江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. 0B. 3C. 0和3D. 0和
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的因式分解法，准确计算．
【详解】解：，
∴或，
解得：，，
故选：C．
2. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】B
【解析】
【分析】能组成比例线段是指或，由此即可求解．
【详解】解：根据能成比例线段的定义得，
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意；
选项，或，能组成比例线段，符合题意；
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意；
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查组成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义，即两条线段的比值相等则组成比例线段是解题的关键．
3. 二次函数的图象的顶点坐标为（ ）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的顶点为是解题的关键．
由题意知，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴图象的顶点坐标为，
故选：A．
4. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
5. 如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据平行线分线段成比例定理得到或，然后利用比例性质得到，于是可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直线，
∴，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
6. 如图，二次函数与正比例函数的图象相交于点，，点的横坐标为，点B的横坐标为5．下列结论：①；②；③关于的方程的两根为，；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③B. ①③C. ①②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，得到根据，即可判断①、②结论；根据二次函数图象和一次函数图象的交点的横坐标，即可判断③就结论；利用一元二次方程根与系数的关系求解，即可判断④结论．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
∴①不正确，不符合题意；②正确，符合题意；
二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，的横坐标为，点B的横坐标为5，
的两根分别为，；
∴③正确，符合题意；
，
，
，
又，
∴④错误，不符合题意；
故答案为：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和一次函数图象的交点问题，一元二次方程根和系数的关系等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 已知＝，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的基本性质，由可得，然后代入式子进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质并能灵活运用性质进行分式的化简求值是解题的关键．
8. 若，相似比为，则与的面积的比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质问题，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵相似与的相似比为，
∴与的面积比为．
故答案为：．
9. 已知的半径为，则的圆周角所对的弦长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，通过作辅助线、、构造了等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：连接、、，
，
，
在中，，
是等边三角形，
，
故答案为：．
10. 如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为___．
【答案】．
【解析】
【分析】根据三角形重心的性质即可求解
【详解】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，
∴CG：DG＝2：1，
∴＝＝．
故答案为．
【点睛】考查三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
11. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC=AB=×2=-1，
则AC=2-(-1)=3-，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618”．
12. 已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
13. 根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根．熟练掌握二次函数的图象与性质估算一元二次方程的解是解题的关键．
由表格可知，，由的图象与性质可知，，然后作答即可．
【详解】解：由表格可知，，
由的图象与性质可知，，
∴精确到，的解为，
故答案为：．
14. 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答．
【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴，
∵两个正方形是位似形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
则，
∴，
故，
∴，
即，
则，
此时位似中心为；
如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，
∵两个正方形是位似形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
故，
由于点H在轴的负半轴上，
此时位似中心为；
综上：位似中心为或，
故答案：或．
15. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可．
【详解】如图，连接，
∵与相切于点A，
∴；
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得，
故的长为，
故答案：．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16. 已知二次函数和（是常数）的图象与轴都有两个交点，且这几个交点中相邻两点之间的距离都相等，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
求出四个交点的坐标，分类讨论，再构建方程求解；
【详解】令，则和，
∴或或或，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
当二次函数和（是常数）的图象与轴的四个交点不重合时，
若，则，
∴，
若时，则，
∴．
当二次函数和（是常数）的图象与轴的四个交点有重合时，
若时，则，
若时，则，
∴综上，的值为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法求解二元一次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法计算即可；
（2）利用因式分解即可求解．
【小问1详解】
解：，
即，
，
，；
【小问2详解】
解：，
或，
，．
18. 根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式．
（1）二次函数图象的顶点为，图象经过；
（2）二次函数图象经过、、．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数的表达式为，把点代入可求出值，即可得答案；（2）根据交点坐标设二次函数的表达式为，把点代入可求出值，即可得答案．
【小问1详解】
解：设函数表达式为，其中．
由图象经过，得．
解得．
∴该二次函数表达式为或．
【小问2详解】
解：设函数表达式为，其中．
由图象经过，得．
解得．
∴．
∴所求二次函数表达式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：； ②顶点式，其中为顶点坐标； ③交点式：；熟练掌握并灵活运用以上三种解析式是解答此题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若是方程的一个根，用两种不同方法求的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）方法一：把代入原方程，即可求解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【小问1详解】
解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：方法1：把代入方程得：，
解得：．
法2：设方程另一根为，
∴，
解得，
∴．
20. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理：
（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）利用勾股定理求得，再推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，即．
又点上，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
∵，
∴，
即的半径长为．
21. 某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元．
（1）该网店每星期要想获得元的利润，同时让顾客得到实惠，每件童装降价多少钱？
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）每件童装降价钱
（2）每件售价定为元时，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数与实际问题的综合，理解题目的意义，掌握一元二次方程的解法，运用二次函数的顶点式求最值的方法是解题的关键．
（1）根据题意，设每件降价元，则可多卖件，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可；
（2）设最大利润为，每件利润为元，每星期可卖件，由此列式，根据二次函数的顶点式即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，设每件降价元，则可多卖件，
∴，
整理得，，
∴，
解得，
，，
∵让顾客得到实惠，
∴每件童装降价钱．
【小问2详解】
解：设最大利润为，由（1）可知，每件利润为元，每星期可卖件，
∴，
∴当减价元时，有最大利润，则定价为（元），
∴每件售价定为元时，最大利润为元．
22. 某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）求水柱的最大喷射距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用：
（1）根据顶点坐标，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得x的值，即可求解．
【小问1详解】
解：由题可知，抛物线顶点为
设与之间的表达式为：．
将代入得：．
解得．
∴．
【小问2详解】
解：令，则
．
解得，（不合题意，舍去）
答：水柱的最大喷射距离为．
23. 已知二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）已知该函数的图象在轴上截出的线段长为8，且原点位于该图象的上方，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明．
（2）令，求出的根，根据图象在轴上截出的线段长为8求出k的值，再根据原点位于该图象的上方求出k的取值范围即可．
【小问1详解】
当时，，
∵
∴该方程总有实数根，
∴无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
【小问2详解】
令，，
解得，，
∴该函数图象与轴有两个交点，．
∵该函数图象在轴上截出的线段长为8，
∴，
∴或－5．
∵原点位于该图象的上方，
∴当时，，
即．
∴．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
24. 如图，在中，是边上的动点，连接，作，，得．
（1）求证；
（2）若在边上运动，用尺规作出点的运动轨迹，并简要说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，尺规作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
（1）由可推出，结合即可求解；
（2）作，，设与交于点，则点的运动轨迹为线段．
【小问1详解】
证明：，
，
即．
又，
．
【小问2详解】
如图，作，，设与交于点，则点的运动轨迹为线段．
理由：易证，所以是定值，所以的轨迹在射线上；当点运动到点时，点在射线上，所以点的运动轨迹为线段．
25. 证明“眼球定理”．
如图，，的半径分别为，且，的切线，交于点，；的切线，交于点，．连接，，则总有．

