+安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等五校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等五校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是（ ）
A．∠B＝∠DB．BC＝DCC．AB＝ADD．∠3＝∠4
3．（4分）若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则点M的坐标（ ）
A．（6，﹣6）B．（3，3）
C．（﹣6，6）或（﹣3，3）D．（6，﹣6）或（3，3）
4．（4分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x≥2且x≠3
5．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于25cm，则BC的长度等于（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
6．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（ ）
A．13cmB．13cm或17cm
C．17cmD．16cm
7．（4分）若一次函数y＝2x+b（k≠0）的图象向下平移3个单位后经过点A（1，4），则b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（4分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．下列说法错误的是（ ）
A．该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时
B．蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米
C．当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时
D．25千瓦时的电量，汽车能行驶150km
9．（4分）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
10．（4分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2B．7C．16D．17
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 ．
12．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝ ．
13．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，PC＝4cm，则PB的长为 ．
14．（5分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ ．
（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．
16．（8分）如图，AD是△ACE的角平分线，BA＝BC，BD∥AE．
求证：∠C＝∠E．
四、(本大题共2小题，每小题8分,满分16分)
17．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ ， ），A′（ ， ）．
（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC外部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求m和n的值．
18．（8分）已知函数y＝（m+2）x﹣m2+4（m是常数）．
（1）m为何值时，y随x的增大而增大？
（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？
五、（本大题共2小题，每小题10分,满分20分)
19．（10分）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
20．（10分）如图，∠AOB＝30°，按下列步骤作图：
①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；
③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形完成下列问题．
（1）求证：OF垂直平分CG．
（2）求证：△OCG为等边三角形．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点M，当MN＝2DO时，求M点的坐标．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某超市准备采购A、B两款洗发水共60瓶（两种都采购），两款洗发水的进货价和销售价如下表：
设该超市购进A款洗发水x瓶，两款洗发水售完后总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）按以往销售情况，超市决定购进A款洗发水的数量不超过B款洗发水数量的一半，应如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD＝CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α＝60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等五校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是（ ）
A．∠B＝∠DB．BC＝DCC．AB＝ADD．∠3＝∠4
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（AAS），故本选项不符合题意；
B、BC＝DC，AC＝AC，∠1＝∠2不能推△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
C、∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项不符合题意；
D、∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（ASA），故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．（4分）若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则点M的坐标（ ）
A．（6，﹣6）B．（3，3）
C．（﹣6，6）或（﹣3，3）D．（6，﹣6）或（3，3）
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
【解答】解：∵点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣a|＝|3a+6|，
∴2﹣a＝3a+6或2﹣a＝﹣（3a+6），
解得a＝﹣1或a＝﹣4，
∴点M的坐标为（6，﹣6）或（3，3）；
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．
4．（4分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x≥2且x≠3
【分析】根据二次根式（a≥0），以及分母不为0，可得x≥0且x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x≥0且x﹣3≠0，
∴x≥0且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0），以及分母不为0是解题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于25cm，则BC的长度等于（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC，
∴BC+AC＝25cm，
∴BC＝25﹣AC＝25﹣15＝10（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（ ）
A．13cmB．13cm或17cm
C．17cmD．16cm
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）．
故它的周长为17cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（4分）若一次函数y＝2x+b（k≠0）的图象向下平移3个单位后经过点A（1，4），则b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平移的规律得到y＝2x+b﹣3，然后根据待定系数法即可求得b的值．
【解答】解：一次函数y＝2x+b（k≠0）的图象向下平移3个单位后得到y＝2x+b﹣3，
∵平移后经过点A（1，4），
∴4＝2+b﹣3，
解得b＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了待定系数法求一次函数的解析式．
8．（4分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．下列说法错误的是（ ）
A．该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时
B．蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米
C．当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时
D．25千瓦时的电量，汽车能行驶150km
【分析】由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量即可得到结论．
【解答】解：A、该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时，正确，故不符合题意；
B、蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，正确；故不符合题意；
C、当150≤x≤200时，设y关于x的函数表达式y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．正确；故不符合题意；
D、当y＝25时，则25＝﹣0.5x+110，
解得：x＝170，
即25千瓦时的电量，汽车已行驶了170km，
∵汽车最多行驶200km，
∴汽车最多能行驶200﹣170＝30（km），
故25千瓦时的电量，汽车能行驶30km，故符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图形，正确的理解函数图象中的信息是解题的关键．
9．（4分）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
【分析】利用正比例函数的定义可求出m值，进而可得出正比例函数解析式，由k＝﹣4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合m＜﹣m，即可得出a＞b．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，
∴，
∴m＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣4x．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，且m＜﹣m，
∴a＞b．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2B．7C．16D．17
【分析】通过构造等边△ABQ和等边△MBP，得到△QBP≌△ABM （SAS），再证明△QMP≌△NMB （SAS），即可将线段AB、BM和MN集中到同一△QMB中，根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围．
【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，
在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，
∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，
∴∠QBP＝∠ABM，
又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，
∴△QBP≌△ABM（SAS），
∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，
∵AM＝BN，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，
∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
