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题型05 最值问题之费马点-备战2024年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题（全国通用）
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这是一份题型05 最值问题之费马点-备战2024年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题（全国通用），文件包含题型05最值问题之费马点原卷版docx、题型05最值问题之费马点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Tuluse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：
如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，
于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，
∴当A'，P'，P，C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为A'C的长度，
∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，
∴△P'BP为等边三角形，
则当A'，P'，P，C四点在同一直线上时，
∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，
∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，
∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点；
说明：
1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3、费马点到三角形三个顶点距离之和最小.
4、费马点最小值快速求解：存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
针对训练
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
2．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（ ）
A．3+2B．4+3C．2+2D．10
【答案】B
【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，
∴AM＝MM’，
∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3，
∴MA+MD+ME的最小值为4+3．
3.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝1，BC＝ QUOTE ,点 O为 Rt△ABC 内一点，连接 AO，BO，CO.若∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则 OA＋OB＋OC的值为（ ）.
A.4 B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【答案】D
【详解】易知本题为费马点模型.如图，以点 B为旋转中心，将△AOB 绕点B顺时针旋 转 60°，得 到 △A´O´B，连 接 OO´，CA´,AA´.
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°, ∴点 O为△ABC的费马点，
此时 OA+OB+OC的值即A´O´+O´O+ OC=CA′最小.
∵∠ACB=90°,AC=1,BC= QUOTE , ∴AB= QUOTE =2,
∴∠ABC=30°,A´B=2.∵∠ABA´=60°,
∴∠A´BC=∠ABC＋∠ABA´=30º＋60°＝ 90°,
在 Rt△A´BC中，A´C= QUOTE ＝ QUOTE ，
∴(OA+OB+OC)min＝A´O´+00´+OC= A´C= QUOTE .
故选 D.
二、填空题
4．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【详解】分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【答案】
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值为．
故答案为：．
7．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【答案】
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．
故答案为．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝___________．
【答案】
【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，
∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，
∴∠MAC=90°，
∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．
故答案为．
9．问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
三、解答题
10．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【答案】+
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=2，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB==CQ，NQ=，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+
12．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是△ABC内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
【答案】(1)①3；②150°；(2)
【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°，
则，，
∴为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP与中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋转，∴；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，
在中，，
，
，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，
则，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，
∴的最小值为．
13．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，即，
∴，即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
【答案】
【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，，
过点P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
15．如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【答案】
【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值为．
16．如图，在平面直角坐标系xy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
【答案】(1) (2) ；或 （3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为
【详解】（1）过E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E为BD中点，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴点E的坐标为(，1)
∵抛物线经过、两点，
∴.可得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，
∴点的坐标为.
过E作EG⊥x轴于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
过点作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等边三角形,
∴．
∴．
∴,或
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（，1），则H（，0）；
∴AH=；
由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值为．
当取得最小值时，线段的长为
17．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在Rt△ABC中，，，，点P为△ABC的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过△ABC的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
18．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．
（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA+PB+PC．
（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．
【答案】(1) 2；；(2)见详解；(3) S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．
【详解】（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，
∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴＝
