江苏省扬州市江都区邵樊片暨联谊学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省扬州市江都区邵樊片暨联谊学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 已知的直径为2，在同一平面内，若点与圆心的距离为，则点与的位置关是（ ）
A. 点在外B. 点在上C. 点在内D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查点与圆的关系，点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【详解】解：，的半径为1，即，
∴点P与的位置关系是点P在上，
故选：B．
3. 13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A. 方差B. 众数C. 平均数D. 中位数
【答案】D
【解析】更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：D．
【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 将抛物线y=3x2先向右平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线对应的函数表达式是（ ）
A. y=3(x+2)+1B. y=3(x+2)-1C. y=3(x-2)+1D. y=3(x-2)-1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”可得出答案.
【详解】将抛物线y=3x2先向右平移2个单位,再向下平移1个单位后得到: y=3(x-2)-1.
故选D.
【点睛】本题考查函数图像平移，熟记口诀“左加右减，上加下减”是解题的关键.
5. 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝100°，则∠D度数是（ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠AOB=180°，∠AOC=100°，可得出∠BOC的度数，最后根据圆周角∠BDC与圆心角∠BOC所对的弧都是弧BC，即可求出∠BDC的度数.
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOC=100°，
∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=80°；
∵所对圆周角是∠BDC，圆心角是∠BOC，
∴;
故答案选B.
【点睛】本题考查同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在做题时遇到已知圆心角，求圆周角的度数，可以通过计算，得出相应的圆心角的度数，即可得出圆周角的度数.
6. 如图，点A、B、C在上，过点A作的切线交的延长线于点P，，则的长为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出即可．
【详解】解： 连接，
，
，
∵过点A作的切线交的延长线于点P，
，
，
，
故选：D．
7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
∴方程为
故答案为：B．
8. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于P时，最小，然后计算出的最小值即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，
当时，，
解得，则，
∵Q是线段的中点，
为的中位线，
，
当最小时，最小，
连接交圆于P时，最小，
，
的最小值，
∴线段的最小值为．
故选：C．
二．填空题
9. 一组数据6，2，，5的极差为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的概念求解．
【详解】解：数据6，2，，5的极差为：，
故答案为：8．
10. 二次函数的顶点坐标是_______．
【答案】(-1，5)
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为可得解；
【详解】∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，准确分析判断是解题的关键．
11. 已知直角中，，，那么它的内切圆半径为______
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了三角形内切圆的性质，以及勾股定理．利用勾股定理即可求得斜边的长，由的面积等于其周长与其内切圆半径长的积的一半，即可得，则可求得的内切圆半径长．
【详解】解：设的内切圆半径长为，
由勾股定理得：；
，
∴，
解得：，
故的内切圆半径长为2，
故答案为：2．
12. 已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则该圆锥的侧面积为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式：进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
13. 若函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得关于的方程无实根，根据，即可求解．
【详解】令，则，
∵函数的图象与轴没有交点，
∴关于的方程无实根，
∴
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与轴交点问题，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
14. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC＝_________度．
【答案】129
【解析】
【分析】根据三角形内心的定义以及三角形的内角和即可求解．
【详解】∵点O是△ABC内切圆的圆心，
∴OB，OC分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），
又∵∠BAC=78°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-78°=102°，
∴∠OBC+∠OCB=102°÷2=51°，
∴∠BOC=180°-51°=129°，
故答案为：129．
【点睛】本题考查三角形的内心，理解三角形的内心是三条角平分线的交点是解题关键．
15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，由垂径定理可知，，，由可知，，求解的长，根据，计算求解即可得阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴由垂径定理可知，，
∴为等腰三角形底边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，含30°的直角三角形，扇形的面积．解题的关键在于明确．
16. 点在抛物y上，则的大小关系是_______．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象的性质，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据各点与对称轴的距离大小，即可得判断．
【详解】解：在中，
，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，
，
∴，
故答案为：．
17. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CM，先根据抛物线与坐标轴的交点坐标的求解方法求出A、B、D三点坐标，得到对应线段长，在利用勾股定理求出CO的长，就可以得到结果．
【详解】解：如图，连接CM，
令，则，
∴，则，
令，则，解得，，
∴，，
∵M是AB中点，
∴，
∴，
∴，
在，，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数和圆，解题的关键是掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求解方法，以及圆的基本性质．
18. 已知函数，则成立的x值恰好有两个，则k的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，首先在平面直角坐标系内作出函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的x值恰好有2个的k值．
【详解】解：画函数的图象：
根据图象知道当或时，对应成立的x有恰好有2个，
或．
故答案为：或．
三、解答题
19. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
解得；
【小问2详解】
解：
或
解得．
20. 某校同学组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）已知乙队的平均成绩是9分，请计算乙队的方差；
（3）已知甲队成绩的方差是分2，则成绩较为整齐的是 队．
【答案】20. ；10；
21. ；
22. 乙队
【解析】
【分析】此题主要考查了众数、中位数的定义以及方差．
（1）利用中位数的定义以及众数的定义分别求出即可；
（2）利用方差公式得出即可；
（3）利用方差的意义进而得出即可．
【小问1详解】
解：把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（分），
则中位数是分；
乙队成绩中10出现了次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：，10；
【小问2详解】
解：乙队的平均成绩是9分，
则方差是：；
【小问3详解】
解：∵，即乙队方差小于甲队方差，
∴乙队成绩较为整齐．
21. 小亮和父母计划寒假期间从A：扬州瘦西湖、B：淮安方特乐园、C：常州恐龙园、D：连云港花果山，这4个景点中随机选择景点游玩
（1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：扬州瘦西湖的概率为_______；
（2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法(画树状图或列表)求选中A、C两个景点的概率
