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所属成套资源：2024秋七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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专题1.1 数轴上的动点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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这是一份专题1.1 数轴上的动点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题11数轴上的动点问题压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题11数轴上的动点问题压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
【典例1】如图，数轴上，点A表示的数为−11，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
（1）动点P从点A运动至D点需要时间为_________秒；
（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数．
【思路点拨】
（1）根据AB、BC、CD三段的路程分别除以每段速度即可计算出答案；
（2）分P在AB，Q在CD；P在AB，Q在CO，P在BO，Q在CO；P 、Q相遇；P在OC，Q在OB；P在OC，Q在BA；进行讨论计算即可；
（3）根据点Q到A时间，点P位置，与点P到C时间，点Q位置，得出Q在射线CD上追上P，分别将P、Q所表示的数表示出来，列方程，解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A表示的数为−11，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为17，
∴AB=-1-（-11）=10，BC=9-（-1）=10，CD=17-9=8，
∴动点P从点A运动至D点需要时间为：102+101+82=5+10+4=19（秒），
故答案为：19；
（2）①当P在AB，Q在CD时，P所表示的数为：-11+2t ，Q所表示的数为：17-2t
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴-11+2t+17-2t=6，
此时该方程无解；
②当P在AB，Q在CO时，P所表示的数为：-11+2t ，Q所表示的数为9−4t−82=25−4t，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴-11+2t+25-4t=0，
解得：t=7＞5，
此时：P不在AB上，故不符合题意，舍去；
③当P在BO，Q在CO时，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为：9−4t−82=25−4t ，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+25-4t=0，
解得：t=193＞6 ，
此时：P不在BO上，故不符合题意，舍去；
④当P 、Q相遇时，P、Q均在BC上，此时P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为：9−4t−82=25−4t ，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6=25-4t，
解得：t=315 ，
∴25−4t=25−4×315=15，
此时：P所表示的数为：15，Q所表示的数为：15；
⑤当P在OC，Q在OB时，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为： 9−4t−82=25−4t，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+25-4t=0，
解得：t=193 ，
t−6=193−6=13，
此时：P所表示的数为：13 ，Q所表示的数为：−13 ，
⑥当P在OC，Q在BA ，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为： −1−2t−82−104=−1−2t+8+5=12−2t
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+12-2t=0，
解得：t=6 ，
此时：P所表示的数为：0，Q所表示的数为：0 ，Q不在AB上，故，故不符合题意，舍去
综上所述：P所表示的数为15或13，
（3）∵Q到达A点所需时间为82+104+102=4+2.5+5=11.5 （秒），此时P到达的点表示的数是：-11+5×2+1+1×（11.5-5-1）=4.5 ，
又∵P到达点所C需时间为102+101=15 （秒），此时Q到达的点是：-11+103×3+2×（15−11.5-103）=13 ，点Q在BO上，
∴Q在射线CD上追上P，此时P所表示的数为：-11+10+10+2（t-15）=2t-21 ，
Q所表示的数为： −11+10+10+3t−11.5−103−5=3t−50.5，
∴2t−21=3t−50.5，
∴t=29.5，
∴9+2(29.5-15)=9+29=38，
此时P所表示的数为：38 ，Q所表示的数为：38．
1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B与A点距离16个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒．
（1）数轴上点B表示的数为___________，点P表示的数为___________（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数．
【思路点拨】
（1）由已知得OA=10，则OB=AB−OA=6，即得出数轴上点B所表示的数；由动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出AP=5t，从而可求出点P表示的数；
（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，根据等量关系得到5t=16+3t，然后求解即可；②分点P未超过点Q和点P超过点Q两种情况讨论，设运动时间为t，根据题意得到16+3t−5t=6和16+3t+6=5t两个方程，求解即可．
【解题过程】
（1）∵数轴上点A表示的数为10，
∴OA=10，
∴OB=AB−OA=6．
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为−6；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴AP=5t，
∴点P所表示的数为10−5t．
故答案为：−6，10−5t；
（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，
则5t=16+3t，
解得：t=8，
∴点P运动8秒追上点Q；
②设当点P运动时间为t秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度，
当P不超过Q，则16+3t−5t=6，
解得：t=5；此时点P表示的数为10−5t=−15
当P超过Q，则16+3t+6=5t，
解得t=11；此时点P表示的数为10−5t=−45
综上所述：t=5点P表示的数为−15或t=11点P表示的数为−45．
2．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数−30，−16，4，两条动线段PQ和MN，PQ=2，MN=3，如图，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，线段PQ同时以每秒2个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到C时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点P运动到点A时，线段MN，PQ立即同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边）
（1）当t为何值时，点Q和点N重合？
（2）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点P表示的数；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点Q行走的路程−N行走的路程=AB；返回后相遇等量关系为：点Q行走的路程+N行走的路程=AC+BC；
（2）分两种情况讨论，追及时点Q超过点M一个单位长度和点Q超过点N一个单位长度时都符合线段PQ和MN重合部分长度能为1；返回后相遇时点Q离点N一个单位长度和点Q离点M一个单位长度时都符合线段PQ和MN重合部分长度能为1；据此求得t的值，从而求得点P的范围．
【解题过程】
（1）解：①追及时，Q到达点C的时间为4−−30÷2=17（秒）
依题意得：2t−t=−16−−30，
解得：t=14，符合题意
②返回后相遇，依题意得：2t+t=4−−16+4−−30，即：3t=54，
解得：t=18，符合题意；
答：当t=14或t=18时，点Q和点N重合；
（2）解：①追及时点Q超过点M一个单位长度：2t−t=−16−3−−30+1，即，
解得：t=12，此时P点表示的数为：−30−2+2×12=−6；
②追及时点Q超过点N一个单位长度：2t−t=−16−−30+1，
解得：t=15，此时P点表示的数为：−30−2+2×15=−2；
③返回后相遇时点Q离点N一个单位长度：2t+t=4−−30+4−−16−1，即：3t=53，
解得：t=533，
此时P点表示的数为：4−2−2×533−17=23
④返回后相遇时点Q离点M一个单位长度：2t+t=4−−30+4−−16+2，即：3t=56，
解得：t=563，
此时P点表示的数为：4−2−2×563−17=−43
综上：点P表示的数为：−6、−2、23或−43．
3．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图、点A、B，C是数轴上分别表示数-6，2，13的点，两只电子蚂蚁甲乙分别以3个单位秒和1个单位秒的速度同时从点A、点B出发，其中甲刚开始沿数轴的正方向运动，当运动到点C时，立即以相同的速度反向运动，乙始终沿数轴的负方向运动．
（1）求电子蚂蚁甲与乙从开始出发到第一次相遇所经过的时间．
（2）当电子蚂蚁甲反向运动追上电子蚂蚁乙时，求此时乙在数轴上所表示的数．
（3）在电子蚂蚁甲、乙开始运动的同时，若在点C处存在一只电子蚂蚁丙以2个单位秒的速度沿数轴的负方向运动，求经过多少秒后甲恰好位于乙、丙的正中间？
【思路点拨】
（1）先求出AB的长度，然后利用路程=速度×时间，即可求出时间；
（2）先求出甲到达点C时的时间和甲乙相距的路程，然后求出甲追上乙的时间，再求出乙表示的数即可；
（3）根据题意，需要分类讨论，然后分别求出每一种情况的时间，即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）根据题意，则
AB=2−(−6)=8，
∴甲乙第一次相遇的时间为：8÷(3+1)=2s；
（2）根据题意，AC=13−(−6)=19，
∴甲到达点C的时间为：19÷3=193s，
∴此时甲乙之间的距离为：13−2+193×1=523；
∴甲与乙第二次相遇的时间为：193+523÷(3−1)=193+263=15s；
∴此时乙在数轴上所表示的数为：2−15×1=−13；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：
当甲向数轴正方向运动时，则设时间为t，得
甲的位置是：−6+3t，乙的位置是：2−t；丙的位置是：13−2t，
∵甲恰好位于乙、丙的正中间，
∴(−6+3t)−(2−t)=(13−2t)−(−6+3t)，
解得：t=3s；
当甲向数轴负方向运动时，则
由（2）可知，当甲追上乙时，时间为15秒，且此时乙所在的位置为−13，
∴丙所在点表示的数为：13−15×2=−17，
∴此时丙和乙的距离为：−13−(−17)=4，
设甲追上乙后，再过m秒达到乙和丙的中间，则
甲的位置为：−13−3m，乙的位置为：−13−m，丙的位置为：−17−2m，
∴(−13−3m)−(−17−2m)=(−13−m)−(−13−3m)，
解得：m=43，
∴时间为：15+43=1613s；
综合上述，则经过t=3或t=1613秒后甲恰好位于乙、丙的正中间．
4．（2022秋·四川绵阳·七年级校考期中）已知多项式−m2n2−2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C；
（2）若甲、乙、丙三个动点分别以A、B、C三点同时出发沿着数轴负方向运动，它们的速度分别是12，2，34（单位长度/秒）,当乙追上丙时,乙是否追上了甲？为什么？
（3）在数轴上是否存在一点P，使P到A、B、C的距离和等于10？若存在,请求出点P对应的数；若不存在,请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据单项式的系数，多项式的次数，常数项的定义即可求解；
（2）先求出AB=5,AC=1,BC=6，设乙追上甲用了x秒，列方程2x−12x=5，解得x=103，设乙追上丙用了y秒，列方程2y−34y=6，解得y=245，根据103<245，即可得到当乙追上丙时，乙已经追上了甲；
（3）设点P表示的数为m，分点P在点C左侧、点P在A、C之间、点P在A、B之间、点P在点B右侧四种情况分类讨论，求出m的值，并进行检验，问题得解．
【解题过程】
（1）解：由题意得多项式−m2n2−2含字母项为−m2n2，系数为-1，多项式次数为4，常数项为-2，
所以a=−1，b=4，c=−2，
数轴上点A、B、C位置如图：
（2）解：由题意得，AB=4−−1=5,AC=−1−−2=1,BC=4−−2=6，
设乙追上甲用了x秒，
由题意得2x−12x=5，
解得x=103，
设乙追上丙用了y秒，
由题意得2y−34y=6，
解得y=245，
因为103<245，
所以当乙追上丙时，乙已经追上了甲；
（3）解：设点P表示的数为m，
①当点P在点C左侧时，由题意得−2−m+−1−m+4−m=10，
解得m=−3；
②当点P在A、C之间时，由题意得m−−2+−1−m+4−m=10，
解得m=−5，因为−5<−2，所以m=−5不合题意；
③当点P在A、B之间时，由题意得m−−2+m−−1+4−m=10，
解得m=3；
④当点P在点B右侧时，由题意得m−−2+m−−1+m−4=10，
解得m=113，因为113<4，所以m=113不合题意．
所以点P对应的数是-3或3．
5．（2022秋·重庆·七年级校联考期中）已知数轴上有A、B两点，分别用a、b表示，且关于x、y的多项式2xa+5y2+b−3y为三次单项式．
（1）求出a、b的值，并在数轴上标注A、B两点；
