贵州省桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试卷

这是一份贵州省桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7．两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．平行B．垂直C．异面D．相交或异面
8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件B．
C．D．事件B与事件C相互不独立
二、多选题
9．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．的最大值为1
10．已知圆C：，直线l：（），下列说法正确的是（ ）
A．无论a取何值，直线l与圆C相交
B．直线l被圆C截得的最短弦长为4
C．若，则圆C关于直线l对称的圆的方程为
D．直线l的方程能表示过点的所有直线的方程
11．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的面积为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为
D．以为直径的圆的方程为
12．对于抛物线，下列描述不正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．准线方程为D．准线方程为
三、填空题
13．已知点，若，，则点坐标为 .更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 14．若角的终边经过点，则 .
15．已知实数，函数，若，则a的值为 .
16．下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）
四、问答题
17．某中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：
（1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将乙同学的成绩的频率分布直方图填充完整；
（2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.
18．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
19．圆的圆心坐标为，且过点
（1）求圆的方程；
（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．
20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
21．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆的方程.
(2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积.
22．在如图所示的多面体中，平面，平面， 为中点，是的中点.
(1)证明：平面
(2)求点到平面的距离.
参考答案：
1．B
【分析】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可.
【详解】直线与轴垂直，直线的斜率不存在，则倾斜角为.
故选：B
3．A
【分析】根据时的范围，及当时，的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又当时，，故排除B.
故选：A.
4．D
【分析】先利用点在抛物线上，得到，再结合条件和抛物线的定义即可得出结果.
【详解】因为点在上，所以，得到，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，，得到,
故选：D.
5．C
【分析】由单调性与奇偶性可直接判断大小关系.
【详解】因为为偶函数，所以.
又当时，单调递增，且，
所以，即.
故选：C.
6．C
【分析】利用两直线的位置关系分类讨论及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】当时，直线和直线平行
且或；
当时，直线和直线不平行；
当时，直线和直线不平行．
所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
故选：C．
7．D
【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.
【详解】因为，
，故直线不垂直，
又，故直线不平行，所以两条直线相交或异面.
故选：D.
8．C
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B、C；根据独立事件的判定判断D.
【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件B的样本点为共18种，
事件C的样本点为共有12种，
事件的样本点为共6种，
所以，B错误；，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故选：C
9．BD
【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误.
故选：BD
10．AC
【分析】由直线l恒过的定点与圆的位置关系判断A；借助圆的性质求出最短弦长判断B；求出原点关于直线l的对称点坐标判断C；举例说明即可判断D.
【详解】对于A，直线l变形为，由，解得，
即直线l恒过定点，显然该定点在圆C内，因此直线l与圆C相交，A正确；
对于B，定点与圆心的距离为，由圆的性质知，当时，直线l被圆C截得的弦长最短为，B错误；
对于C，当时，直线l为，设圆心关于直线对称的点为，
则，解得，即，则圆C关于直线l对称的圆方程为，C正确；
对于D，直线过点，该直线不能被直线的方程表示，D错误.
故选：AC
11．AB
【分析】由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，离心率，由得出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项.
【详解】由双曲线，可得，则，渐近线为.
对于A，因为，所以A正确；
对于B，设，则，
所以，得，
因为点是双曲线上，所以，解得，
所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由于 ，所以以为直径的圆，圆心为，半径为，
所以圆的方程为，所以D错误.
故选：AB.
12．BC
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.
故选：BC.
13．或
【分析】先利用题给条件求得的坐标，进而求得点坐标.
【详解】因为，，则可令，
则，所以，
当时，，则点坐标为；
当时，，则点坐标为.
故答案为：或
14．
【分析】根据三角函数的定义，求得的值，然后相加，求得所求表达式的值.
【详解】根据三角函数的定义得，，所以.
【点睛】本小题主要考查任意角三角函数的概念及运算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．
【分析】讨论的取值，代入解析式即可求解.
【详解】当时，，解得，满足；
当时，，解得，满足；
故答案为：
16．②③
【分析】根据幂函数的性质，可得答案.
【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为；
对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为.
综上符合题意的是②③.
故答案为：②③.
17．（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128.图见解析；（2）乙同学的成绩的平均分比甲同学的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定.
【分析】（1）找到位于数据中间一个或两个数的平均函数即可得中位数；
（2）通过观察频率分布图中数据的分布及分散程度即可得解.．
【详解】（1）甲的成绩的中位数是，乙的成绩的中位数是128.
乙同学的成绩的频率分布直方图如下：
（2）从茎叶图可以看出，乙同学的成绩的平均分比甲同学的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定.
【点睛】本题考查茎叶图的性质、频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题．
18．(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
19．（1）；（2）直线与圆相交；.
【解析】（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆的方程；
（2）由点线距求到直线距离，可知直线与圆相交，进而应用几何法求弦长即可.
【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为．
（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为．
20．(1)
(2)
【分析】(1)根据离心率和焦距就可得到，再根据可求得.
(2)根据题意设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，求出两根之和，两根之积，再表示出三角形的面积，代入两根之和，两根之积，即可求出结果.
【详解】（1）因为椭圆离心率为，焦距，则解得，所以椭圆方程为.
（2）已知椭圆方程，左焦点为，若倾斜角为，则斜率为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：
设点的坐标分别为，则
联立方程组得，，
所以，
所以.
所以的面积为.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
（2）由，得，
∴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
则，令，则，
∴．
，令，则，
∴，
∴．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由条件求得，平面的一个法向量为，由可得线面平行．（2）由条件得到，设与平面所成的角为，则，根据点到平面的距离求解即可．
【详解】（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∵点是线段的中点，
∴点的坐标为，
∴，
又平面，
∴平面的一个法向量为．
∴，
又平面，
∴ 平面．
（2）由已知得点坐标为(1,0,0)，
∴，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，
设与平面所成的角为，
则,
∴点到平面的距离.