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专题11 压轴题（平行线的性质与判定提升题）-2023-2024学年七年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）
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这是一份专题11 压轴题（平行线的性质与判定提升题）-2023-2024学年七年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版），文件包含专题11压轴题平行线的性质与判定提升题原卷版docx、专题11压轴题平行线的性质与判定提升题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
(1)如图 1，∠ABC 的角平分线交 AC 于 D， 交 AB 于 E，
①请在图 1 中依题意补全图形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．
(2)如图 2，AF 是∠GAC 的角平分线，．判断△ABC 是不是等角三角形，并说明理由．
(3)如图 3，BM，CM 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线， 使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．
2．已知BCOA，∠B＝∠OAC＝104°，试回答下列问题：
(1)如图（1），求证：OBAC．
(2)如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．
(3)在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB：∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
3．如图，直线，直线和直线分别交于C，D两点，点A，B分别在直线上，点P在直线上，连结．
(1)如图①若点P在线段上，，则的大小为__________度；
(2)如图①若点P在线段上（不与点C，D重合），直接写出之间的数量关系；
(3)如图②若点P在线段的延长线上或在其反向延长线上，写出之间的数量关系；画出图形，并说明理由．
4．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
5．如图1，已知直线平行直线，点为直线上一点，点为直线上一点，且，点是直线上一动点，且点在点右侧，过点作交直线于点，连接．
(1)若平分，请直接写出的度数；
(2)作，交直线于点，平分．（说明：解答过程用数字表示角）
①如图2，若点，都在点的右侧，求的度数．
②在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．
6．如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数．
7．问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
8．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；
(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．
9．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：ABCD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．
(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．
10．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GMGN，求∠AMG+∠CNG的度数；
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？
11．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
(1)则∠P=______，∠E=______．
(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．
(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．
12．已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
13．阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
14．探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
15．如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
16．（1）如图①，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EFAB．
∴∠A＝∠1（ ）
∵ABCD（已知）
EFAB（辅助线作法）
∴CDEF（ ）
∴∠2＝∠DCE（ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（ ）
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）如图③，延长线段AE的延长线交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为 ．（请直接写出答案）
17．【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；
【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．
18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DEBC．
∵DEBC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能．
方法运用：
如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）
解决问题：
如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度．
【拓展发现】
①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______；
②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______．
19．已知：如图，，GH过点P．
(1)如图1，若，，则______（直接写出结果）；
(2)如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若，，求∠EPQ的度数；
(3)如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．
20．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．
21．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
22．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
23．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
24．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
25．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： ．
(1)如图 1，∠ABC 的角平分线交 AC 于 D， 交 AB 于 E，
①请在图 1 中依题意补全图形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．
(2)如图 2，AF 是∠GAC 的角平分线，．判断△ABC 是不是等角三角形，并说明理由．
(3)如图 3，BM，CM 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线， 使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．
2．已知BCOA，∠B＝∠OAC＝104°，试回答下列问题：
(1)如图（1），求证：OBAC．
(2)如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．
(3)在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB：∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
3．如图，直线，直线和直线分别交于C，D两点，点A，B分别在直线上，点P在直线上，连结．
(1)如图①若点P在线段上，，则的大小为__________度；
(2)如图①若点P在线段上（不与点C，D重合），直接写出之间的数量关系；
(3)如图②若点P在线段的延长线上或在其反向延长线上，写出之间的数量关系；画出图形，并说明理由．
4．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
5．如图1，已知直线平行直线，点为直线上一点，点为直线上一点，且，点是直线上一动点，且点在点右侧，过点作交直线于点，连接．
(1)若平分，请直接写出的度数；
(2)作，交直线于点，平分．（说明：解答过程用数字表示角）
①如图2，若点，都在点的右侧，求的度数．
②在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．
6．如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数．
7．问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
8．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；
(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．
9．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：ABCD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．
(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．
10．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GMGN，求∠AMG+∠CNG的度数；
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？
11．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
(1)则∠P=______，∠E=______．
(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．
(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．
12．已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
13．阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
14．探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
15．如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
16．（1）如图①，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EFAB．
∴∠A＝∠1（ ）
∵ABCD（已知）
EFAB（辅助线作法）
∴CDEF（ ）
∴∠2＝∠DCE（ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（ ）
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）如图③，延长线段AE的延长线交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为 ．（请直接写出答案）
17．【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；
【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．
18．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DEBC．
∵DEBC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能．
方法运用：
如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）
解决问题：
如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度．
【拓展发现】
①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______；
②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：______．
19．已知：如图，，GH过点P．
(1)如图1，若，，则______（直接写出结果）；
(2)如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若，，求∠EPQ的度数；
(3)如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．
20．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．
21．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
22．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
23．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
24．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
25．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： ．
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