2022-2023学年浙江省杭州市上城区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市上城区九年级上学期数学期中试题及答案，共19页。试卷主要包含了 下列不是必然事件的是， 已知下列结论等内容，欢迎下载使用。

1. 把抛物线y=向上平移一个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）．
A. y=B. y=+1
C. y=D. y=﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【详解】根据题意，y=向上平移一个单位得y=+1．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
2. 下列不是必然事件的是（ ）
A. 角平分线上的点到角两边距离相等
B. 三角形两边之和大于第三边
C. 面积相等的两三角形全等
D. 三角形外心到三个顶点距离相等
【答案】C
【解析】
【详解】解：A.角平分线上的点到角两边距离相等是必然事件，故不符合题意；
B.三角形两边之和大于第三边是必然事件，故不符合题意；
C.面积相等的两三角形不一定全等，∴面积相等的两三角形全等不是必然事件，符合题意；
D.三角形外心到三个顶点距离相等是必然事件，故不符合题意；
故选C
3. 若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）.
A. 在⊙P内B. 在⊙P上C. 在⊙P外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由勾股定理得: ，
∵圆O的半径为13，
∴点O圆P上．
故选B．
考点：1．点与圆的位置关系；2．坐标与图形的性质．
4. 有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2．3．4，2．3．7，3．4．7，2．4．7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
∴能组成三角形的概率是．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及简单事件的概率，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
5. 时钟分针的长5cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（ ）
A. πcmB. πcmC. 15πcmD. πcm
【答案】B
【解析】
【分析】先求出经过45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式，求得弧长即可．
【详解】解：分针经过60分钟，转过，
经过分钟转过，
则分针的针尖转过的弧长是，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，属于基础题，解题关键是要掌握弧长公式，难度一般．
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是直线x＝－
【答案】D
【解析】
【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4．
A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确；
C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确；
D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
7. 一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A. 2.5 cm或6.5 cm
B. 2.5 cm
C. 6.5 cm
D. 5 cm或13cm
【答案】A
【解析】
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
8. 已知二次函数设自变量的值分别为，且，则对应的函数值的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据对称轴方程得到抛物线对称轴，然后根据二次函数图象的性质求解即可．
【详解】解：二次函数为，
二次函数的对称轴为：，
，，
对称轴右侧随的增大而减小，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴的求法以及函数的单调性，判断二次函数的增减性时，利用对称轴是解题的关键．
9. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，得出，然后利用勾股定理计算的长．
详解】解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
10. 已知下列结论：平分弦的直线必过圆心；相等的弦所对的弧相等；二次函数的顶点在轴下方；函数，对于任意负实数，当时，随的增大而增大，则的最大整数值为．其中正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂径定理对进行判断；根据圆周角定理对进行判断；先根据判别式的意义判断抛物线与轴有两个交点，再利用抛物线开口方向可对进行判断；先计算出抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的性质得，然后根据可得的最大整数值为，可对进行判断．
【详解】解：平分弦且垂直于弦的直线必过圆心，故错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误，不符合题意；
二次函数，，则抛物线与轴有两个交点，因为，所以抛物线开口向上，所以抛物线的顶点在轴下方，故正确，符合题意；
函数，则抛物线的对称轴为直线，而当时，随的增大而增大，所以，而，则的最大整数值为，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、二次函数的图象与性质，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。
11. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，
∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
12. 抛物线的顶点坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：，
该抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线的顶点坐标是．
13. 已知是上不同的三个点，，则_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论：当点在优弧上时，根据圆周角定理得到；当点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，从而得到答案．
【详解】解：当点在优弧上时，如图所示，
则；
当点在劣弧上时，如图的，
则，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了分类讨论思想的运用．
14. 如图，已知函数与的图象交于点，则关于的不等式的解为________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接由函数图象即可得出结论．
【详解】由函数图象可知，当x＜﹣3或x＞0时，ax2+bx＞﹣．
故答案为x＜﹣3或x＞0．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式．能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【详解】【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2，
∴S扇形ABD=，
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=，
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键.
16. △ABC的一边长为5，另两边长分别是二次函数y=x2-6x+m与x轴的交点坐标的横坐标的值，则m的取值范围为_____________ ．
【答案】2.75＜m≤9
【解析】
【分析】首先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，然后根据三角形的三边关系得出m的取值范围．
【详解】解∶由根与系数的关系可得∶ x1+x2=6，，
由三角形的三边关系可得∶，
∴
∴，即∶36-4m<25．
解得∶ m>2.75．
∵方程有两个实根，
∴，即．
解得∶ m≤9．
故答案为∶ 2.75【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、根的判别式，掌握抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、根的判别式是解题的关键．
三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17. 根据下列条件，分别求二次函数的表达式
（1）已知函数的顶点坐标（-1，-8），且过点（0，-6）
（2）已知图象经过点（3,0），（2，-3），并以直线x=0为对称轴.
