山东省济南市莱芜区莱芜第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市莱芜区莱芜第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知直线,若直线与垂直,则的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知空间向量,,m,,若,则( )
A.2B.C.14D.
3、各项为正的等比数列中,,,则的前5项和( )
A.121B.120C.61D.45
4、圆与圆的位置关系是( )
A.相交B.外切C.内切D.相离
5、在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中点,E,F分别是,AD的中点,那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于( )
A.B.C.D.
6、已知双曲线C的渐近线方程为,且经过点,则C的标准方程为( )
A.B.C.D.
7、如图,已知,分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M,N.若过点的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8、“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列,则( )
A.103B.107C.109D.105
二、多项选择题
9、已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,若,则( )
A.B.
C.D.的坐标为
10、已知圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1,则直线l的方程可以是( )
A.B.C.D.
11、如图,已知正方体的棱长为2,E,F,G分别为AD,AB,的中点,以下说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为1B.平面EFG
C.平面EFGD.平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
12、设首项为1的数列的前n项和为,若,则下列结论正确的是( )
A.数列为等比数列
B.数列的通项公式为
C.数列为等比数列
D.数列的前n项和为
三、填空题
13、过点作圆的切线,则切线方程为________.
14、数列中,,,若数列是等差数列,则________.
15、已知椭圆:()中,,为椭圆的左,右焦点,,为椭圆的上,下顶点,若四边形是一个正方形,则椭圆的离心率为________.
16、已知双曲线,（,）的左右焦点分别为,过的直线与圆相切,与双曲线在第四象限交于一点,且有轴,则直线的斜率是________,双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题
17、已知等差数列的前三项分别为2a,3,
（1）求的通项公式
（2）若,求数列的前n项和.
18、已知圆,圆.
（1）求圆与圆的公共弦长;
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
19、如图,在三棱柱中,,,平面.
（1）求证:;
（2）若,直线AB与平面所成的角为,求二面角的正弦值.
20、已知椭圆的离心率为,点在上.
（1）求C的方程;
（2）直线l不过原点且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值,并求出该定值.
21、在数列中,,,且,,成等比数列.
（1）证明数列是等差数列,并求的通项公式;
（2）设数列满足,其前n项和为,证明:.
22、已知双曲线的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为,F到渐近线的距离为.
（1）求C的方程;
（2）若直线l过F,且与C交于P,Q两点（异于C的两个顶点）,直线与直线AP,AQ的交点分别为M,N.是否存在实数t,使得?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析：因为直线与垂直,且,
所以,解得,
设的倾斜角为,,所以.
故选:A.
2、答案：C
解析：因为空间向量,,m,,
如果,则,
所以,
解得,
所以,
故选:C.
3、答案：A
解析：设等比数列的公比为q,
,,又,,解得:,
.
故选:A.
4、答案：C
解析：由与圆,
可得圆心,,半径,,
则,
且,
所以,所以两圆相内切.
故选:C.
5、答案：B
解析：建立空间直角坐标系如图所示:
所以,,所以,
所以异面直线OE和所成的角的余弦值为,
故选:B.
6、答案：A
解析：根据渐近线方程可设双曲线C方程为:,
双曲线C过点,,
双曲线C的标准方程为:.
故选:A.
7、答案：A
解析：因为过点的直线圆的切线,,,所以.
由椭圆定义可得,可得椭圆的离心率.
故选:A
8、答案：B
解析：由题意可将问题转化为既是3的倍数,也是7的倍数,也即是21的倍数,
即,,则,
,
故选:B
9、答案：AC
解析：由题可知,由,,
所以,.
故选:AC.
10、答案：BCD
解析：由题知,圆,圆心为,半径为,
因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1,
所以圆心到直线l的距离,
对于A,圆心为到直线的距离,故A错误;
对于B,圆心为到直线的距离,故B正确;
对于C,圆心为到直线的距离,故C正确;
对于D,圆心为到直线的距离,故D正确;
故选:BCD
11、答案：AB
解析：A选项,,
所以,A选项正确.
建立如图所示空间直角坐标系,
,,,,,,
,,,,
,,所以,,
由于,EG,平面FEG,所以平面EFG,B选项正确.
平面EFG的一个法向量为,
,所以与平面EFG不平行,C选项错误.
平面ABCD的法向量为,
设平面EFG于平面ABCD的夹角为,
则,D选项错误.
故选:AB
12、答案：AD
解析：
又,
数列是首项公比都为2的等比数列,故选项A正确.
又
所以数列的前n和为,故选项D正确.
又因为,
当,
当,,
故选项B错误.
,
所以数列不是等比数列.故选项C错误.
故选:AD
13、答案：或
解析：圆的圆心为,半径
过点的直线,
当斜率不存在时,直线方程为,符合与圆C相切;
当斜率存在时,设直线方程为,即,
则,解得,此时直线方程为.
故答案为:或.
14、答案：
解析：设数列的公差为d,因为,,
则,所以,
所以,
因此,解得.
故答案为:
15、答案：
解析：四边形是一个正方形,
正方形的对角线相等,,
焦距,短轴长,
即,
,
离心率.
故答案为:.
16、答案：,
解析：如图所示,不妨设直线l与圆C相切于点A,
,由于,,,,
,,
代入进入,可得
,
,渐近线方程为
故答案为:,
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列公差为d,由已知,,,
所以,解得,则,,,
所以公差,所以.
（2）由题意可得,
所以
.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,
即,化简得,
所以圆的圆心到直线的距离为,
则,解得,
所以公共弦长为.
（2）解法一:
设过两圆的交点的圆为,,
则,;
由圆心在直线上,则,解得,
所求圆的方程为,即.
解法二:
由（1）得,代入圆,
化简可得,解得;
当时,;当时,;
设所求圆的圆心坐标为,
则,解得;
所以;
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为平面,平面,所以,
因为,四边形是平行四边形,所以四边形是菱形,
所以,
又因为,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以.
（2）因为与平面所成角为,平面,所以,
因为,所以是正三角形,
设,则,,,
以O为原点,分别以OB,,OA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,则,
取,可得,,所以,
设平面的一个法向量为,则,
取,可得,,所以,
设二面角的大小为,
因为,
所以,
所以二面角的正弦值为.
20、答案：（1）;
（2）证明见解析,定值.
解析：（1）因椭圆的离心率为,则,即,
又点在上,则有,联立解得,,
所以椭圆的方程为.
（2）因直线l不过原点O且不平行于坐标轴,则设直线,,,
将代入得,
,即,,
于是得,,
因此,直线OM的斜率,则有,
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
21、答案：（1）证明见解析,
（2）证明见解析
解析：（1）,
,
,
,
,
数列是首项为1,公差为c的等差数列,
,即,
,,成等比数列,
,
,解得或(舍),
故;
（2）由小问1可得,,
,
,
,
,
,
,
.
22、答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）双曲线一条渐近线方程为,
焦点,则焦点到渐近线的距离,
由F到渐近线的距离为可知:,
由渐近线方程为知:,故,
所以双曲线方程为:;
（2）设直线l的方程为,
联立,整理得:,
设,,而,,
则,,
所以,,
假设存在实数t,使得,则,
故由AP方程:,令得,
同理AQ方程:,令得,
所以,
即,
则,
即,解得,
故存在实数,使得.