（2）若动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动；同时动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点P到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点P与动点Q到原点的距离相等；
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，又有一动点M从B点出发，以每秒3.5个单位长度的速度向左运动，则经过多长时间，动点P、Q、M互为余下两点的中点？（请直接写出答案）
【思路点拨】
（1）根据单项式的概念，求出字母a、b的值，然后在数轴上标注A、B两点即可；
（2）分两种情况讨论：①当t≤43秒时，点P是向右运动；②当t>43秒时，点P是向左运动；分别列式计算即可；
（3）当t=1413秒时，点P与Q相遇，当t>43秒时，点P开始向左运动；故分三种情况进行讨论：①当t≤1413秒时，点P是向右运动，此时点M为中点；②当141343秒时，点P是向左运动，此时点P为中点；分别列方程进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵关于x、y的多项式2xa+5y2+b−3y为三次单项式，
∴a+5+2=3, b−3=0，
∴a=−4, b=3，
如图所示，在数轴上标注的A、B两点；
（2）解：设经过时间为t秒，
①当t≤43秒时，点P是向右运动，若动点P与动点Q到原点的距离相等，
则4−3t=3−2t，
解得，t=1（秒）；
②当t>43秒时，点P是向左运动，若动点P与动点Q到原点的距离相等，
则3t−4=3−2t，
解得，t=75；
故，经过1秒或75秒时，动点P与动点Q到原点的距离相等；
（3）解：依题，当−4+3t=3−3.5t时，即当t=1413秒时，点P与M相遇，当t>43秒时，点P开始向左运动；
①当t≤1413秒时，点P是向右运动，点P表示−4+3t，点M表示3−3.5t，点Q表示3−2t，此时点M为中点，
∴3−3.5t−(−4+3t)=3−2t−(3−3.5t)，
∴t=78（秒）；
②当1413∴−4+3t−(3−3.5t)=3−2t−(−4+3t)，
∴t=2823（秒）；
③当t>43秒时，点P是向左运动，此时点P为中点，点P表示4−3t，
∴4−3t−(3−3.5t)=3−2t−(4−3t)，
∴t=4（秒）
综上所述，当经过78秒时，点M为P、Q中点，当经过2823秒或4秒时，点P为M、Q中点．
6．（2022秋·江苏·七年级期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．
（1）A、B两点之间的距离为_______；
（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？
（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．
①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；
②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．根据CA=3CB列出方程|x+4|=3|x−8|，解方程即可；
（3）①先求出P、Q两点相向而行相遇时所需的时间，再求出点P在数轴上对应的数即可；
②设点P出发t秒后，与点Q之间相距3个单位长度．由于AB=12>3，由于点P和点Q分别从点A、B同时出发，且点P的运动速度小于点Q的运动速度，所以它们同时向右运动时P、Q两点之间的距离>3．然后分两种情况进行讨论：Ⅰ)P、Q两点相向而行，Ⅱ)P、Q两点都向左运动．根据PQ=3列出方程，求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为−4、8，
∴A、B两点之间的距离为：8−(−4)=12．
故答案为12；
（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．
∵数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，
∴CA=3CB，
∴|x+4|=3|x−8|，
∴x+4=3(x−8)，或x+4=−3(x−8)，
解得x=14，或x=5．
故A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是14或5；
（3）①当P、Q两点相向而行相遇时，所需时间为：122+6=32（秒)，
此时点P在数轴上对应的数是：−4+2×32=−1．
故答案为−1；
②设点P出发t秒后，与点Q之间相距3个单位长度．
分两种情况：
（Ⅰ）P、Q两点相向而行，
此时点P对应的数为−4+2t，点Q对应的数为8−6t，
∵PQ=3，
∴|−4+2t−(8−6t)|=3，
∴8t−12=3，或8t−12=−3，
解得t=158，或t=98；
（Ⅱ）P、Q两点都向左运动，
此时点P对应的数为−4−2t，点Q对应的数为8−6t，
∵PQ=3，
∴|−4−2t−(8−6t)|=3，
∴4t−12=3，或4t−12=−3，
解得t=154，或t=94．
综上所述，点P出发158或98或154或94秒后，与点Q之间相距3个单位长度．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上点A表示的数是−1；点B在点A的右侧，且到点A的距离是6；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是________；点C表示的数是__________；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒、在运动过程中．当t为何值时点P与点Q之间的距离为2?
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC−QB=1?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式可求点B表示的数；根据线段的倍分关系可求点C表示的数；
（2）分点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后两种情况讨论即可求解；
（3）分点P在点C左侧时，点P在点C右侧时两种情况讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：（1）点B表示的数是−1+6=5；
∵CB=2CA，设点C表示的数为c，
∴5−c=2c−−1，
解得c=1，
故答案为：5，1；
（2）点P与点Q相遇前，
由题意得，2t+t=6−2，
解得t=43；
点P与点Q相遇后，由题意得，
2t+t=6+2
解得t=83．
故当t为43或83时，点P与点Q之间的距离为2；
（3）当点P在点C左侧时，PC=2−2t，QB=t，
∵PC−QB=1，
∴2−2t−t=1，
解得t=13．
∴PC=2−2t=43
此时点P表示的数是1−43=−13；
当点P在点C右侧时，PC=2t−2，QB=t，
∵PC−QB=1，
∴2t−2−t=1，
解得t=3．
∴PC=2t−2=4，
此时点P表示的数是1+4=5．
综上所述，在运动过程中，存在某一时刻使得PC−QB=1，此时点P表示的数为−13或5．
8．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为LAC=32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
（1）当t=4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
（2）当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
（3）若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
【思路点拨】
（1）先计算出AO，BC的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：
AO=0−−12=12，BC=20−12=8，
当t=4秒时，点M的运动路程：2t=8<12，点N的运动路程：2t=8，
∴经过4秒，点M在AO上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：−12+8=−4，点N表示的数为：20−8=12，
∴M、N两点距离为：12−−4=16．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：AO=12，BC=8，
∴点M到点O需要时间：122=6秒，点N到点B需要时间：82=4秒，
当相遇时：12+3t−6+8+t−4=32，
解得：t=8.5．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，
∴点A与点P距离为6−−12=18，点C与点P距离为20−6=14，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在OB上，
①当点M在OP上，点N在BP上时：
∵PM=18−12−3t−6，PN=14−8−t−4，
∴18−12−3t−6+14−8−t−4=6，
解得：t=3，
②当点M在PB上，点N在BP上时：
∵PM=12+3t−6−18，PN=14−8−t−4，
∴12+3t−6−18+14−8−t−4=6，
解得：t=10；
综上：t=3或t=10．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−24，−10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=____，PC=____．
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后QA=____，PQ=_____．
（3）在点Q开始运动后， P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出点P表示的数为−24+t，然后用数轴上两点间的距离公式计算即可；
（2）先分别求出QA=3(t−14),PA=t，然后再计算，当t=17s时QA、PQ的距离即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时；②当点P在Q左侧，点Q追上点P后；③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时；④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时．然后分别进行计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，
∴点P表示的数为−24+t，
∴PA=−24+t−(−24)=t，PC=10−(−24+t)=34−t；
故答案为：t, 34−t；
（2）解：∵当点P运动到B点时，
∴t=14，
此时点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，
∴QA=3(t−14)，
∴当t=17s时，
QA=3(t−14)=3×(17−14)=9，
PQ=t−3(t−14)=42−2t=42−2×17=8；
故答案为：9，8；
（3）解：分四种情况进行讨论：
①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时，点P：−24+t，点Q：−24+3(t−14)，
依题，有−24+t−[−24+3(t−14)]=2，
解得t=20，
∴−24+t=−24+20=−4，
∴点P表示的数为：−4；
②当点P在Q左侧，点Q追上点P后，
依题有，−24+3(t−14)−(−24+t)=2，
解得t=22，
∴−24+t=−24+22=−2，
∴点P表示的数为：−2；
③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时，QA=34−[3(t−14)−34]=110−3t，
∴110−3t−t=2，
解得t=27，
∴−24+t=−24+27=3，
∴点P表示的数为：3；
④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时，
∴t−(110−3t)=2，
解得t=28，
∴−24+t=−24+28=4，
∴点P表示的数为：4；
综上所述，在点Q开始运动后， P、Q两点之间的距离能够为2个单位，此时点P表示的数为：−4,−2, 3, 4．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．
（1）A、B间的距离是______；若数轴上点M到点B的距离是4，则点M对应的数为______；
（2）若点N也是数轴上的点，点N到点A的距离是点N到原点的距离的12，求点N对应的数；
（3）若动点P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动，同时另一动点Q从A点出发，以4个单位长度/秒的速度在数轴上运动，若两动点经过t秒时，PQ=8，求此时点P对应的数是多少？
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式可求出A、B间的距离，分两种情况可求出点M对应的数；
（2）分两种情况可求出点N对应的数；
（3）先由（1）得到AB=6，再分6种情况根据两点距离公式列出方程可得答案．
【解题过程】
（1）解：AB=4−−2=6，
当点M在点B左侧时，点M对应的数为4−4=0，
当点M在点B右侧时，点M对应的数为4+4=8，
点M对应的数为8或4，
故答案为6，8或4．
（2）解：∵“点N到点A的距离是点N到原点的距离的12”，
∴点N在负半轴上，
设点N表示的点为x，
当点N在点A右侧时，x−−2=120−x，
解得x=−43，
当点N在点A左侧时，−2−x=120−x，
解得x=−4，
∴点N对应的数为−43或−4．
（3）解：由（1）得AB=6，
当P，Q都向左运动时，
4t+6−2t=8，
解得t=1，
此时P运动了2个单位长度，点P对应的数是4−2=2；
当P，Q都向右运动时，
P，Q相遇前，
2t+6−4t=8，
解得t=−1，故不存在，
P，Q相遇后，
4t−2t−6=8，
解得t=7，
此时P运动了14个单位长度，点P对应的数是4+14=18；
当Q向左运动， P向右运动时，
4t+6+2t=8，
解得t=13，
此时P运动了23个单位长度，点P对应的数是4+23=143；
当P向左运动， Q向右运动时，
P，Q相遇前，
∵AB=6，
∴P，Q相遇前不存在PQ=8，
P，Q相遇后，
4t+2t−6=8，
解得t=73，
此时P运动了143个单位长度，点P对应的数是4−143=−23；
综上可知，此时点P对应的数是2或18或143或−23．
11．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式(a+3)x3+4x2+9x+2是关于x的二次多项式，一次项系数为c．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，则当点P与Q相遇时，它们运动了多少秒?相遇点对应的数是多少?
