2022-2023学年浙江省杭州市富阳区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市富阳区九年级上学期数学期中试题及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知点在半径为8的⊙O外，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系即可确定的范围．
【详解】解：点在圆的外部，
点到圆心的距离大于8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是要牢记判断点与圆的位置关系的方法．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （1，﹣3）B. （1，3）C. （﹣1，3）D. （﹣1，﹣3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式直接判断即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-1，-3），
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是知道二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k）．
3. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现点朝上
C. 从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D. 从一个装有个红球个黑球的袋子中任取两球，至少有一个是黑球
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是，故本选项错误，不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现点朝上的频率约为：，故本选项错误，不符合题意；
C、从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到黑球的概率是，故本选项正确，符合题意；
D、从一个装有个红球个黑球的袋子中任取两球，至少有一个是黑球的概率是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 三个点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 同弧或等弧所对的圆周角相等D. 圆内接平行四边形一定是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
5. 某班甲、乙、丙三个综合实践活动小组准备向全班同学展示成果，现通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．三个小组排列的顺序有（ ）种不同可能．
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列举事件所有的情况即可．
【详解】解：由题意知：有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共6种可能；
故选B．
【点睛】本题考查了列举法．解题的关键在于列举所有的情况．
6. 一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A. 300°B. 150°C. 120°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
【详解】∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故选B．
7. 已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若a＝1，函数图象经过点(－1，1)B. 若a＝－2，函数图象与x轴交于两点
C. 若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方D. 若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；
B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；
C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；
D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【详解】连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵，
∴∠CAB=∠DAB=35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10. 二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由可判断，进而求解．
【详解】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向下，
，
，
若，则，，选项A错误，
若，则，，选项B错误，
若，则，
，选项C正确，
若，则，，选项D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 从长为，，，的四根木条中任取三根，能组成三角形的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有种，
能组成三角形的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，正确画出树状图是解题的关键．
12. 将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．
【答案】y=(x＋3)2
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．
故答案是：y=（x+3）2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．
13. 如图，圆周角，则圆心角的度数是为______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】作所对的圆周角，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：作所对的圆周角，如图，

四边形为的内接四边形，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．作所对的圆周角是解决问题的关键．
14. 对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝_____
【答案】5
【解析】
【详解】已知二次函数，当时函数值与时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为，即，可得．
15. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分，若，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角平分线可知，再根据圆周角定理可得，从而可知，根据是的直径，，进一步可得的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
是的直径，，
的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16. 已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．
【答案】x<−2或x>4## x＞4或x＜-2
【解析】
【分析】先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【详解】解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），
∴5=（-2）2-2×（-2）+b，
解得：b=-3，
∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．
故答案为：x＜-2或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知二次函数．
（1）将化成的形式：______；
（2）与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是______；顶点坐标是______．
【答案】（1）
（2），；；
【解析】
【分析】（1）将函数解析化为顶点式求解；
（2）把，代入函数解析式求解．
【小问1详解】
解：，
故答案为：．
【小问2详解】
把代入得，
解得或，
抛物线与轴交点坐标为，，
令，得，
抛物线与轴交点坐标为，
顶点坐标是．
故答案为：，；；．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象上点的特征．
18. 已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在
【解析】
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
详解】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
19. 如图，将一个圆形转盘平均分成份，分别标上数字，，，现转动转盘两次，计算两次转得的数的和．
（1）画出树状图，并求两次转得数字之和为的概率；
（2）通过计算，判断和为多少的概率最大？
【答案】（1）图见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）画树状图，共有种等可能的结果，其中两次转得数字之和为的结果有种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，再由概率公式即可得出结论．
【小问1详解】
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次转得数字之和为的结果有种，
两次转得数字之和为的概率为；
【小问2详解】
由（1）可知，共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，
和为的概率最大，
即和为的概率最大．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的分别交AC，BC于点E,F，求证：．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】根据“在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等”证明即可．
【详解】证明：∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴
∴
∴．
【点睛】此题主要考查了证明弧相等的方法，熟练掌握“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”是解答此题的关键．
21. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
（1）求圆弧所在的圆的半径的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
【答案】（1）
（2）不需要采取紧急措施
【解析】
【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【小问1详解】
连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
【小问2详解】
连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，把市场调查、销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，邻天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元．
（2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）60元或100元；（2）销售单价为80元，最大利润是4500元
【解析】
【分析】（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，则（x-50）[50+5（100-x）=2500，即可求解；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y=-5x2+800x-27500=-5（x-80）2+4500，即可求解．
【详解】解：（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，
则（x-50）[50+5（100-x）]=（x-50）（-5x+550）=-5x2+800x-27500=2500（x≥50），
解得：x=100或60，
故销售单价为60元或100元时，每天的销售利润为2500元；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，
由题意得：y=-5x2+800x-27500=-5（x-80）2+4500，
∵a=-5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≥50，对称轴是直线x=80，
∴当x=80（元）时，y最大值=4500（元）；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
【点睛】本题考查了二次函数性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23. 已知在圆中，弦垂直弦于点
（1）如图：若，求证：；
（2）如图：若，，；
①求圆的半径；
②求弓形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）连接、，如图，根据等腰三角形的性质由得，再根据圆周角定理得，，则，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据垂径定理得，，再根据勾股定理得，，，，即可求出圆的半径；②根据勾股定理求出，得，所以弓形的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：证明：连接、，如图，

，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
①连接，，，作于点，于点，
设圆的半径为，则，，，
，，，
，
解得，
圆的半径为；
②，
，
，
，
弓形的面积为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线．