江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024高一上学期12月数学调查试卷

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一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再由补集和交集的定义求.
【详解】由，得，得，因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：D.
2. 函数为定义在上的偶函数，则实数等于（ ）
A. B. 1C. 0D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，解得.
故选：C.
3. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；
不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，
所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.
故选：B
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
5. 若角终边经过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解.
【详解】因为角终边经过点，所以，
所以
，
故选：C.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用排除法先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值的符号进行判断.
【详解】从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，
∵，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
又，∴可排除A.
故选：C
7. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分类讨论与，求解范围.
【详解】由的定义域为，
对称轴为,
当时，在单调递减，则，，
而函数的值域为，则，解得，故，
当时，在单调递减，在单调递增，
则，，
，故，解得，
故，
综上所述，的取值范围为，
故选：A
8. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式等价于，结合函数图像得解集.
【详解】函数在上是奇函数，当时，，
根据题意，作出的图象，如图所示.
由得，即，
则或
观察图象得或，
即不等式的解集是.
故选：B.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】借助终边相同的角的定义即可得.
【详解】与终边相同的角为，
对A选项：，故A错误；
对B选项：，故B正确；
对C选项：，故C正确；
对D选项：，故D错误.
故选：BC.
10. 下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案；
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，时显然等式不成立，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABC.
11. 已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（ ）
A. 在上增函数
B. 为偶函数
C 若，则
D. 若则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据对数函数的图象经过点，求出的值，结合对数函数的图象和性质，可判断ABC的真假，再结合基本不等式，判断D的真假.
【详解】因为经过点，所以.故
由对数函数的图象和性质得：AC是正确的，B是错误的.
对D：,
根据基本（均值）不等式得：，由题知等号取不到，所以，即.故D正确.
故选：ACD
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最小值是2D. 的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例排除A，利用基本不等式判断BCD，从而得解.
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
显然取等条件不成立，故的最小值不可能是2，故C错误；
对于D，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.
【详解】由，得，
令，则，
因为，，
所以，因为函数在上单调递增，
所以，所以函数的值域为.
故答案为：
14. 若关于不等式在内有解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为在内有解，即，其中；
设，则当或时，，所以，
解得，所以的取值范围为.
故答案为：
15. 已知函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】计算，根据得到答案.
【详解】，函数定义域为，
则，
.
故答案为：
16. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】 ① 6 ②. 12π﹣9
【解析】
【分析】过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积.
【详解】∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
【点睛】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. （1）设，且，求的最小值；
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解；
【详解】（1），，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（2），，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
20. 已知函数.
（1）证明函数为偶函数；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可；
（2）将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求.
【小问1详解】
的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，
所以为偶函数；
【小问2详解】
因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，恒成立，即，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
21. 某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.
（1）求出和的解析式；
（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1），
（2）当为平方米时，取得最小值，最小值为万元
【解析】
【分析】（1）由时，取得，得到的表达式，再由，求得的表达式.
（2）由（1）中函数的解析式，分类讨论，结合函数的单调性和基本不等式，分别求得的最小值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：根据题意，当时，可得，
当时，，可得，解得，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，为单调递减函数，
所以
当时，，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
综上所述，，此时，
所以当为平方米时，取得最小值，最小值为万元.
22. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）判断函数的单调性；
（2）解不等式：；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递增
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
【小问2详解】
由（1）知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得，
即，解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号来判断单调性.单调性的定义还可以表现为（或），或（或）.