（3）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，小明同学发现：m⋅BC+3AB的值是个定值，求此时m的值．
【思路点拨】
（1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案；
（2）由（1）中数据求出AC长度，设当点P与Q相遇时，它们运动了x秒，列方程求解即可；
（3）分两种情形讨论解答：①当点C在点B右侧时，②当点C在点B左侧时，设三点运动的时间为t秒，依据图形分别表示出线段BC，AB的长度，代入m⋅BC+3AB中，整理后利用m⋅BC+3AB的值是个定值可令t的系数为0即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵多项式(a+3)x3+4x2+9x+2是关于x的二次多项式，
∴a+3=0，
∴a=−3，
∴多项式为：4x2+9x+2，
∵它的一次项系数为c，
∴c=9，
∴a=−3，b=1，c=9，
故答案为：−3，1，9；
（2）解：由（1）知线段AC长为9−−3=12，
∵设当点P与Q相遇时，它们运动了x秒，则
4x+2x=12，解得x=2，
∴当点P与Q相遇时，它们运动了2秒；
9-2×2=5，
∴相遇点对应的数是5；
（3）解：当点C在点B右侧时：
设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB
=m(9−4t−1+t)+3(1−t+3+2t)
=8m+12+3t(1−m)，
∵m⋅BC+3AB的值是个定值，
∴1−m=0，
∴m=1，即当m=1时，m⋅BC+3AB为定值20，
当点C在点B左侧时：设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB
=m[1−t−(9−4t)]+3(1−t+3+2t)
=−8m+12+3t(1+m)，
∵m⋅BC+3AB的值是个定值，
∴1+m=0，
∴m=−1，即当m=−1时，m⋅BC+3AB为定值20，
综上所述：当m=±1时，m⋅BC+3AB为定值20．
12．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB.如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为−20、24，
（1）直接写出：AB=______；
（2）若有M、N两个小球分别从A、B两处同时出发，两小球的运动速度分别为2个单位/秒、5个单位/秒，设运动时间为t秒钟．
①若N小球从点B向右运动，则此时点N表示的数为______，NA=______；（请用含t的代数式表示）
②若M、N两小球同时向左运动，MN=4，求t的值？
③若M小球向右运动，N小球向左运动，同时D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，在M小球和D小球相遇前的运动过程中，是否存在数m，使得DM+mDN为定值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）直接用点B表示的数减去点A表示的数即可；
（2）①根据N小球运动的速度和时间计算即可；②根据题意，用含t的代数式分别表示出点M和点N的数，再由MN=4即可解出t的值；③表示出点D表示的数，算出当M和N小球相遇时的时间，由此表示出DM、DN，根据DM+mDN为定值求出m即可．
【解题过程】
（1）解：由题意得AB=24−−20=24+20=44,
故答案为：44；
（2）解：∵小球从点B向右运动，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，
∴此时点N表示的数为24+5t，
∴NA=24+5t−（−20）=44+5t，
故答案为：24+5t，44+5t；
②∵M、N两小球同时向左运动，M小球从A处出发，运动速度为2个单位/秒，运动时间为t秒钟，N小球从B处出发，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，
∴点M表示的数为−（20+2t），点N表示的数为24−5t，
∴MN=|44−3t|，
当44−3t=4时，解得t=403，
当44−3t=−4时，解得t=16，
∴当MN=4时，t=403或t=16；
③∵D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，
∴点D表示的数为−6t，
当M和N小球相遇时，有2t+6t=20，解得t=52，
在M小球和D小球相遇前的运动过程中，有
DM=−6t−（−20+2t）=20−8t，DN=24−5t−（−6t）=24+t，
则DM+mDN=20−8t+m（24+t）=20+24m+（m−8）t，
∵DM+mDN为定值，
∴m−8=0，
∴m=8，
∴当m=8时，DM+mDN为定值．
13．（2022秋·全国·七年级专题练习）探究与发现：a−b表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
(1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，则数轴上点B 表示的数 ；
（1）若x−8=2，则x= ．
（2）拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为tt>0秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（3）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为tt>0秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4
【思路点拨】
（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数；
（2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号；
（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（4）分0【解题过程】
（1）数轴上点B表示的数=8−20=−12．
故答案为：−12；
（2）∵x−8=2，
∴x−8=−2或x−8=2，
∴x=6或x=10．
故答案为：6或10．
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t，
依题意得：5t−8=2，
即5t−8=−2或5t−8=2，
解得：t=65或t=2．
答：当t为65秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2．
（4）P到达C点时间：30−0÷5=6（秒），
Q到达C点时间：−12−30÷10=215（秒）．
当0点P表示的数为5t，点Q表示的数为10t−12，
依题意得：5t−10t−12=4，
即12−5t=4或5t−12=4，
解得：t=85或t=165；
当215≤t<6时，Q已经到达C点，P没有到达C点，
点P表示的数为5t，点Q表示的数为−10t−215+30=−10t+72，
依题意得：5t−−10t+72=4，
即72−15t=4或15t−72=4，
解得：t=6815或t=7615；
当t≥6时，P、Q都已经到达C点
点P表示的数为30，点Q表示的数为−10t−215+30=−10t+72，
依题意得：30−−10t+72=4，
解得：t=235（不合题意，舍去）．
答：当 t 为85或165或6815或7615秒时，P，Q 之间的距离为 4．
14．（2023秋·重庆南川·七年级统考期末）已知两点A、B在数轴上，AB=12，点A表示的数是a，且a与−12023互为相反数．
（1）写出点B表示的数；
（2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点5时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=3时，求点P、Q所表示的数；
（3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当OM−ON=3时，求动点P、Q运动的速度．
【思路点拨】
（1）先由a与−12023互为相反数．得出a的值，再分两种情况分别得出点B所表示的数：①当点A、点B在原点的同侧时；②当点A、点B在原点的异侧时；
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13，设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，根据题意得出关于x的一元一次方程并求解；运动t秒后PQ=3有两种情形：①相遇前；②相遇后；分别列出关于t的方程，解出t，则易求得点P和点Q所表示的数；
（3）根据题意先列式求出点Q的运动速度，再设点P的运动速度为x，根据|OM−ON|=3，得到关于x的方程，解出x即可．
【解题过程】
（1）∵a与−12023互为相反数．−12023=−1
∴a=1
∵AB=12
∴点B表示的数为13或−11．
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B 表示的数是13
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，则：
4x+2x=12
x=1
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后PQ=3有两种情形：
①相遇前PQ=3，则：2t+t+3=12 t=3
点P所表示的数为：1+2×3=7
点Q所表示的数为：13−1×3=10
②相遇后PQ=3，则：2t+t−3=12 t=5
点P所表示的数为：1+2×5=11
点Q所表示的数为：13−5×1=8
（3）根据题意得P点与Q点在点A处相遇，此时Q点运动8秒，运动了12个单位长度，
∴点Q速度为12÷8=1.5
设点P的速度为x，∵OM−ON=3
∴12+1−8x+1=3
解得x=98或x=158
∴点P的速度为98 或158．
15．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为﹣30，点B表示的数为80．动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发．
（1）三个动点运动7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为 ， ， ．
（2）当点D与点E距离为44个单位时，求此时点C在数轴上所表示的数．
（3）若点E回到点B时，三点停止运动，当三个动点运动过程中．
①是否存在某一时刻，点D在点C和点E之间，且与点C和点E的距离相等？若存在，请求出时间；若不存在，请说明理由．
②是否存在某一时刻，这三点中是否还有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等？若存在，请直接写出时间；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据动点在数轴上的运动，已知速度即可求得结果；
（2）根据题意列出一元一次方程即可求解；
（3）根据题意，分两种情况：当点E在CD中点时；当点C在ED中点时；根据动点在数轴上的运动列出一元一次方程即可求得结果．
【解题过程】
（1）解：点C表示的数为：−30+6×7=12，
点D表示的数为：4×7=28，
点E表示的数为：80−8×7=24，
故答案为：12，28，24；
（2）解：设运动时间为t秒，根据题意，得
C：−30+6t，D：4t，E：80−8t或8t−80，
所以DE=80−12t或4t−80，
80−12t=44，解得t=3，或t=313＞10（舍去），
4t−80=44，解得t=31，或t=9（不符合题意，舍去）．
∴点C表示的数为6×3−30=−12或6×31−30=156．
答：点C在数轴上所表示的数是−12或156．
（3）解：①存在，时间是5秒或553秒．理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意，得
4t+30−6t=80−8t−4t，解得t=5．
或4t−8t+80=−30+6t−4t，解得t=553，
答：存在．时间为5秒或553秒．
②存在，时间为354秒．理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意，得
当点E在CD中点时，
当t小于10时，
6t−30−(80−8t)=80−8t−4t，解得t=9513．
当t大于10时，
6t−30−(8t−80)=8t−80−4t，解得t=653．
根据题意，点E回到点B停止运动，
所以t的值不应该超过20；
当点C在ED中点时，
6t−30−(80−8t)=4t−(6t−30)，解得t=354．
答：存在，时间为354秒或9513秒．
16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；
（2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？
（3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【思路点拨】
（1）依据动点P在各段运行的距离除以相应运行的速度算出各段运行的时间，然后相加即可算出动点P从点A运动至E点需要的时间共为10秒．然后再计算动点Q在10秒内运行到什么位置．
（2）分析相遇点所在路段在C—D段，当点P运动到C点时与Q点相距2个长度单位，则可算出点P从C点运动到M点所需的时间为29秒，则点M对应的数为16+29×8=1779．
（3）分段讨论PB与QD在数轴上的长度相等时的各种情况即可．
【解题过程】
（1）由题意可知，动点P在AO、BC、DE段的速度均为4单位/秒，在OB段的速度为2单位/秒，在CD段的速度为8单位/秒，
AO=OB=BC=CD=8，DE=4，
∴动点P从点A运动至E点需要的时间为t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），
∵动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在DE段的速度为2单位/秒，CD段的速度为1单位/秒，
∴动点Q从点E运动到点D需要4÷2=2（秒），从点D运动到点C需要8÷1=8（秒），
∴此时点Q对应的点是C；
故答案为：10，C；
（2）由（1）可知，P，Q两点在M处相遇时，点M在C−D−E段，
动点P由点A到点C点用时为8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），