∴∠MBN＝MPQ，
在△QMP和△NMB中，
，
∴△QMP≌△NMB（SAS），
∴MQ＝MN，
在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，
∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，
∴2＜MN＜16，
∴选项B，MN＝7符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段AB、BM和MN通过全等转化在同一三角形中，再根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围、
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 三个角都是60°的三角形是等边三角形 ．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，
故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝ 8 ．
【分析】由题意易得AC﹣AB＝3，AC+AB＝13，然后问题可求解．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC＝AD+CD+AC，C△ABD＝AD+BD+AB，
∴C△ADC﹣C△ABD＝AD+CD+AC﹣AD﹣BD﹣AB＝AC﹣AB＝3，①
∴AC+AB＝13，②
∴①+②得：2AC＝16，
∴AC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
13．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，PC＝4cm，则PB的长为 8cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可知PB＝2PA，再根据∠PAC＝∠C＝30°，可得PA＝PC，进一步可得PB的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠BAP＝90°，
∴PB＝2AP，∠PAC＝30°，
∴PA＝PC＝4cm，
∴PB＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14．（5分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ 10 ．
（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 4 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等，求出DF＝BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF；
（2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（AAS），
∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，
∴AB+AD＝2AF，
∵AB＝12，AD＝8，
∴AF＝10，
故答案为：10．
（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是24，△ADC面积是16，
∴24﹣x＝16+x，
∴x＝×（24﹣16）＝4．
即△BEC的面积等于4，
故答案为：4．
【点评】考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质的应用，三角形的面积，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．本题中利用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．
【分析】求出BC＝DF，根据平行线的性质得出∠B＝∠D，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】证明：∵BF＝DC，
∴BF﹣FC＝DC﹣FC，
即BC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△EDF中
∴△ABC≌△EDF（AAS）．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
16．（8分）如图，AD是△ACE的角平分线，BA＝BC，BD∥AE．
求证：∠C＝∠E．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DAE，∠BDC＝∠E，即可得到∠BAD＝∠ADB，根据等角对等边得到AB＝BD，进而得到BC＝BD，从而证得∠C＝∠BDC＝∠E．
【解答】证明：∵AD是△ACE的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵BD∥AE．
∴∠ADB＝∠DAE，∠BDC＝∠E，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BA＝BC，
∴BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠C＝∠E．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
四、(本大题共2小题，每小题8分,满分16分)
17．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ ﹣4 ， 4 ）．
（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC外部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求m和n的值．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【解答】解：（1）观察图象可知A（1，0），A′（﹣4，4）．
故答案为：1，0，﹣4，4；
（2）三角形A′B'C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）由题意，，
解得，．
【点评】本题考查作图﹣坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移称变换的性质，学会割补法求三角形面积．
18．（8分）已知函数y＝（m+2）x﹣m2+4（m是常数）．
（1）m为何值时，y随x的增大而增大？
（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？
【分析】（1）根据题意m+2＞0，解得即可；
（2）根据正比例函数的定义得到m+2≠0，﹣m2+4＝0，解得m＝2．
【解答】解：（1）由题意：m+2＞0，
∴m＞﹣2，
即m＞﹣2时，y随x的增大而增大；
（2）若该函数是正比例函数，则m+2≠0，﹣m2+4＝0，
∴m＝2，
即m＝2时，该函数是正比例函数．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分,满分20分)
19．（10分）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；
（2）结合（1）△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，BE＝AF，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）EF+CF＝BE，理由如下：
∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF，
∵AE+EF＝AF，
∴CF+EF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到△ABE≌△CAF．
20．（10分）如图，∠AOB＝30°，按下列步骤作图：
①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；
③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形完成下列问题．
（1）求证：OF垂直平分CG．
（2）求证：△OCG为等边三角形．
【分析】（1）由OC＝OG，FC＝FG，可得结论；
（2）证明△FOC≌△FOG（SSS），推出∠FOC＝∠FOG＝30°，可得结论．
【解答】证明：（1）由作图可知，OC＝OG，FC＝FG，
∴OF垂直平分线段CG；
（2）在△OFC和△OFG中，
，
∴△FOC≌△FOG（SSS），
∴∠FOC＝∠FOG＝30°，
∴∠COG＝60°，
∵OC＝OG，
∴△OCG是等边三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点M，当MN＝2DO时，求M点的坐标．
【分析】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值；
（2）结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+4），N（m，3m），由“MN＝2DO”列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴C点坐标为（1，3）．
直线y＝kx+b经过（﹣2，6）和（1，3），
则，
解得；
（2）根据函数图象知：x＜1；
（3）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，
∴D点坐标为（0，4），
∴OD＝4．
设点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+4），N（m，3m），
∴MN＝3m﹣（﹣m+4）＝4m﹣4．
∵MN＝2DO．
∴4m﹣4＝8．
解得m＝3．
即M点坐标为（3，1）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某超市准备采购A、B两款洗发水共60瓶（两种都采购），两款洗发水的进货价和销售价如下表：
设该超市购进A款洗发水x瓶，两款洗发水售完后总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）按以往销售情况，超市决定购进A款洗发水的数量不超过B款洗发水数量的一半，应如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意可得y与x的函数关系式；
（2）根据A款洗发水的数量不超过B款洗发水数量的一半，列一元一次不等式，求出x取值范围，再根据一次函数的性质即可确定最大利润以及进货方案．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（50﹣40）x+（38﹣30）（60﹣x）＝2x+480（0＜x＜60），
∴y＝2x+480（0＜x＜60）；
（2）根据题意，得x≤（60﹣x），
解得x≤20，
∵y＝2x+480中，2＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝20时，y最大＝40+480＝520（元），
∴A款洗发水购进20瓶，B款洗发水购进40瓶时获得最大利润，最大利润为520元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD＝CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α＝60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；
（3）由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO＝AP，可证△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，BD＝CE，
∴BD×AH＝CE×AF，
∴AH＝AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE＝AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE＝PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，
又∵OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP＝AO，
∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO＝60°，
又∵AP＝AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/28 16:07:26；用户：夏津八中；邮箱：xj8@qq.cm；学号：51211527A款洗发水
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