（1）以下结论中所有正确结论的序号是______．
①；
②连接，；
③垂直平分和；
④的长只与，有关，与无关．
（2）在（1）中正确结论的基础上，证明．
【答案】（1）①②③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）设与分别与交于点，，连接，根据证明得，利用三线合一可得，，进而可判断①②③正确；证明可证，从而可判断④错误；
（2）同（1）可证，从而可证．
【小问1详解】
①设与分别与交于点，，连接，
∵是的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，，
同理可证，，
∴，故①②③正确；
②设．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长与，，有关，故④错误．
故答案为：①②③；
【小问2详解】
连接，
同（1）可证．
∴．
【点睛】此题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
26. 已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数的图像经过点，则
①的值为______；
②当时，的取值范围为______．
（2）当时（其中，为实数，），的取值范围为．直接写出，的值或取值范围．
（3）当时，的最小值为，求的值．
【答案】（1）①；②或
（2）；
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，借助函数图像，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）①将点代入函数解析式中，即可求解；②依据题意，令，，分别求出自变量范围即可求解；
（2）依据题意可得抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，从而求出值，进而得到二次函数的解析式，再根据自变量的取值范围是，可求出值，最后根据抛物线的顶点求出的范围；
（3）先把抛物线化为顶点式，由时，的最小值为，可分两种情况讨论：①当时，在处取得最小值；②当时，在顶点处取得最小值，求的最小值即可求解．
【小问1详解】
①二次函数（为常数）经过点，
，
，
故答案为：；
②由①知，
当时，则，
解得：或，
当时，则，
解得：，
，
当时，的取值范围有两部分，
或，
故答案为：或；
【小问2详解】
由题意得的取值只有一段，可知抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，
，
，
，
时，有最小值，
，
当或时，，；
【小问3详解】
，
抛物线的对称轴为，
①当时，在处取得最小值，
即，
解得；

②当时，在顶点处取得最小值，

即，
解得：，
，
，
综上所述，或．
27. 形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．

一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值．
【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解
【解析】
【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可；
（2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可；
（3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证；
（4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可；
【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1，
∴小长方形的宽为，长为1，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得：或（边长不能为负舍去），
∴；
（2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，

四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同；
（4）共有四种情况：
①如下图沿原矩形的长3等分，

小矩形和原矩形的长宽比都为a，
小矩形的长为1，则宽为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的长为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的宽为，
∴∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，
∴右边两矩形的宽和长为，
∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论．…
…
…
…