动点Q从点E到点D用时为4÷2=2（秒），
∵(8−2)×12×2=6，
∴当动点P到达点C时，点Q与点C的距离8−6=2，
∵28+1=29（秒），
∴此时P、Q两点再运动29秒在点M处相遇，
∴点M所对应的数16+29×8=1779；
（3）①当点P在OA段时，点Q在DE段，此时PB大于8，QD小于4，不符合题意；
②当点P在OB段时，点Q在CD段，
若PB=QD，则OB−t−2×2=PB，QD=t−2×1，
∴8−2t+4=t−2，
解得：t=143；
③当点P在BC段时，点Q在CD段，
PB=t−6×4，QD=t−2×1，
∴4t−24=t−2，
解得：t=223；
④当点P在CD段或DE段时，PB大于8，QD小于8，不符合题意．
综上所述，当t=143或223秒时，P，B 两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
17．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA=AB=BC=20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v；运动时间为t．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？
（3）当|PA+PB|=2|QB−QC|=24时，请求点Q的速度v的值．
【思路点拨】
（1）根据OA=AB=BC=20cm求得OC的长为60cm，根据点P的速度为2cms，求得点P从点O运动到点C的运动时间为30秒；
（2）分点P、Q相遇前和相遇后两种情形求解．相遇前，2t+3t=60−30=30，解得t=6， 相遇后，2t+3t=60+30=90，解得t=18；
（3）根据OA=AB=BC=20，点O表示的数为0，得到点A表示的数为20，点B表示的数为40，点C表示的数为60，点P表示的数为2t，点Q表示的数为60−vt，当0≤vt≤40时，QB=40−60−vt=vt−20，QC=vt，2QB−QC=2×20=40>24，推出点Q只能在B，C间运动，40【解题过程】
（1）解：∵OC=OA+AB+BC=20+20+20=60，
∴2t=60，
∴t=30；
（2）解：当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t=60−30=30，
解得：t=6，
当点P、Q相遇后，
2t+3t=60+30=90，
解得：t=18，
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm；
（3）解：∵OA=AB=BC=20，点O表示的数为0，
∴点A表示的数为20，点B表示的数为40，点C表示的数为60，
∵点P表示的数为2t，点Q表示的数为60−vt，
当0≤vt≤40时，QB=40−60−vt=vt−20，QC=vt，
∴2QB−QC=2−20=2×20=40>24，不合题意；
当40∴2QB−QC=220−vt−vt=410−vt=24，
∴10−vt=±6，
①当0≤t≤10时，PA=20−2t，PB=40−2t，
∴PA+PB=60−4t=24，
∴t=9，
∴10−9v=±6，
∴v=169，或v=49，
②当10∴PA+PB=20<24,不合题意；
③当20∴PA+PB=4t−60=24，
∴t=21，
∴10−21v=±6，
∴v=1621，或v=421．
综上，v=169，或v=49，或v=1621，或v=421．
18．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足a+10+b−122=0，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）a=______，b=______；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数；
（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM=ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据非负数的意义分析即可；
（2）根据题意，P、Q、R三点重合，则只需计算P点的位置以及运动时间即可；
（3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题．
【解题过程】
（1）∵a+10+b−122=0，
∴a=−10，b=12，
故答案为−10；12．
（2）当点P到达点O时，动点R从原点O出发，
P到达点O需要：10÷4=2.5（秒），
此时Q点的位置为：12+2.5×2=17，
设t秒后停止运动，
则4t=2t+17，解得t=8.5，
此时P点的位置在：4×8.5=34，
即R也停在P点位置，对应的有理数为34，
R运动的时间为8.5秒，速度为每秒6个单位，
∴R运动路程为：8.5×6=51，
综上所述，R行驶的总路程为51，停留在34．
（3）存在，t的值为：1，113，7，11，
理由如下：∵12−−10÷2=11（秒），
∴11秒后M、N后停止运动，
①当M、N分别位于O的两侧时，如图，
此时OM=ON，M表示的数为−10+2t，N表示的数为12−4t，
∴−10+2t+12−4t=0，解得t=1；
②当M和N重合时，即第一次相遇时，如图，
则−10+2t=12−4t，解得t=113；
③当点N从A点返回时，则点N表示的数为：−10+4t−22=4t−32，
若此时M未到点O，则t<5，如图，
则4t−32=−10+2t，解得t=11（不合题意，舍去），
∴此时M已经过点O，t>5，如图，
则4t−32+−10+2t=0，解得t=7；
④当点M、N在点O右侧重合时，即第二次相遇时，如图，
4t−32=−10+2t，解得t=11，此时点M、N到达点B，停止运动，符合题意；
综上所述，t的值为：1，113，7，11．
19．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，数轴上点A、B表示的数分别为−9和3，点O为原点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动． 设点P运动时间为t秒．
（1）当t=2时，点P表示的数为_________；当点P与点B重合时，t的值为_________；
（2）①在点Q由点B向点A运动的过程中，点Q表示数为_________（用含t的代数式表示）；
②当t=_________时，P、Q第一次相遇；
（3）点Q从点A返回后，当PQ=52时，求点P运动的时间t的值；
（4）若在点P运动的同时，点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当PM=3PQ+1时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）由用右边移动用加法列式计算可得：当t=2时，点P表示的数，再当点P与点B重合时，可得方程−9+t=3，再解方程即可；
（2）①利用向左移动用减法，向右移动用加法，再列式计算即可；②再利用速度乘以时间等于路程列方程即可；
（3）点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，可得QP=3t−27−−9+t=2t−18，利用PQ=52，建立方程求解即可；当9（4）当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，此时Q对应的数为3−2t，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，再利用两点间距离公式建立方程12−2t=36−9t+1，当点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，再利用两点间距离公式建立方程12−2t=6t−54+1，当9【解题过程】
（1）解：当t=2时，点P表示的数为−9+2×1=−9+2=−7，
当点P与点B重合时，则
−9+t=3，
解得：t=12．
故答案为：−7，12；
（2）①当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为：3−2t，
②当P、Q第一次相遇时，
∴t+2t=3−−9，
解得：t=4，
故答案为：3−2t，4；
（3）当Q，A重合时，3−2t=−9，
解得：t=6，
当Q到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动，
此时Q对应的数为：−9+3t−6=3t−27，
而P对应的数为−9+t，
∴QP=3t−27−−9+t=2t−18，
当PQ=52时，
∴2t−18=52，
∴2t−18=2.5或2t−18=−2.5，
解得：t=414或t=314，
当3t−27=0时，解得t=9，
∴t=414不符合题意，舍去，
当9此时QP=−9+t，
∴−9+t=52，
解得：t=232，
综上：当PQ=52时，t=314或t=232．
（4）当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为3−2t，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，
∴PM=3−t−−9+t=12−2t，PQ=3−2t−−9+t=12−3t，
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=312−3t+1，即12−2t=36−9t+1，
当0≤t≤4时，
∴12−2t=36−9t+1，
解得：t=257，
当4∴12−2t=9t−36+1，
解得：t=4711，
当点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，
∴PM=3−t−−9+t=12−2t，PQ=3t−27−−9+t=2t−18，
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=32t−18+1，即12−2t=6t−54+1，
当6∴2t−12=54−6t+1，
解得：t=678，
当9∴PM=3−t−−9+t=12−2t，PQ=−9+t，
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=3−9+t+1，
∴2t−12=−27+3t+1，解得：t=14，不符合题意舍去；
综上：当PM=3PQ+1时， t的值为257或4711或678．
20．（2022秋·湖南长沙·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是___________单位．
（2）当QN=8个单位时，求三个点的运动时间．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，直接写时间以及此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在常数k，使得kPQ+QN在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）求出运动3秒时，P,N表示的数，进行计算即可；
（2）分0（3）建立如图所示的数轴，A所表示的数为−20；C所表示的数为0；B所表示的数为40，设运动时间为t小时，分丙到达C点之前，再分乙在甲，丙之间，丙在甲、乙之间，甲在丙，乙之间，以及丙从C点返回，甲在丙，乙之间共4种情况分类讨论，列方程求解；
（4）分0【解题过程】
（1）解：当运动时间为3秒时，点P表示的数为：−20+3×5=−5；点N表示的数为：40−3×8=16，
∴点P、点N之间的距离是：16−−5=21；
故答案为21；
（2）解：点N从B点到达原点的时间为：40÷8=5，则运动总时间为：5×2=10秒；设运动时间为t秒时，QN=8个单位，
①当0由题意，得：4t−40−8t=8，
解得：t=4或t=83；
②5由题意，得：4t−8t−40=8，
解得：t=8或t=12（舍去）；
综上，QN=8个单位时，三个点的运动时间为4秒或83秒或8秒；
（3）存在：建立如图所示的数轴，A所表示的数为−20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．
由题意，得：甲的移动速度为每小时：5+2=7个单位长度，乙的移动速度为每小时：4+2=6个单位长度，丙从点B到点C的移动速度为每小时：8−2=6个单位长度，返回时的速度为每小时：8+2=10个单位长度；
∴甲到C的时间为207小时，甲到B的时间为607小时，乙到B的时间为406=203小时，
丙从C到B的时间406=203小时，丙从C返回B的时间为4010=4小时，丙用的总时间为：203+4=323小时；
设运动时间为t小时，则：甲表示的数为：−20+7t，乙表示的数为：6t，丙从B到C，表示的数为：40−6t，从C到B，表示的数为：10t−203=10t−2003；
①丙到达C点之前，当乙在甲，丙之间时：由题意，得：
6t−−20+7t=40−6t−6t，解得：t=2011，
此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×2011=52011（海里）；
当丙在甲、乙之间时：40−6t−−20+7t=6t−40+6t，解得t=4；
∴此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×4=32（海里）；
当甲在丙，乙之间时：−20+7t−40+6t=6t−−20+7t，解得t=407；
∴此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×407=20（海里）；
②丙从C返回B时，此时，乙船到达B码头，表示的数为：40，甲在丙，乙之间，
∴−20+7t−10t+2003=40−−20+7t，解得t=403；
403>323，不符合题意；
综上，在整个运动过程中，分别在2011小时，4小时，407小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为52011海里，32海里，407海里；
（4）解：存在；由（2）知：点N从B点到达原点的时间为：5秒，运动总时间为10秒，Q,N相遇需要的时间为：40÷4+8=103秒，P,N相遇需要：60÷5+8=6013秒，P追上Q需要：20÷5−4=20秒，
∵20>10，
∴P点始终在Q点左侧，
设运动时间为t秒，P点表示的数为：−20+5t，Q点表示的数为：4t，
∴kPQ=k4t−−20+5t=20k−kt，
①当N到达C点之前， N点表示的数为40−8t，
当0∴当12+k=0，即k=−12时，kPQ+QN的值是定值：20×−12+40=−200；
