湖南省醴陵市渌江中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份湖南省醴陵市渌江中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时量：120分钟 总分：120分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1. 若反比例函数的图象位于( )
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、四象限D. 第二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限．根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴函数图象过一、三象限．
故选：A．
2. 如果关于的一元二次方程有一个根是2，那么c的值是（ ）
A. B. －4C. 2D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程，即可求出c．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是2，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的定义是解题关键．
3. 已知，则的值为( )
A. B. C. 2D.
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【分析】本题考查比例的性质，分式的约分等知识，设，求出a、b、c，再代入中约分即可得解，运用“设k法”求解是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∴，
故选：B．
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若csA=，则sinA值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵，
∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，
所以．
故选D．
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式特点可直接写出顶点坐标．
【详解】解∶ 抛物线的顶点坐标是．
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6. 某校举行健美操比赛，甲、乙两个班各选名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是米，其方差分别是，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 同样整齐D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：，，
，
参赛学生身高比较整齐的班级是甲班，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好
7. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的长度．
【详解】，，
．
在中，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
8. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，随增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析是解题关键．
【详解】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意；
C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故选：D．
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
二．填空题(共6小题，每小题3分，共计18分)
11. 已知，则的值为_____．
【答案】####
【解析】
【分析】直接利用已知将原式变形得出，之间的关系进而得出答案．
【详解】解：，
，
则，
．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
12. 二次函数的最大值是______．
【答案】1
【解析】
分析】把二次函数配成顶点式即可求解．
【详解】解：由可得：，
∵，
∴该二次函数的最大值为1；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 在中，若、满足，则为________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．
14. 如图所示，已知在梯形ABCD中，，，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式可知：当两三角形高相等时，面积之比等于底边长之比即可得出结果．
【详解】解：设△ABD的边AD上的高为
∵
∴△BCD的边BC上的高为
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查平行线间的距离、三角形面积，理解平行线间的距离得到两三角形高相等时解题的关键．
15. 点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：矩形的面积


同理：矩形，矩形的面积都为，







故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
16. 如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设．由题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题．
【详解】设．由题意可知，
∵，，
∴，同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴或不合题意舍去，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题(共9大题，共计72分)
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）9；（2）
【解析】
【分析】本题考查含锐角三角函数的混合运算和一元二次方程的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先分别运算零指数幂，锐角三角函数值以及负整数指数幂，再加减运算即可；
（2）运用因式分解—公式法求方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
则，
∴．
18. 已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求m值，并求另一根．
（3）若方程两根为，且满足，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）；另一根为1
（3）
【解析】
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可；
（2）把代入，得：，再根据两根之和等于，可得另一根；
（3）根据方程两根为，，则变形，解答即可．
【小问1详解】
解：，，
方程总有两个实数根；
【小问2详解】
把代入，得：，
解得：，
根据两根之和等于，所以，
另一根是1；
【小问3详解】
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．
19. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；
（2）利用相似三角形的性质可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20. 2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”．技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是是元/个．2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到元/个．
（1）求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；
（2）公司电商销售平台以高于成本价的价格购进A型电脑显卡，以元/个销售时，平均每天可销售个，为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利元，试求单价应降低多少元？
【答案】（1）这两年A型电脑显卡成本平均下降10％．
（2）单价应降低10元．
【解析】
【分析】（1）设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，然后根据增长率问题可求解；
（2）设单价应降低m元，则销售量为个，然后根据题意可列出方程进行求解．
【小问1详解】
解：设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：这两年A型电脑显卡成本平均下降10％；
【小问2详解】
解：设单价应降低m元，则销售量为个，由题意知购进A型电脑显卡的成本价为（元），单价每降低1元，每天可多售出10÷5=2（个），
∴，
解得：，
由销售平台为了增加销量可知：，
答：单价应降低10元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
21. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是________；
（2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________；
（3）若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．
【答案】（1）
（2）60，
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（2）利用D组频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
【小问1详解】
解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是；
故答案为：0.4
【小问2详解】
由题意可得，本次调查的样本容量是,
由题意得，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：60，
【小问3详解】
解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
22. 如图，已知第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，//轴，点C的坐标为，且△BOC的面积为2．求：
（1）点B的坐标和反比例函数的解析式；
（2）当A的坐标为时，求a的值及此时的值．
【答案】（1）点B的坐标为，
（2）a=1，
【解析】
【分析】（1）由点C在y轴上，//轴，点C的坐标为，且△BOC的面积为2．可求得点B的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式．
（2）可求得点A的坐标，过点A作于点D，可知AD=3，DC=1，根据解直角三角形即可得出结果．
【小问1详解】
∵由，轴，，
又∵△BOC的面积为2，
∴，
∴BC=4，
∴点B的坐标为，
设反比例函数的解析式为，
把代入得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
把代入得：a=1，
过点A作于点D，如图所示：
∴AD=3，DC=1
在Rt△ADC中，
∴
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识，能求出点A，B的坐标是解此题的关键．
23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上D处为陈树湘雕拍照，相机支架高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
【答案】1.5
【解析】
【分析】如图，，，四边形，四边形是矩形，四边形是矩形，中，，，，中，，，所以，进一步求得，所以．
【详解】如图，米，米
四边形，四边形是矩形，四边形是矩形
∴米，
∵中，，
∴米，
∴米
∵中，，
∴
∴米
∴米
∴米
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
24. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25. 如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交于点N．
①求点M和点N的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，请直接写出点Q的坐标；
③是否存在点P，使四边形为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①，，②，③不存在，理由见解析
（2）存在，或．
【解析】
【分析】（1）①函数的对称轴为：，故点，将代入直线解析式可得的坐标，从而得解；
②设抛物与x轴左侧的交点为，则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解
③四边形为菱形，首先，即，解得：或(舍去)，故点，而，即可求解；
（2）分为直角、为直角两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：①函数的对称轴为：，故点，
当时，，故点；
②设抛物线与轴左侧的交点为，则点与关于抛物线的对称轴对称，
连接并延长交抛物线的对称轴于点，则点为所求，

将、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，当时，，故点；
③不存在，理由：
设点，则点，

，
四边形为菱形，首先，
即，解得：或(舍去)，
故点，而，
故不存在点，使四边形为菱形；
【小问2详解】
当点的横坐标为1时，则其坐标为：，此时点、的坐标分别为：、
，
①当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似，

则，，则，
，，
则，故点；
②当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似，
则轴，则点、关于抛物线的对称轴对称，故点，
综上，点的坐标为：或，
设抛物线的表达式是，将点A、B、D的坐标分别代入抛物线的表达式可得：
，
解得 ，
所以得，
或者有 ，
解得 ，
所以得：，
所以存在，抛物线的解析式为：或为所求．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、三角形相似等知识点，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．组别
时间
频数
5
20
15
8