2022-2023学年浙江省杭州市上城区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市上城区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．
B. 掷一枚质地均匀硬币，正面朝上．
C. 若a是实数，则．
D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件特点判断即可．
【详解】解：A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故A不符合题意；
B．掷一枚质地均匀硬币，正面朝上，这是随机事件，故B不符合题意；
C．若a是实数，则，这是必然事件，故C符合题意；
D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2. 如图，已知，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3. 已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，，
∴A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意.
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割、比例性质，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
4. 做任意抛掷一只纸杯的重复实验，获得如下数据：
根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是（ ）
A 0.21B. 0.22C. 0.38D. 0.40
【答案】B
【解析】
【分析】经过大量实验，杯口朝上的频率既是概率．
【详解】解：根据表格通过大量实验，杯口朝上的频率为0.22，则估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是，
故选B．
【点睛】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率之间的联系是解题的关键．
5. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵将绕C点按顺时针方向旋转到，
∴，
∴，
∴，
即：旋转的角度为；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
6. 如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，，
∴，
连接，
∵是直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
7. 已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（ ）
A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位
【答案】D
【解析】
【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】解：的顶点坐标为，
∴若将抛物线的顶点平移到原点需将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8. 如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，由得到，代入数值，先求出，进一步即可求得的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：A
【点睛】此题考查了相似三角形性质，准确计算是解题的关键．
9. 抛物线过四点，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两点的函数值相同，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，比较函数值大小即可．
详解】解：∵抛物线过，
∴和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴．
10. 如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形对角互补推出，再由角平分线的定义得到，即可得到，则，再由得到，即可证明，再，即可证明即可判断A；再根据圆周角定理和等量代换把B、C、D三个选项中的角度用表示出来，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，故A不符合题意；
∵
∴
，故C不符合题意；
∵，，
∴
，故D不符合题意；
∵，
∴
，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明，故B符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数为3的结果数有1种，根据概率公式计算可得答案．
【详解】解：∵．任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数为3的结果数有1种，
∴其中朝上面的点数为3的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
12. 已知，那么的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，即可得解．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13. 已知圆O的面积为，若，则点P与圆O的位置关系是________．
【答案】圆外
【解析】
【分析】先求出圆的半径，再根据点和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：∵圆O面积为，
∴圆O的半径为5，
∵，
∴点P与圆O的位置关系是圆外，
故答案为：圆外．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，判断点和圆的位置关系时，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，再根据大小关系进行作答． 若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则 时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内．
14. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，可知当时，随的增大而减小，所以当时，函数有最大值，可得，即可求出答案．
【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，函数有最大值，
，
解得或3，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性以及二次函数的最值，熟练运用二次函数的图象和性质是解题的关键．
15. 如图，在一根半径为10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于5cm，则这个正三角形边长最大为__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】圆和正三角形都是轴对称图形，正三角形是等边三角形，它的三个角都是，三条边都相等，用勾股定理求出边长即可得解．
【详解】如图所示：记正三角形的一个顶点为B，连接并延长交于一点A，过O作垂直于直线于点C，垂足为C ．
∵正三角形顶点离圆柱边缘不少于5 cm，
∴当正三角形边长最大时，则 cm，
∵半径为10cm，
∴cm，
∵该三角形是正三角形，，
∴，
∴cm， cm，则正三角形边长为cm．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与正多边形，等边三角形的性质，以及勾股定理的运用，灵活运用等边三角形性质解题是关键．
16. 如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G．则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明是直角三角形，设，则，由，求得，再证明，设，则，利用勾股定理求得，，据此求解即可．