当103∴当12−k=0，即k=12时，kPQ+QN的值是定值：20×12−40=200；
②当N点返回时，N点表示的数为8t−40，N点追上Q点需要：4×5÷8−4=5秒，即N,Q同时到达B点，N点始终在Q点的左侧，
∴QN=4t−8t+40=−4t+40，
当5∴当4+k=0，即k=−4时，kPQ+QN的值是定值：20×−4+40=−40；
综上：当0
【典例1】如图，数轴上，点A表示的数为−11，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
（1）动点P从点A运动至D点需要时间为_________秒；
（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数．
【思路点拨】
（1）根据AB、BC、CD三段的路程分别除以每段速度即可计算出答案；
（2）分P在AB，Q在CD；P在AB，Q在CO，P在BO，Q在CO；P 、Q相遇；P在OC，Q在OB；P在OC，Q在BA；进行讨论计算即可；
（3）根据点Q到A时间，点P位置，与点P到C时间，点Q位置，得出Q在射线CD上追上P，分别将P、Q所表示的数表示出来，列方程，解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A表示的数为−11，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为17，
∴AB=-1-（-11）=10，BC=9-（-1）=10，CD=17-9=8，
∴动点P从点A运动至D点需要时间为：102+101+82=5+10+4=19（秒），
故答案为：19；
（2）①当P在AB，Q在CD时，P所表示的数为：-11+2t ，Q所表示的数为：17-2t
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴-11+2t+17-2t=6，
此时该方程无解；
②当P在AB，Q在CO时，P所表示的数为：-11+2t ，Q所表示的数为9−4t−82=25−4t，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴-11+2t+25-4t=0，
解得：t=7＞5，
此时：P不在AB上，故不符合题意，舍去；
③当P在BO，Q在CO时，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为：9−4t−82=25−4t ，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+25-4t=0，
解得：t=193＞6 ，
此时：P不在BO上，故不符合题意，舍去；
④当P 、Q相遇时，P、Q均在BC上，此时P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为：9−4t−82=25−4t ，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6=25-4t，
解得：t=315 ，
∴25−4t=25−4×315=15，
此时：P所表示的数为：15，Q所表示的数为：15；
⑤当P在OC，Q在OB时，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为： 9−4t−82=25−4t，
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+25-4t=0，
解得：t=193 ，
t−6=193−6=13，
此时：P所表示的数为：13 ，Q所表示的数为：−13 ，
⑥当P在OC，Q在BA ，P所表示的数为：-1+t−102=t−6 ，Q所表示的数为： −1−2t−82−104=−1−2t+8+5=12−2t
∵P、Q两点到原点O的距离相同，
∴t-6+12-2t=0，
解得：t=6 ，
此时：P所表示的数为：0，Q所表示的数为：0 ，Q不在AB上，故，故不符合题意，舍去
综上所述：P所表示的数为15或13，
（3）∵Q到达A点所需时间为82+104+102=4+2.5+5=11.5 （秒），此时P到达的点表示的数是：-11+5×2+1+1×（11.5-5-1）=4.5 ，
又∵P到达点所C需时间为102+101=15 （秒），此时Q到达的点是：-11+103×3+2×（15−11.5-103）=13 ，点Q在BO上，
∴Q在射线CD上追上P，此时P所表示的数为：-11+10+10+2（t-15）=2t-21 ，
Q所表示的数为： −11+10+10+3t−11.5−103−5=3t−50.5，
∴2t−21=3t−50.5，
∴t=29.5，
∴9+2(29.5-15)=9+29=38，
此时P所表示的数为：38 ，Q所表示的数为：38．
1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B与A点距离16个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒．
（1）数轴上点B表示的数为___________，点P表示的数为___________（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数．
【思路点拨】
（1）由已知得OA=10，则OB=AB−OA=6，即得出数轴上点B所表示的数；由动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可求出AP=5t，从而可求出点P表示的数；
（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，根据等量关系得到5t=16+3t，然后求解即可；②分点P未超过点Q和点P超过点Q两种情况讨论，设运动时间为t，根据题意得到16+3t−5t=6和16+3t+6=5t两个方程，求解即可．
【解题过程】
（1）∵数轴上点A表示的数为10，
∴OA=10，
∴OB=AB−OA=6．
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为−6；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴AP=5t，
∴点P所表示的数为10−5t．
故答案为：−6，10−5t；
（2）①设点P运动t秒时和Q相遇，
则5t=16+3t，
解得：t=8，
∴点P运动8秒追上点Q；
②设当点P运动时间为t秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度，
当P不超过Q，则16+3t−5t=6，
解得：t=5；此时点P表示的数为10−5t=−15
当P超过Q，则16+3t+6=5t，
解得t=11；此时点P表示的数为10−5t=−45
综上所述：t=5点P表示的数为−15或t=11点P表示的数为−45．
2．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数−30，−16，4，两条动线段PQ和MN，PQ=2，MN=3，如图，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，线段PQ同时以每秒2个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到C时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点P运动到点A时，线段MN，PQ立即同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边）
（1）当t为何值时，点Q和点N重合？
（2）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点P表示的数；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点Q行走的路程−N行走的路程=AB；返回后相遇等量关系为：点Q行走的路程+N行走的路程=AC+BC；
（2）分两种情况讨论，追及时点Q超过点M一个单位长度和点Q超过点N一个单位长度时都符合线段PQ和MN重合部分长度能为1；返回后相遇时点Q离点N一个单位长度和点Q离点M一个单位长度时都符合线段PQ和MN重合部分长度能为1；据此求得t的值，从而求得点P的范围．
【解题过程】
（1）解：①追及时，Q到达点C的时间为4−−30÷2=17（秒）
依题意得：2t−t=−16−−30，
解得：t=14，符合题意
②返回后相遇，依题意得：2t+t=4−−16+4−−30，即：3t=54，
解得：t=18，符合题意；
答：当t=14或t=18时，点Q和点N重合；
（2）解：①追及时点Q超过点M一个单位长度：2t−t=−16−3−−30+1，即，
解得：t=12，此时P点表示的数为：−30−2+2×12=−6；
②追及时点Q超过点N一个单位长度：2t−t=−16−−30+1，
解得：t=15，此时P点表示的数为：−30−2+2×15=−2；
③返回后相遇时点Q离点N一个单位长度：2t+t=4−−30+4−−16−1，即：3t=53，
解得：t=533，
此时P点表示的数为：4−2−2×533−17=23
④返回后相遇时点Q离点M一个单位长度：2t+t=4−−30+4−−16+2，即：3t=56，
解得：t=563，
此时P点表示的数为：4−2−2×563−17=−43
综上：点P表示的数为：−6、−2、23或−43．
3．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图、点A、B，C是数轴上分别表示数-6，2，13的点，两只电子蚂蚁甲乙分别以3个单位秒和1个单位秒的速度同时从点A、点B出发，其中甲刚开始沿数轴的正方向运动，当运动到点C时，立即以相同的速度反向运动，乙始终沿数轴的负方向运动．
（1）求电子蚂蚁甲与乙从开始出发到第一次相遇所经过的时间．
（2）当电子蚂蚁甲反向运动追上电子蚂蚁乙时，求此时乙在数轴上所表示的数．
（3）在电子蚂蚁甲、乙开始运动的同时，若在点C处存在一只电子蚂蚁丙以2个单位秒的速度沿数轴的负方向运动，求经过多少秒后甲恰好位于乙、丙的正中间？
【思路点拨】
（1）先求出AB的长度，然后利用路程=速度×时间，即可求出时间；
（2）先求出甲到达点C时的时间和甲乙相距的路程，然后求出甲追上乙的时间，再求出乙表示的数即可；
（3）根据题意，需要分类讨论，然后分别求出每一种情况的时间，即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）根据题意，则
AB=2−(−6)=8，
∴甲乙第一次相遇的时间为：8÷(3+1)=2s；
（2）根据题意，AC=13−(−6)=19，
∴甲到达点C的时间为：19÷3=193s，
∴此时甲乙之间的距离为：13−2+193×1=523；
∴甲与乙第二次相遇的时间为：193+523÷(3−1)=193+263=15s；
∴此时乙在数轴上所表示的数为：2−15×1=−13；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：
当甲向数轴正方向运动时，则设时间为t，得
甲的位置是：−6+3t，乙的位置是：2−t；丙的位置是：13−2t，
∵甲恰好位于乙、丙的正中间，
∴(−6+3t)−(2−t)=(13−2t)−(−6+3t)，
解得：t=3s；
当甲向数轴负方向运动时，则
由（2）可知，当甲追上乙时，时间为15秒，且此时乙所在的位置为−13，
∴丙所在点表示的数为：13−15×2=−17，
∴此时丙和乙的距离为：−13−(−17)=4，
设甲追上乙后，再过m秒达到乙和丙的中间，则
甲的位置为：−13−3m，乙的位置为：−13−m，丙的位置为：−17−2m，
∴(−13−3m)−(−17−2m)=(−13−m)−(−13−3m)，
解得：m=43，
∴时间为：15+43=1613s；
综合上述，则经过t=3或t=1613秒后甲恰好位于乙、丙的正中间．
4．（2022秋·四川绵阳·七年级校考期中）已知多项式−m2n2−2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C；
（2）若甲、乙、丙三个动点分别以A、B、C三点同时出发沿着数轴负方向运动，它们的速度分别是12，2，34（单位长度/秒）,当乙追上丙时,乙是否追上了甲？为什么？
（3）在数轴上是否存在一点P，使P到A、B、C的距离和等于10？若存在,请求出点P对应的数；若不存在,请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据单项式的系数，多项式的次数，常数项的定义即可求解；
（2）先求出AB=5,AC=1,BC=6，设乙追上甲用了x秒，列方程2x−12x=5，解得x=103，设乙追上丙用了y秒，列方程2y−34y=6，解得y=245，根据103<245，即可得到当乙追上丙时，乙已经追上了甲；
（3）设点P表示的数为m，分点P在点C左侧、点P在A、C之间、点P在A、B之间、点P在点B右侧四种情况分类讨论，求出m的值，并进行检验，问题得解．
【解题过程】
（1）解：由题意得多项式−m2n2−2含字母项为−m2n2，系数为-1，多项式次数为4，常数项为-2，
所以a=−1，b=4，c=−2，
数轴上点A、B、C位置如图：
（2）解：由题意得，AB=4−−1=5,AC=−1−−2=1,BC=4−−2=6，
设乙追上甲用了x秒，
由题意得2x−12x=5，
解得x=103，
设乙追上丙用了y秒，
由题意得2y−34y=6，
解得y=245，
因为103<245，
所以当乙追上丙时，乙已经追上了甲；
（3）解：设点P表示的数为m，
①当点P在点C左侧时，由题意得−2−m+−1−m+4−m=10，
解得m=−3；
②当点P在A、C之间时，由题意得m−−2+−1−m+4−m=10，
解得m=−5，因为−5<−2，所以m=−5不合题意；
③当点P在A、B之间时，由题意得m−−2+m−−1+4−m=10，
解得m=3；
④当点P在点B右侧时，由题意得m−−2+m−−1+m−4=10，
解得m=113，因为113<4，所以m=113不合题意．
所以点P对应的数是-3或3．
5．（2022秋·重庆·七年级校联考期中）已知数轴上有A、B两点，分别用a、b表示，且关于x、y的多项式2xa+5y2+b−3y为三次单项式．
（1）求出a、b的值，并在数轴上标注A、B两点；
（2）若动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动；同时动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点P到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点P与动点Q到原点的距离相等；