∴PB2＝PA•PC＝12，
∴PB＝2；
（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC＝120°．连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE．
∠BPC＝120°，
∴∠EPC＝60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．
∵△ACB'为正三角形，
∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，
∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，
∴∠PCA＝∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，
∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．
（3）如下图，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；
证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，
∵∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，
∴∠ACB＝∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA＝FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠BAM＝60°+∠BAM
∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝60°+∠BAM
∴∠BAC＝∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM＝CA，
再连接AM、DM、EM（辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB＝ME，∠ABC＝∠MEC，
又∵DB＝AB，
∴DB＝ME，
∵∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，
∠BME＝∠BCE+∠MEC＝60°+∠MEC，
∴∠DBC＝∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC＝S△BEM+S△EMC+S△ACF，
即S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．
19．探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+ ；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
【答案】(2) ①见详解；②P′D、AD；(3) 5km．
【详解】（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB＝PA•BC
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，
∴PB+PC＝PA，
②P′D、AD，
（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为最短距离．
∵△BCD为等边三角形，BC＝4，
∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4，
∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，∵AB＝3，BD＝4，
∴AD＝＝＝5（km），
∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．
20．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点．
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是BD上的类费马点
①E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF＝ ．
②E为BC上一动点，F为CD上一动点，且∠ABC＝60°，则PE+PF＝ ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，连接AC，点P是△ABC的费马点，（即PA，PB，PC之和最小），①当∠ABC＝60°时，BP＝ ．
②当∠ABC＝30°时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时PA+PB+PC的值．
【答案】(1) ①4；②2；(2) ①；②24．
【详解】（1）①取AB的中点E'，连接PE'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝CD，∠ABP＝∠CBP，
∵点E，E'分别是AB，BC的中点，
∴BE＝BE'，
在△BEP和△BE'P中，
，
∴△BEP≌△BE'P（SAS），
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF，
∴当E'、P、F三点共线时，PE+PF最小值为E'F的长，
∵AE'＝DF，AE'∥DF，
∴四边形AE'FD是平行四边形，
∴E'F＝AB＝4，
∴PE+PF＝4，
故答案为：4；
②由①知PE+PF＝E'F，若E、F为动点，则E'F的最小值为AB与CD之间的距离，
∴过点C作CH⊥AB于H，
在Rt△BCH中，
sin∠CBH＝，
∴CH＝2，
∵点P是BD上的类费马点
∴PE+PF的最小值为2；
故答案为：2；
（2）①如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，
∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，
∴当P、P'在线段AC'上时，PA+PB+PC最小值为AC'的长，
∴连接AC'，AC'与BD的交点为P点，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝120°，
∴∠BAP＝∠ABP＝30°，AC'＝4，
∴AP＝BP，
同理BP'＝CP'，
∴BP＝AC'＝；
故答案为：；
②如图3，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，
∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∠CBC'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，
∴当P、P'在线段AC'上时，PA+PB+PC最小值为AC'的长，
且线段AC'在△ABC内部的线段即为费马点P，
∵∠ABC'＝90°，AB＝BC'＝4，
∴AC'＝，
∴此时PA+PB+PC的最小值为4．
费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Tuluse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：
如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，
于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，
∴当A'，P'，P，C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为A'C的长度，
∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，
∴△P'BP为等边三角形，
则当A'，P'，P，C四点在同一直线上时，
∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，
∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，
∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点；
说明：
1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3、费马点到三角形三个顶点距离之和最小.
4、费马点最小值快速求解：存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
针对训练
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
2．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（ ）
A．3+2B．4+3C．2+2D．10
【答案】B
【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，
∴AM＝MM’，
∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3，
∴MA+MD+ME的最小值为4+3．
3.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝1，BC＝ QUOTE ,点 O为 Rt△ABC 内一点，连接 AO，BO，CO.若∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则 OA＋OB＋OC的值为（ ）.
A.4 B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【答案】D
【详解】易知本题为费马点模型.如图，以点 B为旋转中心，将△AOB 绕点B顺时针旋 转 60°，得 到 △A´O´B，连 接 OO´，CA´,AA´.
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°, ∴点 O为△ABC的费马点，
此时 OA+OB+OC的值即A´O´+O´O+ OC=CA′最小.
∵∠ACB=90°,AC=1,BC= QUOTE , ∴AB= QUOTE =2,
∴∠ABC=30°,A´B=2.∵∠ABA´=60°,
∴∠A´BC=∠ABC＋∠ABA´=30º＋60°＝ 90°,
在 Rt△A´BC中，A´C= QUOTE ＝ QUOTE ，
∴(OA+OB+OC)min＝A´O´+00´+OC= A´C= QUOTE .
故选 D.