【详解】解：由折叠可知：，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
设，则，
由折叠可知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵矩形中，，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴，
设，则，
∵，即，
解得，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查翻折问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是直角三角形是解题的关键．
二、解答题：本大题有7个小题，共66分．
17. 游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次．
（1）求两次数字之和为4的概率；
（2）若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请问这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）该游戏公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到两次数字之和为4的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（2）根据（1）的表格得到有的等可能性的结果数，再找到两次数字之积大于2的结果数，最后依据概率计算公式求解即可
【小问1详解】
解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中两次数字之和为4的结果数有2种，
∴两次数字之和为4的概率为；
【小问2详解】
解：该游戏公平，理由如下：
由（1）中表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次数字之积大于2的结果数有3种，
∴两次数字之积大于2的概率为，
∴该游戏公平．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，正确列出表格或画出树状图得到所有的等可能性的结果数是解题的关键．
18. 如图，在中，D、E分别是上的点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据同角的补角相等证明，再由即可证明；
（2）先求出，再由相似三角形的性质得到，代值计算求出，则．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19. 如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由得到，推出，而，即可证明问题；
（2）由条件可以证明，即可证明．
【小问1详解】
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，三角形全等，掌握以上知识点是解题的关键．
20. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度．
（1）求出该抛物线的解析式和自变量的取值范围；
（2）当球离抛出地的水平距离为时，球的高度是多少？
（3）当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是或
【解析】
【分析】（1）把抛物线设为顶点式，然后代入原点坐标求解即可；
（2）求出当时，的值即可得到答案；
（3）求出当时，的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：当时，，
∴当球离抛出地的水平距离为时，球的高度是；
【小问3详解】
解：当时，
∴，
解得或，
∴当球的高度为时，球离抛出地的水平距离是或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．
21. 已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为．
（1）求证：；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，推导是菱形，根据菱形的对角线互相平分解题即可；
（2）根据解题即可．
【小问1详解】
解：连接
∵
∴
∴
又
是等边三角形，
∴
∴是菱形，
∴
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，垂径定理，扇形面积公式，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
22. 二次函数（是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图象的对称轴；
（2）若函数的图象经过点，且时，求m的最大值：
（3）若一次函数（k，b是常数，），它的图象与的图象都经过x轴上同一点，且．当函数的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值．
【答案】（1），对称轴为直线：
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）根据A，B两点的坐标分别为，得到，即可求出解析式，进而求出对称轴即可；
（2）将点，代入解析式，转化为新的二次函数，求最值即可；
（3）分的图象与的图象都经过和的图象与的图象都经过两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵A，B两点的坐标分别为，
∴，对称轴直线：；
【小问2详解】
解：∵函数的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
∴
；
∴当时，有最大值，最大值为：；
【小问3详解】
解：①当一次函数（k，b是常数，），的图象与的图象都经过时，则：，
∴，
∴，
∴
，
∵函数的图象与x轴仅有一个交点，
∴，
∴
，
∴，
∴
∵，
∴；
②当一次函数（k，b是常数，），的图象与的图象都经过时，
同法①可得：，
，
，
∴，
∴
∵，
∴；
综上：当函数的图象与x轴仅有一个交点时，的值为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的性质，以及二次函数图象与轴只有一个交点时，，是解题的关键．
23. 如图，E是矩形边上的一点，作交的延长线于点F，连结交于点G．
（1）求证：；
（2）已知，
①若G为中点，求的值；
②若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①或②或或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，得到，根据，得到，进而得到，即可得证；
（2）①根据，得到，设，则，，证明，得到，求出的值，再根据，，即可得解；②分，，三种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵四边形为矩形，
∴，，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即：，
整理，得：，
解得：，
经检验，均为原方程的根；
当时，，
∵，
∴，
当时，，
∵，
∴；
综上：的值为或；
②设，由①知：，，
当时，如图，过点作，则：四边形为矩形，
∴，，
∴
由①知：，，即：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍掉）；
经检验，是原方程的解，
∴；
当时，则：，

∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，解得：，
即：；
当时，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，即：，
∴；即：.
综上：为等腰三角形，的长为或或。
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．抛掷总次数
杯口朝上
杯口朝下
横卧
100
0.21
0.38
0.41
200
0.22
0.38
0.40
500
0.22
0.38
0.40
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）