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A、C两个景点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵共有4个风景名胜区，分别是A：扬州瘦西湖、B：淮安方特乐园、C：常州恐龙园、D：连云港花果山，
∴选中A：扬州瘦西湖的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用表格列出所有可能的结果：
共有12种等可能的结果，其中选择A、C两个景点的有2种，
选中A、C两个景点的概率是．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为．

（1）在图中作出的外接圆，并画出圆心P(利用格点图确定圆心P的位置)；
（2）圆心坐标为 _____；外接圆半径为_____；
（3）若在轴的正半轴上有一点，且，则点的坐标为 _____．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形外接圆与外心，垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角．
（1）作出的两边的垂直平分线，的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；
（2）根据（1）得出圆心的位置，进而得出圆心坐标，利用勾股定理即可求出圆的半径；
（3）D就是（1）中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，
取格点E，格点F，连接并延长，画过点E且轴的网格线，交于点P，点P为所求；
【小问2详解】
解：由（1）中得：圆心坐标为；
外接圆半径；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：如图，点D为所求；
，根据圆周角定理知圆与x轴的另一交点即为D，
设D点坐标为，则，
解得：，
，
，
故答案为：．
23. 已知：关于的方程
（1）求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）已知求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）由根的判别式可得答案；
（2）由，根据，计算可得．
【小问1详解】
证明：在中，
，
，
方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：，，
，即，
解得：．
24. 表格中是二次函数的函数值y与自变量x的对应值．
（1）写出该抛物线的对称轴 ．
（2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”）
（3）已知该抛物线与x轴的一个交点坐标是，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
（4）若点是该抛物线上一点，请写出这个点在其图象上的对称点坐标 ．
【答案】（1）直线；
（2）；；
（3）；
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数图象具有对称性，图象上的点关于对称轴对称，离对称轴距离相等的点纵坐标相等．
（1），根据对称轴的性质即可得出对称轴；
（2）根据表格自变量与函数值的变化情况即可判断抛物线开口方向，结合（1）可知b的正负；
（3）根据抛物线具有对称性，与x轴的一个交点也关于对称轴对称即可得到与x轴的另一个交点坐标；
（4）根据抛物线上的点具有对称性，关于抛物线对称轴对称的点，纵坐标相同，关于对称性即可求解．
【详解】解：（1）根据对称轴性质：距对称轴距离相等的两个点纵坐标相同，选取与两点，可得．
故答案为：直线．
（2）根据表格可知，随着自变量的增大函数值先减小后增大，
∴抛物线开口向上，
∴；
又∵根据（1）得，
对称轴，
．
故答案为：，．
（3）∵抛物线具有对称性，
∴抛物线上的点关于对称轴对称，
又∵与x轴的一个交点关于直线对称，
设与x轴的另一个交点坐标为，
∴由对称轴，得，
∴与x轴的另一个交点坐标为．
故答案为：．
（4）∵抛物线上的点具有对称性，设点关于对称轴对称的点为，
∴，
得，
∴ 点关于对称轴对称的点坐标为．
故答案为：．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是的中点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF，垂足为点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AC=8，求DC的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)CD=4.8．
【解析】
【分析】(1)连接OC，根据等弧所对的圆周角定理得到∠FAC=∠BAC，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
(2)连接BC，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质求出AD，根据勾股定理计算即可．
【详解】(1)如图1，连接OC，
∵C是的中点，
∴，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
(2)如图2，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB，又∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
解得，AD==6.4，
在Rt△ADC中，CD==4.8．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
26. 阅读理解：
图1 图2 图3
（1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ；
思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数；
（2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数；
思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程．
（3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由A、B、C、D共圆，得出；
（3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解．
【详解】解：（1）如图，
，
∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案为：；
（2）如图2，取的中点O，连接，
，
∴点共圆，
，
，
；
（3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，
，
，
在中，，
，
，
，O为圆心，
，
．
在中，，，
，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
27. 某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出相应自变量x的取值范围；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，直接写出销售单价x的取值范围________________．
【答案】（1）
（2）当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用．
（1）设，分两种情况用待定系数法可得答案；
（2）设销售利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出w最大值，即可得到答案；
（3）结合（2）可得，即可解得x的范围．
【小问1详解】
解：设
当时，把代入得：，
解得，
；
当时，把代入得：，
解得，
，
综上，；
【小问2详解】
解：设销售利润为w元，
当时，，
∴当时，w最大为1000元；
当时，，
∵x为整数，
或时，w取最大值（元）；
综上所述，当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元；
【小问3详解】
解：由（2）知，当时，该商品每天的销售利润最大为1000元；
∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
，
解得：，
∴销售单价x的取值范围是，
故答案为：．
28. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点B的坐标为，连接，作直线交抛物线于点C ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）如图2，若点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，以点D为圆心，以个单位长度为半径作，当与直线相切时，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，即可求解；
（2）求出直线的解析式为，由可得直线的解析式为，联立，即可得点C的坐标；
（3）过点作于点E，过点D作于点F，设点，则，由题意得，可得关于m的绝对值方程，解方程求出m的值，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于点，顶点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，可得，
，
；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，（舍去），
，
∴；
【小问3详解】
解：过点作于点E，过点D作于点F，
∵直线的解析式为，
，
，
，
，
，
由题意得，当与直线相切时，等于的半径，
∴，
设点，则，
，
或，
解得或，
∵点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，
或，
∴点D坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，切线的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合等腰直角三角形的性质解题是关键．甲
乙
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C
x
…
0
3
5
6
…
y
…
27
7
0
7
16
…