阳信县第二高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份阳信县第二高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、复数( )
A.B.C.D.
2、已知向量,,,若,则实数m的值是( )
A.B.C.10D.8
3、在中，下列各式正确的是( )
A.B.
C.D.
4、已知中,AC的中点为M,点O是线段BM三等分点(靠近点M),则向量( )
A.B.C.D.
5、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则的值是( )
A.6B.8C.4D.2
6、如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角,C点的仰角以及,从C点测得,已知山高m,则山高( )
A.150mB.mC.mD.m
7、一个三角形的腰与底边(或底边与腰)的比值等于黄金比,则称此三角形为黄金三角形.黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形,其中锐角三角形的顶角,底角,而钝角三角形顶角,底角.如图,在一个锐角黄金中,.根据这些信息,可得( )
A.B.C.D.
8、如图所示的矩形ABCD中,,,以B为圆心的圆与AC相切,P为圆上一点,且,若,则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.多面体至少有四个面B.平行六面体六个面都是平行四边形
C.长方体,正方体都是正四棱柱D.棱台的侧面都是梯形
10、下列说法中错误的是( )
A.单位向量都相等
B.向量与是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
C.若为非零向量,则表示为与同方向的单位向量
D.若,,则
11、已知平面上点O是直线l外一点,A,B是直线l上给定的两点,点C是直线l上的动点,且满足,则下列说法正确的是( )
A.当时,点C为线段AB的中点
B.当点C为线段的三等分点时,
C.当时,点C在线段AB上
D.当点C在线段AB的延长线上时,
12、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心,内心,外心,垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M是内一点,,,的面积分别为,,,且.以下命题正确的有( )
A.若,则M为的重心
B.若M为的内心,则
C.若,,M为的外心,则
D.若M为的垂心,,则
三、填空题
13、已知为坐标原点,,,则______.
14、若,,,的夹角为,若,则m的值为________.
15、一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,船继续航行半小时后,看见灯塔在船的南偏西方向,另一灯塔在船的南偏西方向,则这艘船的速度是____________
16、如图所示,点P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,点B是AC的中点,,且.
①当时,______;
②的最大值为______.
四、解答题
17、（1）已知,,求向量在上的投影向量的坐标.
（2）已知,,若,的夹角为锐角,求的取值范围.
18、（1）已知关于x的实系数方程,若是方程的一个复数根,求出m,n的值;
（2）复数,,的最大和最小值各是多少?
19、在①;
②;
③,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且________.
（1）求角C的大小;
（2）若,求周长的取值范围.
20、如图,平面四边形ABCD中,,,,,AC交BD于M点.
（1）若,求BD;
（2）若,求.
21、如图矩形ABCD,,,AC与EF交于点N.
（1）若,求的值;
（2）设,,试用,表示.
22、如图1所示,在中,点D在线段BC上,满足,G是线段AB上的点,且满足,线段CG与线段AD交于点.
（1）若,求实数t;
（2）如图2所示,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设,;
（1）求的最大值;
（2）设的面积为,四边形BEFC的面积为,求的取值范围.
(参考公式:的面积)
参考答案
1、答案：B
解析：复数.
故选:B
2、答案：A
解析：
;
故选:A.
3、答案：D
解析：对于选项A：由正弦定理有, 故, 故选 项A错误；
对于选项B ：因为, 故, 故选项B错误；
对于选项C：, 由余弦定 理 得
; 故选项C错 误;
对于选项D：由正弦定理可得, 再根据诱导公式可得：,
即 ，故选项D正确;
故选：D
4、答案：C
解析：因为点O是线段三等分点(靠近点M),
所以,因为的中点为,
所以,
即.
故选:C
5、答案：A
解析：因为,
根据正弦定理得到:
故得到
,
再由余弦定理得到:
代入,,得到.
故选:A.
6、答案：A
解析：由题意,m,三角形ABC为直角三角形,可得,
在中,,,则,
由正弦定理有:,即,
故,
在直角三角形MAN中,,
可得(m)
故选:A
7、答案：A
解析：取BC的中点D,连接AD,如下图所示:
则,
所以,,
所以,.
故选:A.
8、答案：C
解析：过点P做交AB延长线于点E,如图所示:
因为矩形ABCD中,,,所以,
因为P为圆上一点,所以BP为圆的半径,
因为圆与AC相切,根据面积相等可得:
,即,
解得,因为,所以,
所以,因为,所以,
因为,,所以,
所以,因为,,所以,
所以,所以,
所以,
故,所以.
