江苏省泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则( )
A.B.C.D.
2、函数的定义域是( )
A.B.
C.D.
3、函数,则( )
A.B.C.1D.
4、下列选项中表示同一函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
5、已知,则等于( )
A.6B.12C.14D.16
6、函数,且,则( )
A.-6B.-2C.0D.2
7、在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论,估计以内的素数的个数为( )
（素数即质数,,计算结果取整数,其中是一个无理数）
A.1085B.2085C.2869D.8686
8、已知三个互不相等的正数a,b,c满足,,（其中是一个无理数）,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、设,若,则实数a的值可以为( )
A.0B.C.D.2
10、若正实数a,b满足,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11、已知函数,则( )
A.的定义域为R
B.
C.当时,
D.对定义域内的任意两个不相等的实数,,恒成立.
12、已知函数,若存在,使得,则称为函数的稳定点.下列函数中,有且只有一个稳定点的函数为( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、命题“对,都有”的否定是______________.
14、幂函数在上为减函数,则实数m的值为___________.
15、已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则_______________.
16、命题在单调增函数,命题在R上为增函数,则命题P是命题Q的___________.（在“充分不必要条件､必要不充分条件､充要条件､既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）
四、解答题
17、已知集合,.
(1)求;
(2)若集合,求实数m的取值范围.
18、计算：
(1);
(2)不等式的解集为,求实数a,b的值.
19、已知幂函数,其中,满足：①是区间上单调递增;②对任意的,都有.
(1)求同时满足①,②的幂函数的解析式;
(2)判断函数在定义域内的单调性并用函数单调性的定义证明.
20、已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,.
(1)现已画出函数在y轴左侧的图象,请将函数的图象补充完整,并写出函数的解析式和单调减区间;
(2)若函数,求函数的最大值.
21、第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行,这是体育的盛会,也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机,欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元,每生产x（千件）装备,需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得,调查发现,当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元,从市场调查来看,2023年预计最多能售出100千件.
(1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数;（利润销售总额-总成本）
(2)求当2023年产量为多少千件时,该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22、对于函数,若在定义域内存在实数,且,满足,则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数,满足,则称为“弱奇函数”.
(1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”;（直接写出结论）
(2)已知函数,试判断为其定义域上的“弱奇函数”,若是,求出所有满足的的值,若不是,请说明理由;
(3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由,即可得.
故选：D.
2、答案：C
解析：要使函数有意义,
需满足,解得且,即函数的定义域为,
故选：C.
3、答案：B
解析：,.
故选：B.
4、答案：D
解析：A选项中,定义域为,的定义域为R,
定义域不同,所以不是同一个函数,A错误;
B选项中,的定义域为R,的定义域为,
定义域不同,所以不是同一个函数,B错误;
C选项中,中,,解得：或,
即的定义域为,中,解得,
即的定义域为,定义域不同,所以不是同一个函数,C错误;
D选项中,与的定义域均为R,
且 ,所以与是同一个函数,所以D正确.
故选：D.
5、答案：C
解析：由可得：,
则.
故选：C.
6、答案：A
解析：因为,所以,
则,
令,得,又,所以.
故选：A.
7、答案：A
解析：由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为,
则以内的素数的个数为
==
=2500,
故选：A.
8、答案：B
解析：因为,所以
所以根据幂函数的性质可得,
因为a,b,c都是正数,
,
,
因为是递增函数,又因为,
作出和的图像,如图可得,当时,两函数值相等;时,图像一直在的上方,所以
故,
故选：B.
9、答案：ABC
解析：,由,则,
当时,方程无解,则;
当时,即,方程的解为,可得或,解得或.
故选：ABC.
10、答案：AB
解析：若,且,
则有：对于选项A：因为,
当且仅当,即时,等号成立,所以,故A正确;
对于选项B：因为,
当且仅当即时,等号成立,所以,故B正确;
对于选项C：因为,当且仅当时,等号成立,
可得,所以ab有最大值,故C错误;
对于选项D：,
因为,所以,所以当时,有最小值,故D错误;
故选：AB.