二、填空题
4．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【详解】分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【答案】
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值为．
故答案为：．
7．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【答案】
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．
故答案为．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝___________．
【答案】
【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，
∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，
∴∠MAC=90°，
∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．
故答案为．
9．问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
三、解答题
10．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【答案】+
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=2，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB==CQ，NQ=，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+
12．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是△ABC内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
【答案】(1)①3；②150°；(2)
【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°，
则，，
∴为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP与中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋转，∴；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，
在中，，
，
，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，
则，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，
∴的最小值为．
13．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，即，
∴，即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
【答案】
【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，，
过点P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
15．如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【答案】
【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值为．
16．如图，在平面直角坐标系xy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
【答案】(1) (2) ；或 （3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为
【详解】（1）过E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E为BD中点，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴点E的坐标为(，1)
∵抛物线经过、两点，
∴.可得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，
∴点的坐标为.
过E作EG⊥x轴于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
过点作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等边三角形,
∴．
∴．
∴,或
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（，1），则H（，0）；
∴AH=；
由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值为．
当取得最小值时，线段的长为
17．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在Rt△ABC中，，，，点P为△ABC的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过△ABC的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
18．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．
（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA+PB+PC．
（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．
【答案】(1) 2；；(2)见详解；(3) S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．
【详解】（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，
∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴＝
∴PB2＝PA•PC＝12，
∴PB＝2；
（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC＝120°．连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE．
∠BPC＝120°，
∴∠EPC＝60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．
∵△ACB'为正三角形，
∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，
∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，
∴∠PCA＝∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，
∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．
（3）如下图，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；
证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，
∵∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，
∴∠ACB＝∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA＝FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠BAM＝60°+∠BAM
∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝60°+∠BAM
∴∠BAC＝∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM＝CA，
再连接AM、DM、EM（辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB＝ME，∠ABC＝∠MEC，
又∵DB＝AB，
∴DB＝ME，
∵∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，
∠BME＝∠BCE+∠MEC＝60°+∠MEC，
∴∠DBC＝∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC＝S△BEM+S△EMC+S△ACF，
即S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．
19．探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+ ；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
【答案】(2) ①见详解；②P′D、AD；(3) 5km．
【详解】（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB＝PA•BC
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，
∴PB+PC＝PA，
②P′D、AD，
（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为最短距离．
∵△BCD为等边三角形，BC＝4，
∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4，
∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，∵AB＝3，BD＝4，
∴AD＝＝＝5（km），
∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．
20．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点．
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是BD上的类费马点
①E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF＝ ．
②E为BC上一动点，F为CD上一动点，且∠ABC＝60°，则PE+PF＝ ．
（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，连接AC，点P是△ABC的费马点，（即PA，PB，PC之和最小），①当∠ABC＝60°时，BP＝ ．
②当∠ABC＝30°时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时PA+PB+PC的值．
【答案】(1) ①4；②2；(2) ①；②24．
【详解】（1）①取AB的中点E'，连接PE'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝CD，∠ABP＝∠CBP，
∵点E，E'分别是AB，BC的中点，
∴BE＝BE'，
在△BEP和△BE'P中，
，
∴△BEP≌△BE'P（SAS），
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF，
∴当E'、P、F三点共线时，PE+PF最小值为E'F的长，
∵AE'＝DF，AE'∥DF，
∴四边形AE'FD是平行四边形，
∴E'F＝AB＝4，
∴PE+PF＝4，
故答案为：4；
②由①知PE+PF＝E'F，若E、F为动点，则E'F的最小值为AB与CD之间的距离，
∴过点C作CH⊥AB于H，
在Rt△BCH中，
sin∠CBH＝，
∴CH＝2，
∵点P是BD上的类费马点
∴PE+PF的最小值为2；
故答案为：2；
（2）①如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，
∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，
∴当P、P'在线段AC'上时，PA+PB+PC最小值为AC'的长，
∴连接AC'，AC'与BD的交点为P点，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝120°，
∴∠BAP＝∠ABP＝30°，AC'＝4，
∴AP＝BP，
同理BP'＝CP'，
∴BP＝AC'＝；
故答案为：；
②如图3，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，
∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∠CBC'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，
∴当P、P'在线段AC'上时，PA+PB+PC最小值为AC'的长，
且线段AC'在△ABC内部的线段即为费马点P，
∵∠ABC'＝90°，AB＝BC'＝4，
∴AC'＝，
∴此时PA+PB+PC的最小值为4．
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