的平方减1.
如图：,
的最小值为;
的最大值为.
的取值范围是.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：
又
数列是首项为、公比为的等比数列;
（2）由（1）可知,即,
.
20、答案：（1）
（2）11
解析：（1）设等差数列的公差为d,则,
由题意可得,即,整理得,
,解得,故.
（2）,
所以,,
由得,可得,
所以,满足成立的最大的正整数n的值为11.
21、答案：（1）
（2）
（3）选A与选B的人数相等
解析：（1）由题可知,在本周星期一选A菜的,
下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,
又,所以整理得：.
（2）若,且,设,则
,
即可以看成是首项为﹣400,公比为的等比数列.
;
（3）又,则
由得
即第3个星期一时,选A与选B的人数相等.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得：,解得：,,
故椭圆方程为：.
（2）［方法一］：通性通法
设点,
若直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为：,
代入椭圆方程消去y并整理得：,
可得,,
因为,所以,即,
根据,代入整理可得：
,
所以,
整理化简得,
因为不在直线MN上,所以,
故,于是MN的方程为,
所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时,可得,
由得：,
得,结合可得：,
解得：或（舍）.
此时直线MN过点.
令Q为AP中点,即,
若D与P不重合,则由题设知AP是的斜边,故,
若D与P重合,则,故存在点,使得为定值.