【答案】(1) 2x2＋4x－6.(2) y＝x2－.
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定解析式；（2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值即可求出解析式.
【详解】设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2－8，把（0，﹣6）代入得﹣6＝a－8，解得a＝2，则二次函数解析式为y＝2（x＋1）2－8＝2x2＋4x－6.
根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将（3,0）与（2，﹣3）代入得，解得a＝，c＝﹣，则抛物线的解析式为y＝x2－.
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
18. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45°，试求小明家圆形花坛的半径长．
【答案】（1）详见解析；（2）米
【解析】
【分析】（1）分别作出AB、BC的垂直平分线，相交于一点O，再以点O为圆心，以OA为半径画圆，即可得解；
（2）连接OA，OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOC的度数为90°，然后根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系求解即可．
【详解】（1）如图所示，⊙O即为所求作的圆形花坛的位置；
（2）连接AO，CO，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝45°×2＝90°，AO=CO
∵AC＝4米，
∴AO2+ CO2= AC2
∴AO＝AC＝×4＝2米．
即小明家圆形花坛的半径长2米．
【点睛】本题考查了应用于设计作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，作出辅助线是利用圆周角与圆心角的关系的关键．
19. 有A，B两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有，4，6；B组卡片上分别写有，0，2．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同，甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．若甲抽出的数字是4，乙抽出的数是，它们恰好是方程的解．
（1）求a的值；
（2）求甲、乙随机各抽取一次得到的一对数恰好是方程的解的概率．（请用树状图或列表法求解）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入方程计算即可求出a的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
将代入方程得，
【小问2详解】
列表得：
所有等可能的情况有9种，其中恰好为方程的解的情况有，共2种情况，则
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率和求二元一次方程的解，解题得关键在于审清题意．
20. 已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
【答案】（1）2 cm；
（2）∠ACM＝60°．
【解析】
【分析】（1）连接OM，作OD⊥MN于D．根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）根据（1）中的直角三角形的边求得∠M的度数．再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB，即可解决问题．
【小问1详解】
解：连接OM，作OD⊥MN于D
∵点M是的中点，
∴OM⊥AB．
过点O作OD⊥MN于点D，
由垂径定理，得．
在Rt△ODM中，OM＝4，，
∴OD＝．
故圆心O到弦MN的距离为2 cm．
【小问2详解】
解：cs∠OMD＝，
∴∠OMD＝30°，
∵OM⊥AB，
∴∠ACM＝60°．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA．
（2）求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2）1.4
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可；
（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵AE=DE，OC是半径，
∴，
∴∠CAD=∠CBA；
（2）解：如图：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AE=DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE=3.6，
∵OC=AB=5，
∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA是解题关键．
22. 新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量（盒）与售价（元）之间的关系为；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时甲乙两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）当甲口罩的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的总利润最高，求此时的定价为多少？
【答案】（1）20元、30元；（2）45元，2125元；（3）36元．
【解析】
【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为元、元，由题意列方程组，求解即可．
（2）设乙口罩的销售利润为元，由题意可列出关于的二次函数，将其改写成顶点式，即可知道乙口罩的售价及此时乙口罩的最大利润，继而求出甲口罩利润，即可求解．
（3）根据题意可列出不等式，解得x的取值范围，在得出两种口罩的利润总和关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，即得到答案．
【详解】（1）设甲、乙两种口罩每盒进价分别为元、元，由题意得：
，
解得：，
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为元，由题意得：
，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元，
当售价为45元时，（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：（元），
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：，
解得：，
∴两种口罩的利润总和
，
∴对称轴为：，
∴当时，两种口罩的利润总和最高，
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
【点睛】本题考查一次函数、二元一次方程组、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用．根据题干理清它们的数量关系是解题的关键，综合性较强．
23. 设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
（2）若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
（3）设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．
【小问1详解】
由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
【小问2详解】
由题意，得，
∵，
∴b=-4h，c=
∴，
∴当时，的最小值是．
【小问3详解】
由题意，得
因为函数y图像经过点，
所以，
所以，或．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
-1
0
2
-2
(-2,-1)
(-2,0)
(-2,2)
4
(4,-1)
(4,0)
(4,2)
6
(6,-1)
(6,0)
(6,2)