专题09 平行线的性质与判定一（补充证明过程）-2023-2024学年七年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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证明：∵（ ），
∴___________（ ）
∴___________（ ）
∴（已知），
∴（ ）
∴，
∴（ ）
2．完成证明并写出推理依据：
已知，如图，，，，于H．
求证：．
证明：∵，，
∴．
∴（ ）．
∴（ ）
∵，
∴．
∴（ ）
∴（ ）
∵，
∴（ ）．
∴ °．
∴．
3．如图，直线与相交于点E，，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴（ ）
∵（已知）
∴_______（ ）
∵（已知）
∴（ ）
即________
∴______（ ）
∴（ ）．
4．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知，，，试证明：．
解：，（已知），
（ ）
____________（ ）
（ ）
又（已知），
_________（ ）
（ ）
5．如图，．
求证：．（请把下面证明过程补充完整）
证明：（已知）
又（ ）
（ ）
（ ）
_____（ ）
（已知）
（等量代换）
∴_____（__________________）
（____________）
6．将下列证明过程及依据补充完整．
如图，在中，平分交于点D，E，F分别为，上的点，且，，求证：平分
证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（ ）
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（ ）
（ ）
∴_____=______（等量代换），
∴平分（ ）
7．阅读并完成下面的证明过程：
已知：如图，，，、分别平分和，求证：．
证明：∵、分别平分和．
∴
________（角平分线定义）
又∵，
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________________（ ）
∴（ ）
∴，
又∵，
∴（ ）
∴，
∴，
∴（ ）
8．如图，ABDG，，，将求的过程填写完整．
解：∵ABDG（已知）
∴（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
∴EFAD（ ）
∴ （ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴ °．
9．完成下面推理填空：
如图，E，F分别在和上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，
∴（垂直的定义），
∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ），
∵（平角的定义），
∴．
∵与互余（已知），
∴（互余的定义），
∴（ ），
∴（内错角相等，两直线平行）．
10．如图，，试说明．
证明：∵（已知），
∴ °（ ），
∴ （ ），
∵（已知），
∴ ，
∴ （ ），
∴（ ）．
11．填空，将本题补充完整．
如图，已知EFAD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EFAD（已知）
∴∠2＝ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝ （等量代换）
∴ABGD（ ）
∴∠BAC+ ＝180°（ ）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝ °
12．填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
（1）∠1＝∠2吗？请说明理由
（2）BE与CF的位置关系如何？为什么？
（本题第（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式：第（2）小题要写出解题过程）
解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AB∥CD（ ），
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1＝∠ （角平分线的定义），
∠2＝∠ （角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（ ）．
（2）BE∥CF，理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（ ），
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠EBC＝∠ABC（ ），
∠FCB＝∠BCD（ ），
∴∠ECB＝∠FCB（ ），
∴BE∥CF（ ）
13．请将下列题目的证明过程补充完整：
已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DEAB交AC于点E，且∠BFG＝∠ADE．求证：FG⊥BC．
证明：∵AD⊥BC（_____________），
∴∠ADB＝_____________（垂直的定义）．
∵DEAB（已知），
∴∠BAD＝∠ADE（________ _____），
∵∠BFG＝∠ADE（已知），
∴∠BAD＝∠BFG（____ _________），
∴ADFG（___ __________），
∴_____________＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴FG⊥BC（垂直的定义）．
14．如图，∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，那么∠A=∠3吗？说明理由．
解：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC= =90°
∴DEAB（ ）
∴∠1=∠A（ ）
∠2=∠3（ ）
∵∠1＝∠2（ ）
∴∠A=∠3（ ）
15．如图所示，已知，平分，与相交于点，，试说明：，完成推理过程：
解：∵（已知），
∴（________________________）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴______________（等量代换）．
∴（____________ ____）．
16．阅读下列文字，并完成证明：
己知：如图，∠1=∠4，∠2=∠3，求证：ABCD．
证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2=∠3，
∴BE （ ），
∴∠1= （ ）．
又∵∠1=∠4，
∴∠4= （ ），
∴ABCD（ ）．
17．完成推理，并在括号内注明依据
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A=∠3，求证：EF平分∠BED，
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD（已知）
∴∠ACB=90°，∠EFB=90°（ ）
∴∠ACB=∠EFB
∴EFAC（ ）
∴∠A=∠1（ ），
∠2=∠3（ ）
又∵∠A=∠3（已知）
∴∠1=∠2（ ）
∴EF平分∠BED（ ）
18．推理填空：完成下面的证明过程.
如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC
证明：∵∠1+∠2=180°（ ）
∠2=∠3（_______________________________）
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______（_____________________________）
∴∠B=______（________________________________）
∵∠B=∠DEF（已知）
∴∠DEF=_______ （__________ _____________）
∴DE∥BC（ ）
19．如图，点在直线上，已知，平分，平分．请说明．给出了如下不完整的解答过程，请将解答过程补充完整，并在括号内填上推理的根据．
解：∵（已知），
∴（ ），
∴（ ）．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴______，
∴（等量代换），
∴______（ ）．
20．阅读下面的推理过程，在括号或成横线上填写结论或理由，如图，，平分，平分．求证：．
证明：∵ABGH（已知），
∴∠1=∠3（______________________），
又∵CDGH（已知），
∴_____=______（两直线平行，内错角相等）．
∵ABCD（已知），
∴∠BEF+_______=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1=________（角平分线定义），
又∵FG平分∠EFD（已知），
∴∠2=∠EFD（____________________），
∴∠1+∠2=（_________+∠EFD），
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°（_____________），即∠EGF=90°．
21．如图，已知：，．求证：．
证明：∵（已知），
∴____________（________________________）．
∴（_____________________________）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴____________（__________________________）．
∴（______________________________）．
22．如图，已知，，，试判定 与 的位置关系，并说明理由．
解：．
理由：∵（已知）
∴
∵（已知）
∴______ （同位角相等，两直线平行）
∴______（ ）
∵（已知）
∴______ （等量代换）
∴DEBF（ ）
∴（ ）
∴（垂直的定义）
(1)请补全上面说理过程；
(2)若，求出的度数，并说明理由；
(3)直接写出和的关系______．
23．如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
( )，
所以( )．
因为平分，
所以( )．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______( )．
24．已知：如图，DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
证明：∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），
∴∠DGH=∠EHF=90°（ ）．
∴DBEC（ ）．
∴∠C= （ ）．
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D= （ ）．
∴DFAC（ ）．
∴∠A=∠F（ ）．
25．完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ）
∴∠1＝∠AGB．
∴（ ）
∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）．
又∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝______．
∴______（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠D（ ）．
26．将下列推理过程补充完整.