故选:C
9、答案：ABD
解析：最简单的多面体是三棱锥,它有四个面,A正确;由平行六面体的定义知,平行六面体六个面都是平行四边形,B正确;
长方体的共点的三条棱可以互不相等,而正四棱柱底面是正方形,即长方体不一定是正四棱柱,正方体是正四棱柱,C错误;
由棱台的结构特征知,棱台的的侧面都是梯形,即D正确.
故选:ABD
10、答案：ABD
解析：对A,单位向量方向不一定相同,故A错误;
对B,向量与是共线向量,A,B,C,D不一定在一条直线上,故B错误;
对C,为非零向量,则模长为1,方向与同向,故C正确;
对D,若时,,,但推不出,故D错误.
故选:ABD
11、答案：AC
解析：由题意可得,即,
当时,点,即C为线段的中点,A正确;
当点C为线段AB的三等分点时,C可能是靠近B的三等分点也可能是靠近A的三等分点,
故或,B错误;
当时,,由于同向,故点C在线段AB上,C正确;
当点C在线段AB的延长线上时,,反向,故,D错误,
故选:AC
12、答案：ABD
解析：对于A,取BC的中点D,连接MD,AM,
由,则,
所以,
所以A,M,D三点共线,且,
设E,F分别为AB,AC的中点,同理可得,,
所以M为的重心,故A正确;
对于B,由M为的内心,则可设内切圆半径为r,
则有,,,
所以,
即,故B正确;
对于C,由m为的外心,则可设的外接圆半径为R,
又,,
则有,,,
所以,
,
,
所以,故C错误;
对于D,如图,延长AM交BC于点D,延长BM交AC于点F,延长CM交AB于点E,
由M为的垂心,,则,
又,则,,
设,,则,,
所以,即,
所以,所以,故D正确;
故选:ABD.
13、答案：
解析：因为,所以.
故答案为:.
14、答案：
解析：由题意知,,
即,解得.
故答案为:.
15、答案：海里/小时
解析：设船初始位置为A,航行半小时后到达位置B,两灯塔的位置为C,D,如图所示,
由题意知:,,,,
,,
,;
在中,,
船的速度为(海里/小时)
故答案为:海里/小时.
16、答案：;
解析：①由题意可知,作出图形如图所示
因为点B是AC的中点,
所以,即,
因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
所以当时,.
②过P作交OE于M,过P作交AO的延长线于N,如图所示
因为四边形PMON是平行四边形,
所以.
又;
所以,;
由图形看出,当P与B重合时,;
此时x取最大值0,y取得最小值1
所以的最大值为.
故答案为:;.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题意可得:,,
向量在方向上的投影向量为:;
（2）因为,的夹角为锐角,所以,解得:,
又当与共线时,可得:,解得:,
此时,此时与同向,需排除,
所以的取值范围是:.
18、答案：（1）,
（2）见解析
解析：（1）因为是方程的一个复数根,
所以,化简得;
所以,解得,.
（2）由复数的几何意义知,在复平面内对应点的坐标为;
表示复数对应点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,
所以最大值为,最小值为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）选择条件①:由及正弦定理,得:,
即,由余弦定理,得,
因为,所以;
选择条件②:由及正弦定理,
得:,
即.
即.
在中,,所以,
即,因为,所以,所以,
因为,所以;
选择条件③:由及正弦定理,
得:,
因为,,所以.
在中,,则,
故.
因为,所以,则,
故;
（2）中应用余弦定理得:,
所以,因为,
所以.因为,
所以,解得:,
又因为,
所以,当且仅当时取等号.
所以周长的取值范围是:
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,,,又因为,,为等边三角形,所以中,故中,,.
（2）设,则,,
中,由余弦定理得,
所以.,
解得.
由题意可知:,得,
所以,得
21、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意,
又,所以,解得.
（2）因为,,
所以,所以.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意,因为,
所以,
因为G,O,C三点共线,所以存在实数m使得,
所以,
因为,
所以,
又因为,
所以,
解得:,,
综上所述,.
（2）根据题意.
同理可得:,
由（1）可知,,
所以,
因为E,O,F三点共线,所以存在实数n,使得,
所以,
所以
化简得,又因为,
所以,
当且仅当,即,时等号成立.
根据题意,,
,
所以
,
由（1）可知,则,
所以,
所以,
易知,当时,有最大值,
又因为,
则.