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专题2.2 图形规律问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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这是一份专题2.2 图形规律问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题22图形规律问题压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题22图形规律问题压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
【典例1】国庆节期间，人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第10层有 个盆栽，前5层共有 个盆栽；
（2）观察图计算1+3+5+7+⋯+17= ；
（3）拓展应用：求51+53+55+⋯+2023的值．
【思路点拨】
（1）后面一层比前面一层多2个盆栽，结合图形，根据规律可求出其值；
（2）图形刚好构成正方形的面积，求面积即可；
（3）先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和，再求它们的差即可．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得，2×(10−1)+1=19，
∴第10层有19个盆栽，
5×5=25，
∴前5层共有25个盆栽，
故答案为：19；25．
（2）解：观察图形可得，第9层盆栽数量为：2×9−1=17，
∴1+3+5+7+⋯+17=92=81，
故答案为：81．
（3）解：根据题意可得，第1012层盆栽数量为：2×1012−1=2023，
∴1+3+5+⋯+49+51+53+55+⋯+2023=10122，
第25层盆栽数量为：2×25−1=49，
∴1+3+5+⋯+49=252，
∴51+53+55+⋯+2023=(1+3+5+⋯+51+53+55+⋯2023)−(1+3+5+⋯+49)，
=10122−252=1023519，
∴51+53+55+⋯+2023的值为1023519．
1．（2022秋·江苏·七年级期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是（ ）
A．38B．46C．61D．64
2．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（ ）
A．297B．298C．299D．300
3．（2023春·全国·七年级开学考试）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．（2022秋·湖南·七年级期末）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个正方形组成，共用的木条根数S1＝4，第二个图案由4个正方形组成，共用的木条根数S2＝12，第三个图案由9个正方形组成，共用的木条根数S3＝24，以此类推…那么第100个图案共用的木条根数S100为（ ）
A．19600B．20400C．20200D．20000
5．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（ ）上．
A．CDB．ADC．ABD．BC
6．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第42个图中小圆点的个数为 ．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察并找出如图图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数量是 个．
8．（2022秋·浙江杭州·七年级期末）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n≥3)，当1a3+1a4+1a5+⋯+1an的结果是6712022时，n的值为 ．
9．（2022秋·全国·七年级期中）正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为 ．
10．（2023·全国·七年级假期作业）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）图5有多少颗黑色棋子？
（2）若第n+2个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．
11．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．
（1）根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．
（2）第n个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含n的式子表示，n为正整数）
（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出n的值；如果不可能，请说明理由．
12．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
13．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……
（1）第5个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
（2）第n个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
（3）若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？
14．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列问题：
（1）按上述规律排列，第⑤幅图中，图形的周长为______﹔
（2）按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；
（3）按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．
15．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？
（2）用含有n的代数式表示：有n张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？
（3）一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子．若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．
16．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
（1）2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；
（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
17．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第n项是 ；
（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；
（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．
18．（2022秋·广西北海·七年级统考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：
（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；
（2）以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
（3）【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．
（4）【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？
19．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）用火柴棒按图中的方式搭图形：
（1）按图示规律填空：
（2）按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴根数；
（3）小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
20．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为aa>1的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值．
21．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，如果图①-④中各有11层.
（1）图①中共有___________个圆圈：
（2）我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________.
（3）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，⋯求图④所有圆圈中各数的绝对值之和.
22．（2023·全国·七年级假期作业）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有(1+2+3+⋯+8)个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9=72个点，由此可得1+2+3+⋯+8=12×(1+8)×8=36．
用此方法，可求得1+2+3+⋯+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+⋯+49= ；
②1+3+5+⋯+(2n+1)= ．
（3）请构造一图形，求12+122+123+⋯+122023 （画出示意图，写出计算结果）．
图形
1
2
3
4
5
…
火柴棒根数
5
9
13
…
图形编号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
7
12
___________
___________
___________
【典例1】国庆节期间，人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第10层有 个盆栽，前5层共有 个盆栽；
（2）观察图计算1+3+5+7+⋯+17= ；
（3）拓展应用：求51+53+55+⋯+2023的值．
【思路点拨】
（1）后面一层比前面一层多2个盆栽，结合图形，根据规律可求出其值；
（2）图形刚好构成正方形的面积，求面积即可；
（3）先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和，再求它们的差即可．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得，2×(10−1)+1=19，
∴第10层有19个盆栽，
5×5=25，
∴前5层共有25个盆栽，
故答案为：19；25．
（2）解：观察图形可得，第9层盆栽数量为：2×9−1=17，
∴1+3+5+7+⋯+17=92=81，
故答案为：81．
（3）解：根据题意可得，第1012层盆栽数量为：2×1012−1=2023，
∴1+3+5+⋯+49+51+53+55+⋯+2023=10122，
第25层盆栽数量为：2×25−1=49，
∴1+3+5+⋯+49=252，
∴51+53+55+⋯+2023=(1+3+5+⋯+51+53+55+⋯2023)−(1+3+5+⋯+49)，
=10122−252=1023519，
∴51+53+55+⋯+2023的值为1023519．
1．（2022秋·江苏·七年级期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是（ ）
A．38B．46C．61D．64
2．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（ ）
A．297B．298C．299D．300
3．（2023春·全国·七年级开学考试）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．（2022秋·湖南·七年级期末）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个正方形组成，共用的木条根数S1＝4，第二个图案由4个正方形组成，共用的木条根数S2＝12，第三个图案由9个正方形组成，共用的木条根数S3＝24，以此类推…那么第100个图案共用的木条根数S100为（ ）
A．19600B．20400C．20200D．20000
5．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（ ）上．
A．CDB．ADC．ABD．BC
6．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第42个图中小圆点的个数为 ．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察并找出如图图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数量是 个．
8．（2022秋·浙江杭州·七年级期末）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n≥3)，当1a3+1a4+1a5+⋯+1an的结果是6712022时，n的值为 ．
9．（2022秋·全国·七年级期中）正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为 ．
10．（2023·全国·七年级假期作业）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）图5有多少颗黑色棋子？
（2）若第n+2个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．
11．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．
（1）根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．
（2）第n个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含n的式子表示，n为正整数）
（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出n的值；如果不可能，请说明理由．
12．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
13．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……
（1）第5个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
（2）第n个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
（3）若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？
14．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列问题：
（1）按上述规律排列，第⑤幅图中，图形的周长为______﹔
（2）按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；
（3）按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．
15．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？
（2）用含有n的代数式表示：有n张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？
（3）一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子．若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．
16．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
（1）2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；
（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
17．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第n项是 ；
（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；
（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．
18．（2022秋·广西北海·七年级统考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：
（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；
（2）以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
（3）【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．
（4）【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？
19．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）用火柴棒按图中的方式搭图形：
（1）按图示规律填空：
（2）按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴根数；
（3）小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
20．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为aa>1的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值．
21．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，如果图①-④中各有11层.
（1）图①中共有___________个圆圈：
（2）我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________.
（3）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，⋯求图④所有圆圈中各数的绝对值之和.
22．（2023·全国·七年级假期作业）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有(1+2+3+⋯+8)个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9=72个点，由此可得1+2+3+⋯+8=12×(1+8)×8=36．
用此方法，可求得1+2+3+⋯+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+⋯+49= ；
②1+3+5+⋯+(2n+1)= ．
（3）请构造一图形，求12+122+123+⋯+122023 （画出示意图，写出计算结果）．
图形
1
2
3
4
5
…
火柴棒根数
5
9
13
…
图形编号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
7
12
___________
___________
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