2022-2023学年浙江省杭州市杭州九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市杭州九年级上学期数学期中试题及答案，共19页。试卷主要包含了仔细选一地，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 守株待兔C. 大海捞针D. 水中捞月
【答案】A
【解析】
【分析】必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，和不可能事件统称为确定事件，由此即可求解．
【详解】解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件，
故选：．
【点睛】本题主要考查随件事件，必然事件与概率的问题，理解必然事件的概念，概率的描述是解题的关键．
2. 把图形 绕点顺时针旋转度后，得到的图形是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题．
【详解】解：根据观察，图形绕点0顺时针旋转90度得到图形.
故选D
【点睛】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. （1，1）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （－1，－1）
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0）写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线y=2（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．
4. 不透明的袋子中装有4个红球，2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，现从袋子中随机摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有6种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2个结果，
∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查等可能事件的概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
5. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式．
【详解】解：将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为：．
故选：C．
【点睛】本题考查是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
6. 如图，是的外接圆，已知为等边三角形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键．
7. 已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A，，，则为的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据抛物线的对称性，增减性，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
8. 如图是的直径，内接于，，，则（ ）
A. 113°B. 103°C. 45°D. 58°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，再用三角形内角和可求．
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质求出角的度数，结合已知角的度数进行计算．
9. 已知二次函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个异号实数根D. 有两个同号不相等实数根
【答案】D
【解析】
【分析】将的根情况转化为抛物线与直线的交点问题．
【详解】解：由图象可得函数最小值为，
∴，
∴有两个不相等实数根．
由图象可得时，，
∴两个实数根符号相同，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．
10. 如图，中，，P是平面上的一个点，连接，，已知始终为直角，则线段长的最大值为（ ）
A. 6B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接，，则：，得到当三点共线且点O在线段上时，最大，延长与交于点，此时最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵始终为直角，
∴点P在以为直径的上，
连接，，则：，
∴当三点共线且点O在线段上时，最大，如图，延长与交于点，此时最大，
在中，，
∴，
∴，
∴最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查求线段的最大值．解题的关键是确定点在圆上，利用三点共线，确定点的位置．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分．注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽最完整地填写答案．）
11. 在2，-2，0三个整数中，任取一个，恰好使分式有意义的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用使分式有意义的概率=使分式有意义的数的个数÷数的个数，即可求出结论．
【详解】解：∵有意义的条件为：x≠2，
∴ 在2，-2，0三个整数中，任取一个 ，使此分式有意义的概率为：P=.
故答案.
【点睛】本题考查了概率公式以及分式有意义的条件，牢记随机事件的概率公式是解题的关键．
12. 二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次函数的性质得出m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
13. 如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵B是的中点，，
∴，，
∴在中，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键．
14. 当时，函数有最 _____值，是 _____．
【答案】 ①. 小 ②. 2
【解析】
【分析】先根据二次函数顶点式求出二次函数最小值，进而判断出函数的最小值．
【详解】解：∵有最小值为4，
∴函数的最小值为2，
故答案为：小，2．
【点睛】本题考查二次函数的最值，关键是再转化为二次根式来解题．
15. 在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图：
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、翻折性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握垂径定理和翻折性质是解答的关键．
16. 已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大．
（1）实数a的取值范围为 _____；
（2）若，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是 _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由时，y随x的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，；时，；根据，建立等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意可得，抛物线开口向上，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴对称轴，即，
故答案为：；
（2）由，，得
时，，
时，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像性质，解题的关键是熟悉二次函数的单调性．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．）
17. 如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
（1）请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：圆心的坐标：（______，______）
（2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出图形．
【答案】（1）点P的位置如图所示，点P坐标为（5，3）；（2）△ADE如图所示，见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出BC、AB的中垂线，两直线的交点即为点P；
（2）分别找出点B、C绕点A逆时针旋转后的点的位置，然后顺次连接即可.
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求，圆心P的坐标为P（5，3）；
（2）如图所示，△ADE为所画三角形.
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
18. 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付．
（1）小张选择微信支付的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）；（2）两人恰好选择同一种支付方式的概率为
【解析】
【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）利用列树状图可直接进行求解概率．
【详解】解：（1）由题意得：
小张选择微信支付的概率是；
故答案为；
（2）解：根据题意画树状图如下：
∵由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式（记做事件A）有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
19. 如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1 ，求⊙O的半径．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长．
【详解】如图，连接OB，
∵OC⊥AB
∴DB=
设半径为r，故OC=OB=r，则OD=r-1
在直角三角形ODB中，有OB2=OD2+DB2
得到方程r2=（r-1）2+42
解得
即⊙O半径为
【点睛】本题考查垂径定理，能够做出辅助线解题关键．
20. 设二次函数，其中a是常数，且．
（1）当时，试判断点是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象过点，求该函数的表达式以及顶点坐标．
【答案】（1）不在，理由见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）把a的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可；
（2）代入已知点坐标求得a便可得解析式，利用顶点式即可求得顶点坐标．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
当时，，
∴点不在该函数图象上；
【小问2详解】
∵函数的图象经过点，
∴，
解得，，
∴该函数的表达式为：，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题的关键．
21. 如图，在中，，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交于点D，作直径，连接并延长交AC于点G，连接，，此时．
（1）求证：；
（2）当F为的中点且时，求⊙O的直径长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据，推出垂直平分，于是得到；
（2）根据直角三角形的性质得到，求得，得到，求得，，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是⊙O的直径，
∴垂直平分，
∴；
【小问2详解】
解：∵当F为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴⊙O的直径长为2．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理、含角的直角三角形的性质、圆周角性质等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 关于x的二次函数（k为常数）．
（1）求证：函数的图象与x轴有交点；
（2）已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，且距离等于3．
①试求此时k的值：
②当时，函数为M．当时，函数值为N，若，且，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）证明，便可得结论；
（2）①函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；
②分别计算M，N的值，将代入并整理得到．
【小问1详解】
证明：∵，
∴函数的图象与x轴有交点；
【小问2详解】
解：①设的两根为，，则，，
∴，
∵函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
∴，
∴，
解得，或，
∵函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴二次函数为，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴
，
∵，且，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
23. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）PA+PB=PC；证明见解析（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大值为
【解析】
【分析】（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角形．
（2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出△PAD为等边三角形，再根据已知条件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论．
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分别为点E，点F，四边形APBC的面积为△APB与△ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为的中点时，面积最大．
【详解】（1）等边三角形；
由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为等边三角形；
（2）PA+PB=PC．
证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．
∵∠APC=60°．
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD， ∠PAD=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC．
∴△PAB≌△DAC．
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．
（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF．
∴S四边形APBC=AB（PE+CF）．
当点P为的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．
∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=．
∴S四边形APBC=×2×=．