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，又有一动点M从B点出发，以每秒3.5个单位长度的速度向左运动，则经过多长时间，动点P、Q、M互为余下两点的中点？（请直接写出答案）
【思路点拨】
（1）根据单项式的概念，求出字母a、b的值，然后在数轴上标注A、B两点即可；
（2）分两种情况讨论：①当t≤43秒时，点P是向右运动；②当t>43秒时，点P是向左运动；分别列式计算即可；
（3）当t=1413秒时，点P与Q相遇，当t>43秒时，点P开始向左运动；故分三种情况进行讨论：①当t≤1413秒时，点P是向右运动，此时点M为中点；②当1413
【解题过程】
（1）解：∵关于x、y的多项式2xa+5y2+b−3y为三次单项式，
∴a+5+2=3, b−3=0，
∴a=−4, b=3，
如图所示，在数轴上标注的A、B两点；
（2）解：设经过时间为t秒，
①当t≤43秒时，点P是向右运动，若动点P与动点Q到原点的距离相等，
则4−3t=3−2t，
解得，t=1（秒）；
②当t>43秒时，点P是向左运动，若动点P与动点Q到原点的距离相等，
则3t−4=3−2t，
解得，t=75；
故，经过1秒或75秒时，动点P与动点Q到原点的距离相等；
（3）解：依题，当−4+3t=3−3.5t时，即当t=1413秒时，点P与M相遇，当t>43秒时，点P开始向左运动；
①当t≤1413秒时，点P是向右运动，点P表示−4+3t，点M表示3−3.5t，点Q表示3−2t，此时点M为中点，
∴3−3.5t−(−4+3t)=3−2t−(3−3.5t)，
∴t=78（秒）；
②当1413
∴t=2823（秒）；
③当t>43秒时，点P是向左运动，此时点P为中点，点P表示4−3t，
∴4−3t−(3−3.5t)=3−2t−(4−3t)，
∴t=4（秒）
综上所述，当经过78秒时，点M为P、Q中点，当经过2823秒或4秒时，点P为M、Q中点．
6．（2022秋·江苏·七年级期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．
（1）A、B两点之间的距离为_______；
（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？
（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．
①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；
②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．根据CA=3CB列出方程|x+4|=3|x−8|，解方程即可；
（3）①先求出P、Q两点相向而行相遇时所需的时间，再求出点P在数轴上对应的数即可；
②设点P出发t秒后，与点Q之间相距3个单位长度．由于AB=12>3，由于点P和点Q分别从点A、B同时出发，且点P的运动速度小于点Q的运动速度，所以它们同时向右运动时P、Q两点之间的距离>3．然后分两种情况进行讨论：Ⅰ)P、Q两点相向而行，Ⅱ)P、Q两点都向左运动．根据PQ=3列出方程，求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为−4、8，
∴A、B两点之间的距离为：8−(−4)=12．
故答案为12；
（2）设A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是x．
∵数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，
∴CA=3CB，
∴|x+4|=3|x−8|，
∴x+4=3(x−8)，或x+4=−3(x−8)，
解得x=14，或x=5．
故A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是14或5；
（3）①当P、Q两点相向而行相遇时，所需时间为：122+6=32（秒)，
此时点P在数轴上对应的数是：−4+2×32=−1．
故答案为−1；
②设点P出发t秒后，与点Q之间相距3个单位长度．
分两种情况：
（Ⅰ）P、Q两点相向而行，
此时点P对应的数为−4+2t，点Q对应的数为8−6t，
∵PQ=3，
∴|−4+2t−(8−6t)|=3，
∴8t−12=3，或8t−12=−3，
解得t=158，或t=98；
（Ⅱ）P、Q两点都向左运动，
此时点P对应的数为−4−2t，点Q对应的数为8−6t，
∵PQ=3，
∴|−4−2t−(8−6t)|=3，
∴4t−12=3，或4t−12=−3，
解得t=154，或t=94．
综上所述，点P出发158或98或154或94秒后，与点Q之间相距3个单位长度．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上点A表示的数是−1；点B在点A的右侧，且到点A的距离是6；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是________；点C表示的数是__________；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒、在运动过程中．当t为何值时点P与点Q之间的距离为2?
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC−QB=1?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式可求点B表示的数；根据线段的倍分关系可求点C表示的数；
（2）分点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后两种情况讨论即可求解；
（3）分点P在点C左侧时，点P在点C右侧时两种情况讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：（1）点B表示的数是−1+6=5；
∵CB=2CA，设点C表示的数为c，
∴5−c=2c−−1，
解得c=1，
故答案为：5，1；
（2）点P与点Q相遇前，
由题意得，2t+t=6−2，
解得t=43；
点P与点Q相遇后，由题意得，
2t+t=6+2
解得t=83．
故当t为43或83时，点P与点Q之间的距离为2；
（3）当点P在点C左侧时，PC=2−2t，QB=t，
∵PC−QB=1，
∴2−2t−t=1，
解得t=13．
∴PC=2−2t=43
此时点P表示的数是1−43=−13；
当点P在点C右侧时，PC=2t−2，QB=t，
∵PC−QB=1，
∴2t−2−t=1，
解得t=3．
∴PC=2t−2=4，
此时点P表示的数是1+4=5．
综上所述，在运动过程中，存在某一时刻使得PC−QB=1，此时点P表示的数为−13或5．
8．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为LAC=32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．
（1）当t=4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？
（2）当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．
（3）若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
【思路点拨】
（1）先计算出AO，BC的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；
（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论即可．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：
AO=0−−12=12，BC=20−12=8，
当t=4秒时，点M的运动路程：2t=8<12，点N的运动路程：2t=8，
∴经过4秒，点M在AO上，点N和点B重合，
∴点M表示的数为：−12+8=−4，点N表示的数为：20−8=12，
∴M、N两点距离为：12−−4=16．
∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．
（2）由（1）可得：AO=12，BC=8，
∴点M到点O需要时间：122=6秒，点N到点B需要时间：82=4秒，
当相遇时：12+3t−6+8+t−4=32，
解得：t=8.5．
（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，
∴点P为表示的数为6，
∴点A与点P距离为6−−12=18，点C与点P距离为20−6=14，
∵M，N与点P相距的长度之和等于6，
∴点M和点N都在OB上，
①当点M在OP上，点N在BP上时：
∵PM=18−12−3t−6，PN=14−8−t−4，
∴18−12−3t−6+14−8−t−4=6，
解得：t=3，
②当点M在PB上，点N在BP上时：
∵PM=12+3t−6−18，PN=14−8−t−4，
∴12+3t−6−18+14−8−t−4=6，
解得：t=10；
综上：t=3或t=10．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−24，−10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=____，PC=____．
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后QA=____，PQ=_____．
（3）在点Q开始运动后， P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出点P表示的数为−24+t，然后用数轴上两点间的距离公式计算即可；
（2）先分别求出QA=3(t−14),PA=t，然后再计算，当t=17s时QA、PQ的距离即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时；②当点P在Q左侧，点Q追上点P后；③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时；④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时．然后分别进行计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，
∴点P表示的数为−24+t，
∴PA=−24+t−(−24)=t，PC=10−(−24+t)=34−t；
故答案为：t, 34−t；
（2）解：∵当点P运动到B点时，
∴t=14，
此时点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，
∴QA=3(t−14)，
∴当t=17s时，
QA=3(t−14)=3×(17−14)=9，
PQ=t−3(t−14)=42−2t=42−2×17=8；
故答案为：9，8；
（3）解：分四种情况进行讨论：
①当点P在Q右侧，点Q没有追上点P时，点P：−24+t，点Q：−24+3(t−14)，
依题，有−24+t−[−24+3(t−14)]=2，
解得t=20，
∴−24+t=−24+20=−4，
∴点P表示的数为：−4；
②当点P在Q左侧，点Q追上点P后，
依题有，−24+3(t−14)−(−24+t)=2，
解得t=22，
∴−24+t=−24+22=−2，
∴点P表示的数为：−2；
③当点Q到达点C后，点P在Q左侧时，QA=34−[3(t−14)−34]=110−3t，
∴110−3t−t=2，
解得t=27，
∴−24+t=−24+27=3，
∴点P表示的数为：3；
④当点Q到达点C后，点P在Q右侧时，
∴t−(110−3t)=2，
解得t=28，
∴−24+t=−24+28=4，
∴点P表示的数为：4；
综上所述，在点Q开始运动后， P、Q两点之间的距离能够为2个单位，此时点P表示的数为：−4,−2, 3, 4．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．
（1）A、B间的距离是______；若数轴上点M到点B的距离是4，则点M对应的数为______；
（2）若点N也是数轴上的点，点N到点A的距离是点N到原点的距离的12，求点N对应的数；
（3）若动点P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动，同时另一动点Q从A点出发，以4个单位长度/秒的速度在数轴上运动，若两动点经过t秒时，PQ=8，求此时点P对应的数是多少？
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式可求出A、B间的距离，分两种情况可求出点M对应的数；
（2）分两种情况可求出点N对应的数；
（3）先由（1）得到AB=6，再分6种情况根据两点距离公式列出方程可得答案．
【解题过程】
（1）解：AB=4−−2=6，
当点M在点B左侧时，点M对应的数为4−4=0，
当点M在点B右侧时，点M对应的数为4+4=8，
点M对应的数为8或4，
故答案为6，8或4．
（2）解：∵“点N到点A的距离是点N到原点的距离的12”，
∴点N在负半轴上，
设点N表示的点为x，
当点N在点A右侧时，x−−2=120−x，
解得x=−43，
当点N在点A左侧时，−2−x=120−x，
解得x=−4，
∴点N对应的数为−43或−4．
（3）解：由（1）得AB=6，
当P，Q都向左运动时，
4t+6−2t=8，
解得t=1，
此时P运动了2个单位长度，点P对应的数是4−2=2；
当P，Q都向右运动时，
P，Q相遇前，
2t+6−4t=8，
解得t=−1，故不存在，
P，Q相遇后，
4t−2t−6=8，
解得t=7，
此时P运动了14个单位长度，点P对应的数是4+14=18；
当Q向左运动， P向右运动时，
4t+6+2t=8，
解得t=13，
此时P运动了23个单位长度，点P对应的数是4+23=143；
当P向左运动， Q向右运动时，
P，Q相遇前，
∵AB=6，
∴P，Q相遇前不存在PQ=8，
P，Q相遇后，
4t+2t−6=8，
解得t=73，
此时P运动了143个单位长度，点P对应的数是4−143=−23；
综上可知，此时点P对应的数是2或18或143或−23．
11．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式(a+3)x3+4x2+9x+2是关于x的二次多项式，一次项系数为c．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，则当点P与Q相遇时，它们运动了多少秒?相遇点对应的数是多少?