11、答案：ABD
解析：因为,所以,即恒成立,
所以函数的定义域为R,故选项A正确;
,
所以,故选项B正确;
因为,
且函数在上单调递增,又有在上单调递减,
所以在上单调递减,所以,
且x无限趋向于正无穷大时,无限趋向于负无穷,所以,故选项C错误;
记函数,由选项A知的定义域为R,
且,所以是奇函数,
因为,且函数在上单调递增,
又有在上单调递减,所以在上单调递减,
所以,
因为是奇函数,所以在上单调递减,
所以在R上单调递减,且,所以在R上单调递减,
所以对定义域内的任意两个不相等的实数,,恒成立,故选项D正确.
故选：ABD.
12、答案：ABC
解析：对于A:,,,只有一个稳定点,A选项正确;
对于B: ,
,,,只有一个稳定点,B选项正确;
对于C:,,
结合函数图像只有一个交点即只有一个稳定点,C选项正确;
对于D: ,,,,有两个稳定点,D选项错误.
故选：ABC.
13、答案：,使得;
解析：命题“对,都有”为全称量词命题,
其否定为存在量词命题,故其否定为：,使得
故答案为：,使得.
14、答案：0
解析：因为幂函数在上为减函数,
所以,解得.
故答案为：0.
15、答案：-2
解析：因为奇函数满足当时,,
所以.
故答案为：-2.
16、答案：必要不充分条件
解析：因为命题在单调增函数,
当时,,满足题意;
当时,则有,解得;
综上：,
又因为命题在R上为增函数,
则有,解得,
若命题Q成立,则命题P一定成立,反之则不一定成立,
所以P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）,,
;
（2）,,
,或,
解得或,即m的取值范围是.
18、答案：(1)4
(2)实数a,b的值分别为3,2
解析：（1）.
（2）因为不等式的解集为,
所以,1为方程的两根且,
由根与系数的关系得,解得,所以实数a,b的值分别为3,2.
19、答案：(1)
(2)增函数,证明见解析
解析：（1）由函数是区间上单调递增得,得,
而,得或.
当时,对任意的,都有;
当时,对于,不恒成立.（舍）
所以,
（2）设任意,且,,
由,故,,显然不会同时成立,
故,于是,即,
在R上单调递增,为增函数
20、答案：(1)图象见解析,,单调递减区间为和
(2)
解析：（1）如图所示,根据偶函数的图象关于轴对称,可作出的图象,
当时,则,因为函数为偶函数,所以,
所以函数的解析式为,
可得的单调递减区间为和;
（2）当时,,
可得其对称轴的方程为且开口向上,
①当时,即时,;
②当时,即时,,
综上可得,.
21、答案：(1)
(2)30千件,850万元
解析：（1）由题意知,当时,,所以,
当时,;
当时,,
所以;
（2）当时,函数W在上是增函数,在上是减函数,
所以当时,W有最大值,最大值为850;
当时,由基本不等式得,
当且仅当时取等号,所以当时,W有最大值,最大值为755;
因为,所以当年产量为30千件时,该企业的年利润最大,最大年利润为850万元.
22、答案：(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”
(2)不是,理由见解析
(3)
解析：（1）对于,则,
又函数在定义域上单调递增,
所以不存在使得,即不是“弱偶函数”,
若存在使得,即,
即,又,当且仅当,即时取等号,
所以方程无解,故不存在使得,
即不是“弱奇函数”,
综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”.
（2）假设为其定义域上的“弱奇函数”,则,
若,则,则,舍去;
若,则,则,舍去;
若,则,则,舍去;
从而无解,所以不是其定义域上的“弱奇函数”.
（3）由在上恒成立,
转化为在上恒成立,即.
因为为其定义域上的“弱奇函数”,
所以存在实数使得,
当时,则,所以,即,
所以,,
即在有解可保证是“弱奇函数",所以,
又因为,所以;
当时,,此时,不成立;
当时,则,所以,则,
即,即在有解可保证是“弱奇函数”,
所以,由可知;
综上所述,实数m的取值范围为.