2022-2023学年浙江省杭州市滨江区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市滨江区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题．解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. “明天下雨”这个事件是（ ）
A. 确定事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 不确定事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的相关概念可进行判断即可．
【详解】解：“明天下雨”，这个事件是不确定事件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．
2. 已知，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意；
B、若，则，故本选项正确，符合题意；
C、若，不成立，故本选项错误，不符合题意；
D、若，不成立，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，理解并掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．
4. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A. 24B. 22C. 12D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可．
【详解】，即，解得．
故选：A
【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
5. 已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据当时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
6. 如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在优弧上找一点，连接，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据圆周角定理即可求解．
详解】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由题意可知为的中位线，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9. 如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设出未知数，再用已知条件表示出的各个角，最后，依据三角形内角和公式列方程解决．
【详解】解：如图，连接，设．
∵与相似
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，用一个角表示出其他角后正确列出方程，是解题的关键．
10. 二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图像可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【详解】解：∵函数，且，
∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图像的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，解题关键是理解题意，借助函数图像的变化分析求解．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是_____．
【答案】110°
【解析】
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
12. 做任意抛掷一只纸杯重复试验，获得如下表数据：
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）．
【答案】0.22
【解析】
【分析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22．
故答案为∶ 0.22．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键．
13. 如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
14. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
15. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用矩形的性质先求得，，再证明，即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16. 如图，正五边形的对角线和分别交对角线于点，，若的面积为，则正五边形的面积为____________（结果用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据正五边形的性质可得，，从而得到，再由，可得，，从而得到，进而得到，继而得到 ，再由，可得，然后根据正五边形的面积，即可求解．
【详解】解：如图，
∵多边形正五边形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵多边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正五边形的面积
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正五边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17. 一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）
（2）画出树状图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据简单概率计算公式即可获得答案；
（2）根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
【小问2详解】
解：根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率以及列举法求概率，根据题意画出相应的树状图是解题关键．
18. 如图是一个管道的横截面，圆心到水面的距离是3，水面宽．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，
是等腰直角三角形，
在中，
这个管道横截面的半径为．
【小问2详解】
解：在等腰直角中，，
在等腰直角中，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
19. 如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【答案】（1）不相似；证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【小问1详解】
解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
【小问2详解】
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
20. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据对称轴为，得出对称轴右边2处为，代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意并求出抛物线的解析式．
21. 如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明∶∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．
22. 二次函数的图像经过，两点．
（1）当时，判断与的大小．
（2）当时，求的取值范围．
（3）若此函数图像还经过点，且，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，分别把代入解析式，计算出，比较即可；
（2）先求出，再根据，解不等式即可；
（3）先求出二次函数的对称轴为直线，得，由，计算可得答案．
【小问1详解】
解：当时，
，
，
；
【小问2详解】
，
又，
，
；
【小问3详解】
二次函数的对称轴为直线，
二次函数经过两点，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的对称轴的性质，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
23. 如图1，在中，为弦，为直径，且于点，过点作，交的延长线于点．连接，．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
（3）如图2，若的延长线与的交点恰好为的中点，若的半径为．求图中阴影部分的面积（结果用含的代数式表示）．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理可得，再根据，易得，即可证明；
（2）连接，设，则，，由勾股定理可得，，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可求得，即可获得答案；
（3）连接，首先证明，结合全等三角形的性质进一步证明为等边三角形，即有；利用勾股定理、等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质依次求得、、、、等的值，然后由即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵为直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如下图，连接，
∵，，
∴，
设，则，，
∴在中，，
∴在中，，
∵为直径，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
【小问3详解】
如下图，连接，
∵的延长线与的交点恰好为的中点，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，即为等边三角形，，
∵的半径为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、求扇形面积等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88
杯口朝上频率
0.2
0.21
0.22
0.22