（3）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，小明同学发现：m⋅BC+3AB的值是个定值，求此时m的值．
【思路点拨】
（1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案；
（2）由（1）中数据求出AC长度，设当点P与Q相遇时，它们运动了x秒，列方程求解即可；
（3）分两种情形讨论解答：①当点C在点B右侧时，②当点C在点B左侧时，设三点运动的时间为t秒，依据图形分别表示出线段BC，AB的长度，代入m⋅BC+3AB中，整理后利用m⋅BC+3AB的值是个定值可令t的系数为0即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵多项式(a+3)x3+4x2+9x+2是关于x的二次多项式，
∴a+3=0，
∴a=−3，
∴多项式为：4x2+9x+2，
∵它的一次项系数为c，
∴c=9，
∴a=−3，b=1，c=9，
故答案为：−3，1，9；
（2）解：由（1）知线段AC长为9−−3=12，
∵设当点P与Q相遇时，它们运动了x秒，则
4x+2x=12，解得x=2，
∴当点P与Q相遇时，它们运动了2秒；
9-2×2=5，
∴相遇点对应的数是5；
（3）解：当点C在点B右侧时：
设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB
=m(9−4t−1+t)+3(1−t+3+2t)
=8m+12+3t(1−m)，
∵m⋅BC+3AB的值是个定值，
∴1−m=0，
∴m=1，即当m=1时，m⋅BC+3AB为定值20，
当点C在点B左侧时：设三点运动的时间为t秒，则m⋅BC+3AB
=m[1−t−(9−4t)]+3(1−t+3+2t)
=−8m+12+3t(1+m)，
∵m⋅BC+3AB的值是个定值，
∴1+m=0，
∴m=−1，即当m=−1时，m⋅BC+3AB为定值20，
综上所述：当m=±1时，m⋅BC+3AB为定值20．
12．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB.如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为−20、24，
（1）直接写出：AB=______；
（2）若有M、N两个小球分别从A、B两处同时出发，两小球的运动速度分别为2个单位/秒、5个单位/秒，设运动时间为t秒钟．
①若N小球从点B向右运动，则此时点N表示的数为______，NA=______；（请用含t的代数式表示）
②若M、N两小球同时向左运动，MN=4，求t的值？
③若M小球向右运动，N小球向左运动，同时D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，在M小球和D小球相遇前的运动过程中，是否存在数m，使得DM+mDN为定值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）直接用点B表示的数减去点A表示的数即可；
（2）①根据N小球运动的速度和时间计算即可；②根据题意，用含t的代数式分别表示出点M和点N的数，再由MN=4即可解出t的值；③表示出点D表示的数，算出当M和N小球相遇时的时间，由此表示出DM、DN，根据DM+mDN为定值求出m即可．
【解题过程】
（1）解：由题意得AB=24−−20=24+20=44,
故答案为：44；
（2）解：∵小球从点B向右运动，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，
∴此时点N表示的数为24+5t，
∴NA=24+5t−（−20）=44+5t，
故答案为：24+5t，44+5t；
②∵M、N两小球同时向左运动，M小球从A处出发，运动速度为2个单位/秒，运动时间为t秒钟，N小球从B处出发，运动速度为5个单位/秒，运动时间为t秒钟，
∴点M表示的数为−（20+2t），点N表示的数为24−5t，
∴MN=|44−3t|，
当44−3t=4时，解得t=403，
当44−3t=−4时，解得t=16，
∴当MN=4时，t=403或t=16；
③∵D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，
∴点D表示的数为−6t，
当M和N小球相遇时，有2t+6t=20，解得t=52，
在M小球和D小球相遇前的运动过程中，有
DM=−6t−（−20+2t）=20−8t，DN=24−5t−（−6t）=24+t，
则DM+mDN=20−8t+m（24+t）=20+24m+（m−8）t，
∵DM+mDN为定值，
∴m−8=0，
∴m=8，
∴当m=8时，DM+mDN为定值．
13．（2022秋·全国·七年级专题练习）探究与发现：a−b表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
(1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，则数轴上点B 表示的数 ；
（1）若x−8=2，则x= ．
（2）拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为tt>0秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（3）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为tt>0秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4
【思路点拨】
（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数；
（2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号；
（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（4）分0
（1）数轴上点B表示的数=8−20=−12．
故答案为：−12；
（2）∵x−8=2，
∴x−8=−2或x−8=2，
∴x=6或x=10．
故答案为：6或10．
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t，
依题意得：5t−8=2，
即5t−8=−2或5t−8=2，
解得：t=65或t=2．
答：当t为65秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2．
（4）P到达C点时间：30−0÷5=6（秒），
Q到达C点时间：−12−30÷10=215（秒）．
当0
依题意得：5t−10t−12=4，
即12−5t=4或5t−12=4，
解得：t=85或t=165；
当215≤t<6时，Q已经到达C点，P没有到达C点，
点P表示的数为5t，点Q表示的数为−10t−215+30=−10t+72，
依题意得：5t−−10t+72=4，
即72−15t=4或15t−72=4，
解得：t=6815或t=7615；
当t≥6时，P、Q都已经到达C点
点P表示的数为30，点Q表示的数为−10t−215+30=−10t+72，
依题意得：30−−10t+72=4，
解得：t=235（不合题意，舍去）．
答：当 t 为85或165或6815或7615秒时，P，Q 之间的距离为 4．
14．（2023秋·重庆南川·七年级统考期末）已知两点A、B在数轴上，AB=12，点A表示的数是a，且a与−12023互为相反数．
（1）写出点B表示的数；
（2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点5时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=3时，求点P、Q所表示的数；
（3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当OM−ON=3时，求动点P、Q运动的速度．
【思路点拨】
（1）先由a与−12023互为相反数．得出a的值，再分两种情况分别得出点B所表示的数：①当点A、点B在原点的同侧时；②当点A、点B在原点的异侧时；
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13，设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，根据题意得出关于x的一元一次方程并求解；运动t秒后PQ=3有两种情形：①相遇前；②相遇后；分别列出关于t的方程，解出t，则易求得点P和点Q所表示的数；
（3）根据题意先列式求出点Q的运动速度，再设点P的运动速度为x，根据|OM−ON|=3，得到关于x的方程，解出x即可．
【解题过程】
（1）∵a与−12023互为相反数．−12023=−1
∴a=1
∵AB=12
∴点B表示的数为13或−11．
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B 表示的数是13
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，则：
4x+2x=12
x=1
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后PQ=3有两种情形：
①相遇前PQ=3，则：2t+t+3=12 t=3
点P所表示的数为：1+2×3=7
点Q所表示的数为：13−1×3=10
②相遇后PQ=3，则：2t+t−3=12 t=5
点P所表示的数为：1+2×5=11
点Q所表示的数为：13−5×1=8
（3）根据题意得P点与Q点在点A处相遇，此时Q点运动8秒，运动了12个单位长度，
∴点Q速度为12÷8=1.5
设点P的速度为x，∵OM−ON=3
∴12+1−8x+1=3
解得x=98或x=158
∴点P的速度为98 或158．
15．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为﹣30，点B表示的数为80．动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发．
（1）三个动点运动7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为 ， ， ．
（2）当点D与点E距离为44个单位时，求此时点C在数轴上所表示的数．
（3）若点E回到点B时，三点停止运动，当三个动点运动过程中．
①是否存在某一时刻，点D在点C和点E之间，且与点C和点E的距离相等？若存在，请求出时间；若不存在，请说明理由．
②是否存在某一时刻，这三点中是否还有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等？若存在，请直接写出时间；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据动点在数轴上的运动，已知速度即可求得结果；
（2）根据题意列出一元一次方程即可求解；
（3）根据题意，分两种情况：当点E在CD中点时；当点C在ED中点时；根据动点在数轴上的运动列出一元一次方程即可求得结果．
【解题过程】
（1）解：点C表示的数为：−30+6×7=12，
点D表示的数为：4×7=28，
点E表示的数为：80−8×7=24，
故答案为：12，28，24；
（2）解：设运动时间为t秒，根据题意，得
C：−30+6t，D：4t，E：80−8t或8t−80，
所以DE=80−12t或4t−80，
80−12t=44，解得t=3，或t=313＞10（舍去），
4t−80=44，解得t=31，或t=9（不符合题意，舍去）．
∴点C表示的数为6×3−30=−12或6×31−30=156．
答：点C在数轴上所表示的数是−12或156．
（3）解：①存在，时间是5秒或553秒．理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意，得
4t+30−6t=80−8t−4t，解得t=5．
或4t−8t+80=−30+6t−4t，解得t=553，
答：存在．时间为5秒或553秒．
②存在，时间为354秒．理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意，得
当点E在CD中点时，
当t小于10时，
6t−30−(80−8t)=80−8t−4t，解得t=9513．
当t大于10时，
6t−30−(8t−80)=8t−80−4t，解得t=653．
根据题意，点E回到点B停止运动，
所以t的值不应该超过20；
当点C在ED中点时，
6t−30−(80−8t)=4t−(6t−30)，解得t=354．
答：存在，时间为354秒或9513秒．
16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；
（2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？
（3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【思路点拨】
（1）依据动点P在各段运行的距离除以相应运行的速度算出各段运行的时间，然后相加即可算出动点P从点A运动至E点需要的时间共为10秒．然后再计算动点Q在10秒内运行到什么位置．
（2）分析相遇点所在路段在C—D段，当点P运动到C点时与Q点相距2个长度单位，则可算出点P从C点运动到M点所需的时间为29秒，则点M对应的数为16+29×8=1779．
（3）分段讨论PB与QD在数轴上的长度相等时的各种情况即可．
【解题过程】
（1）由题意可知，动点P在AO、BC、DE段的速度均为4单位/秒，在OB段的速度为2单位/秒，在CD段的速度为8单位/秒，
AO=OB=BC=CD=8，DE=4，
∴动点P从点A运动至E点需要的时间为t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），
∵动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在DE段的速度为2单位/秒，CD段的速度为1单位/秒，