已知：如图， A = 120°，∠ABC = 60°， ∠DFE =∠C ，
求证： ∠ADG =∠DGF
证明：∵ ∠A = 120°，∠ABC=60°
∴ ∠A=∠ABC=180°
∴_______ _______ （ ）
又∵ ∠DFE=∠C （已知）
∴ ______________ （ ）
∴ _______ _______（平行于同一直线的两直线平行）
∴ ∠ADG =∠DGF （ ）
27．完成下列证明：
如图，已知：平分，，，
求证：平分．
证明：平分已知，
(角平分线的定义)，
(已知)，
______ ，
( )，
(已知)，
______( )，
( )，
______等量代换，
平分( )．
28．阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，，，DF交BC于点F，AE平分∠BAC．
求证：DF平分∠BDE，
证明：∵AE平分∠BAC（已知）．
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．
∵（已知）．
∴∠1＝∠3（ ）．
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∵（已知），
∴∠2＝∠5（ ）．
∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
∴∠4＝∠5（ ）．
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
29．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（ ）
∠2＝∠DGF（ ）
∴∠1＝∠DGF（ ）
∴BD （ ）
∴∠3+∠ ＝180°（ ）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴AC （ ）
∴∠A＝∠F（ ）
30．填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
如图，已知，，，求证：．
证明：∵，
∴（ ）．
∵_________，
∴_________，
∵，
∴，
又∵______，
∴______，
∴______（ ）．
∴．（ ）．
31．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若，，试说明，请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
证明：∵ （已知），（ ），
∴______（等量代换）．
∴（ ）．
∴______（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴______．
∴______（ ）．
∴（ ）．
32．已知：如图，，，求证：，请将证明过程填写完整（填写理由或数学式）
证明：（已知）
∴ （ ）
（ ）
又
（等量代换）
∴ABDE（ ）
（ ）
33．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么，请完成它成立的理由．
∵∠1＝∠2
且∠2＝∠3，∠1＝∠4（ ）
∴∠3＝∠4（ ）
∴____________（ ）
∴∠C＝∠ABD（ ）
∵∠C＝∠D（ ）
∴∠D＝∠ABD
∴（ ）．
34．如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）
解：因为（已知）（ ）．
所以______．
所以FGBD（ ）．
所以______（ ）．
因为平分．
所以______（ ）．
所以______．
35．如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．请填空．
证明：∵（已知）
∴（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
又∵ （平角的定义）
∴（ ）°
又∵（已知）
∴（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
36．如图，在三角形ABC中，D为AB上一点，DE⊥BC交BC于点E，过点A作AF⊥BC交BC于点F，过点E作GEAC交AB于点G，交AF的延长线于点H．证明：∠DEG=∠CAF．
请根据题意补全图形，并补全证明的过程．
证明：∵DE⊥BC，AF⊥BC（已知），
∴∠DEC=90°，∠AFC=90°（ ），
∴∠DEC=∠AFC（等量代换）．
∴DEAF（ ）．
∴∠DEG=∠___________（两直线平行，同位角相等）．
∵GEAC（已知），
∴∠CAF=∠H（ ），
∴∠DEG=∠CAF（ ）．
37．完成下面推理过程．
已知：AB//CD，分别交、于、，平分，平分．
探究：与是否平行．
解：∵AB//CD（已知）
（ ）
平分，平分（ ）
______，
______（ ）
____________
∴EG//FH（ ）
38．已知：如图，△ABC中，AC⊥BC，若D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于点G，∠1＝∠2，求证：EFCD．将下列推理过程补充完整：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知）
∴∠DGC＝∠ABC＝90°（ ）
∴DGAC，（ ）
∴∠2＝ ，（ ）
∵∠1＝∠2
∴∠1＝ ，（ ）
∴EFCD （ ）
39．如图，已知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝25°，求∠ADC．以下是某位同学的解答过程，请在横线上填空，将解答过程补充完整．
解：分别过A，D作BC的平行线AE，DF，
∵，（已作）
∴（ ）
∴∠B+∠BAE＝180°（ ）
∠EAD+∠ADF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠C＝∠CDF（ ）
∵∠B＝60°，∠BAD＝45°，∠BAE＝∠BAD+∠EAD（已知）
∴∠EAD＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝ （等式的性质）
∵∠EAD+∠ADF＝180°（已证）
∴∠ADF＝180°﹣∠EAD＝105°（等式的性质）
∵∠C＝25°，∠ADC＝∠ADF+ （已知）
∠C＝∠CDF（已证）
∴∠ADC＝∠ADF+∠C＝130°（等量代换）