∴动点Q从点E运动到点D需要4÷2=2（秒），从点D运动到点C需要8÷1=8（秒），
∴此时点Q对应的点是C；
故答案为：10，C；
（2）由（1）可知，P，Q两点在M处相遇时，点M在C−D−E段，
动点P由点A到点C点用时为8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），
动点Q从点E到点D用时为4÷2=2（秒），
∵(8−2)×12×2=6，
∴当动点P到达点C时，点Q与点C的距离8−6=2，
∵28+1=29（秒），
∴此时P、Q两点再运动29秒在点M处相遇，
∴点M所对应的数16+29×8=1779；
（3）①当点P在OA段时，点Q在DE段，此时PB大于8，QD小于4，不符合题意；
②当点P在OB段时，点Q在CD段，
若PB=QD，则OB−t−2×2=PB，QD=t−2×1，
∴8−2t+4=t−2，
解得：t=143；
③当点P在BC段时，点Q在CD段，
PB=t−6×4，QD=t−2×1，
∴4t−24=t−2，
解得：t=223；
④当点P在CD段或DE段时，PB大于8，QD小于8，不符合题意．
综上所述，当t=143或223秒时，P，B 两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
17．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA=AB=BC=20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v；运动时间为t．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？
（3）当|PA+PB|=2|QB−QC|=24时，请求点Q的速度v的值．
【思路点拨】
（1）根据OA=AB=BC=20cm求得OC的长为60cm，根据点P的速度为2cms，求得点P从点O运动到点C的运动时间为30秒；
（2）分点P、Q相遇前和相遇后两种情形求解．相遇前，2t+3t=60−30=30，解得t=6， 相遇后，2t+3t=60+30=90，解得t=18；
（3）根据OA=AB=BC=20，点O表示的数为0，得到点A表示的数为20，点B表示的数为40，点C表示的数为60，点P表示的数为2t，点Q表示的数为60−vt，当0≤vt≤40时，QB=40−60−vt=vt−20，QC=vt，2QB−QC=2×20=40>24，推出点Q只能在B，C间运动，40
（1）解：∵OC=OA+AB+BC=20+20+20=60，
∴2t=60，
∴t=30；
（2）解：当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t=60−30=30，
解得：t=6，
当点P、Q相遇后，
2t+3t=60+30=90，
解得：t=18，
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm；
（3）解：∵OA=AB=BC=20，点O表示的数为0，
∴点A表示的数为20，点B表示的数为40，点C表示的数为60，
∵点P表示的数为2t，点Q表示的数为60−vt，
当0≤vt≤40时，QB=40−60−vt=vt−20，QC=vt，
∴2QB−QC=2−20=2×20=40>24，不合题意；
当40
∴10−vt=±6，
①当0≤t≤10时，PA=20−2t，PB=40−2t，
∴PA+PB=60−4t=24，
∴t=9，
∴10−9v=±6，
∴v=169，或v=49，
②当10
③当20
∴t=21，
∴10−21v=±6，
∴v=1621，或v=421．
综上，v=169，或v=49，或v=1621，或v=421．
18．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足a+10+b−122=0，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）a=______，b=______；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数；
（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM=ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据非负数的意义分析即可；
（2）根据题意，P、Q、R三点重合，则只需计算P点的位置以及运动时间即可；
（3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题．
【解题过程】
（1）∵a+10+b−122=0，
∴a=−10，b=12，
故答案为−10；12．
（2）当点P到达点O时，动点R从原点O出发，
P到达点O需要：10÷4=2.5（秒），
此时Q点的位置为：12+2.5×2=17，
设t秒后停止运动，
则4t=2t+17，解得t=8.5，
此时P点的位置在：4×8.5=34，
即R也停在P点位置，对应的有理数为34，
R运动的时间为8.5秒，速度为每秒6个单位，
∴R运动路程为：8.5×6=51，
综上所述，R行驶的总路程为51，停留在34．
（3）存在，t的值为：1，113，7，11，
理由如下：∵12−−10÷2=11（秒），
∴11秒后M、N后停止运动，
①当M、N分别位于O的两侧时，如图，
此时OM=ON，M表示的数为−10+2t，N表示的数为12−4t，
∴−10+2t+12−4t=0，解得t=1；
②当M和N重合时，即第一次相遇时，如图，
则−10+2t=12−4t，解得t=113；
③当点N从A点返回时，则点N表示的数为：−10+4t−22=4t−32，
若此时M未到点O，则t<5，如图，
则4t−32=−10+2t，解得t=11（不合题意，舍去），
∴此时M已经过点O，t>5，如图，
则4t−32+−10+2t=0，解得t=7；
④当点M、N在点O右侧重合时，即第二次相遇时，如图，
4t−32=−10+2t，解得t=11，此时点M、N到达点B，停止运动，符合题意；
综上所述，t的值为：1，113，7，11．
19．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，数轴上点A、B表示的数分别为−9和3，点O为原点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动． 设点P运动时间为t秒．
（1）当t=2时，点P表示的数为_________；当点P与点B重合时，t的值为_________；
（2）①在点Q由点B向点A运动的过程中，点Q表示数为_________（用含t的代数式表示）；
②当t=_________时，P、Q第一次相遇；
（3）点Q从点A返回后，当PQ=52时，求点P运动的时间t的值；
（4）若在点P运动的同时，点M从点B以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当PM=3PQ+1时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）由用右边移动用加法列式计算可得：当t=2时，点P表示的数，再当点P与点B重合时，可得方程−9+t=3，再解方程即可；
（2）①利用向左移动用减法，向右移动用加法，再列式计算即可；②再利用速度乘以时间等于路程列方程即可；
（3）点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，可得QP=3t−27−−9+t=2t−18，利用PQ=52，建立方程求解即可；当9
（1）解：当t=2时，点P表示的数为−9+2×1=−9+2=−7，
当点P与点B重合时，则
−9+t=3，
解得：t=12．
故答案为：−7，12；
（2）①当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为：3−2t，
②当P、Q第一次相遇时，
∴t+2t=3−−9，
解得：t=4，
故答案为：3−2t，4；
（3）当Q，A重合时，3−2t=−9，
解得：t=6，
当Q到达点A后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点O运动，
此时Q对应的数为：−9+3t−6=3t−27，
而P对应的数为−9+t，
∴QP=3t−27−−9+t=2t−18，
当PQ=52时，
∴2t−18=52，
∴2t−18=2.5或2t−18=−2.5，
解得：t=414或t=314，
当3t−27=0时，解得t=9，
∴t=414不符合题意，舍去，
当9
∴−9+t=52，
解得：t=232，
综上：当PQ=52时，t=314或t=232．
（4）当点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动时，
此时Q对应的数为3−2t，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，
∴PM=3−t−−9+t=12−2t，PQ=3−2t−−9+t=12−3t，
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=312−3t+1，即12−2t=36−9t+1，
当0≤t≤4时，
∴12−2t=36−9t+1，
解得：t=257，
当4
解得：t=4711，
当点Q从点A返回后，Q对应的数为3t−27，而P对应的数为−9+t，M对应的数为3−t，
∴PM=3−t−−9+t=12−2t，PQ=3t−27−−9+t=2t−18，
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=32t−18+1，即12−2t=6t−54+1，
当6
解得：t=678，
当9
∴PM=3PQ+1，
∴12−2t=3−9+t+1，
∴2t−12=−27+3t+1，解得：t=14，不符合题意舍去；
综上：当PM=3PQ+1时， t的值为257或4711或678．
20．（2022秋·湖南长沙·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是___________单位．
（2）当QN=8个单位时，求三个点的运动时间．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，直接写时间以及此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在常数k，使得kPQ+QN在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）求出运动3秒时，P,N表示的数，进行计算即可；
（2）分0
（4）分0
（1）解：当运动时间为3秒时，点P表示的数为：−20+3×5=−5；点N表示的数为：40−3×8=16，
∴点P、点N之间的距离是：16−−5=21；
故答案为21；
（2）解：点N从B点到达原点的时间为：40÷8=5，则运动总时间为：5×2=10秒；设运动时间为t秒时，QN=8个单位，
①当0
解得：t=4或t=83；
②5
解得：t=8或t=12（舍去）；
综上，QN=8个单位时，三个点的运动时间为4秒或83秒或8秒；
（3）存在：建立如图所示的数轴，A所表示的数为−20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．
由题意，得：甲的移动速度为每小时：5+2=7个单位长度，乙的移动速度为每小时：4+2=6个单位长度，丙从点B到点C的移动速度为每小时：8−2=6个单位长度，返回时的速度为每小时：8+2=10个单位长度；
∴甲到C的时间为207小时，甲到B的时间为607小时，乙到B的时间为406=203小时，
丙从C到B的时间406=203小时，丙从C返回B的时间为4010=4小时，丙用的总时间为：203+4=323小时；
设运动时间为t小时，则：甲表示的数为：−20+7t，乙表示的数为：6t，丙从B到C，表示的数为：40−6t，从C到B，表示的数为：10t−203=10t−2003；
①丙到达C点之前，当乙在甲，丙之间时：由题意，得：
6t−−20+7t=40−6t−6t，解得：t=2011，
此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×2011=52011（海里）；
当丙在甲、乙之间时：40−6t−−20+7t=6t−40+6t，解得t=4；
∴此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×4=32（海里）；
当甲在丙，乙之间时：−20+7t−40+6t=6t−−20+7t，解得t=407；
∴此时甲船离B码头的距离为：40−−20+7×407=20（海里）；
②丙从C返回B时，此时，乙船到达B码头，表示的数为：40，甲在丙，乙之间，
∴−20+7t−10t+2003=40−−20+7t，解得t=403；
403>323，不符合题意；
综上，在整个运动过程中，分别在2011小时，4小时，407小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为52011海里，32海里，407海里；
（4）解：存在；由（2）知：点N从B点到达原点的时间为：5秒，运动总时间为10秒，Q,N相遇需要的时间为：40÷4+8=103秒，P,N相遇需要：60÷5+8=6013秒，P追上Q需要：20÷5−4=20秒，
∵20>10，
∴P点始终在Q点左侧，
设运动时间为t秒，P点表示的数为：−20+5t，Q点表示的数为：4t，
∴kPQ=k4t−−20+5t=20k−kt，
①当N到达C点之前， N点表示的数为40−8t，
当0
当103
②当N点返回时，N点表示的数为8t−40，N点追上Q点需要：4×5÷8−4=5秒，即N,Q同时到达B点，N点始终在Q点的左侧，
∴QN=4t−8t+40=−4t+40，
当5
综上：当0
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