湖北省黄冈市武穴实验高中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份湖北省黄冈市武穴实验高中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知集合A={x|−2⩽x<8}，集合B=xx−1<3，则A∩B=( )
A. x−2⩽x<3B. x−2⩽x<8C. x1⩽x<3D. {x|1⩽x<8}
2. 已知α为第二象限角，则 α2 所在的象限是( )
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第二或第四象限 D. 第一或第三象限
3. 已知x>1，则x2+3x−1的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 已知fx2−1的定义域为1，3，则f2x−1的定义域为( )
A. (12,92)B. [12,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]
5. 函数f (x)= ​x32|x|−4的图像大致为( )
A. B. C. D.
6. 设函数fx=lgx2+1，则使得f2x−1>fx+1成立的x的取值范围为( )
A. 0，2B. 2+∞C. −∞,2D. −∞,0∪2，+∞​
7. 函数fx=lgx，x>0−x2−2x+1，x<0，若fa=fb=fc=fd，且a,b,c,d互不相等，则abcd的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,0]C. (0,1)D. (0,1)
8. 已知函数f(x)=​ex−e−x2+ln(1+x2+x)，若不等式f(2x−4x)+f(m∙2x−2)<0∀x∈R恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,22+1) B. (−22+1,+∞) C. (−22+1,22−1) D. (−∞,22−1)
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 某同学求函数fx=lnx+2x−6.5的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程lnx+2x−6.5=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A. 2.72B. 2.69C. 2.61D. 2.55
10. 以下说法正确的有( )
A. 实数是成立的充要条件
B. ab⩽(a+b2)2对a,b∈R恒成立
C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1⩾0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0”
D. 若，则的最小值是8
11. 已知函数f(x)=lg2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是(1+52,+∞)
B. 若函数f(x)的值域为[−1,+∞)，则实数m=2
C. 若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是(0,+∞)
D. 若m=0,则不等式f(x)<1的解集为{x|x<32}​
12. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，函数f(x+1)为偶函数，且当x∈[1,3]时。
f(x)=−x2+2x，则( )
A. f(x)的图象关于点(2，0)成中心对称 B. 对任意整数k，f(2k)=0
C. f(x)的值域为[−3,1] D. 3f(x)−x+2=0的实数根个数为7
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 函数y=ln4−x2+x的单调减区间是__________.
14. 已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x+13y 的最小值是__________.
15. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间。在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlg3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6，T=60。据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为__________天。(结果保留一位小数.参考数据：ln2≈0.30,ln3≈0.48)
16. 已知定义在R上的函数f(x)满足fx+f−x=x2,∀x1,x2∈[0,+∞)均有fx1−fx2​x1−x2> x1+x22x1≠x2,则不等式f(x)−f(1−x)>x−12的解集为__________.
四、解答题（每小题12分，共6小题70分）
17. 解关于x的不等式：
（1）；
（2）已知，求的值
18. 设全集U=R，集合A={x|a−3(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若命题“∃x∈A，使得x∈∁RB”是真命题，求a的取值范围．
19. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x⩽0时，f(x)=lg2(1−x).
(1)求f(7)−f(1)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(2a−1)20. 北京2022冬奥会已于2月4日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨。因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧。对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内(以30天计)的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价P(x)(元/套)与时间x(被调查的一个月内的第x天)的函数关系近似满足P(x)=2000+kx+1(常数k>0)，冰墩墩的日销量Q(x)(套)与时间x的部分数据如表所示：
已知第24天该商品日销售收入为32400元,现有以下三种函数模型供选择:
①Q(x)=tax+b，②Q(x)=p(x−16)2+q，③Q(x)=mx+1+n
(1)选出你认为最合适的一种函数模型,来描述销售量与时间的关系,并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(1⩽x⩽30，x∈N+)在哪天达到最低。
21. 已知二次函数f(x)=ax2−4x−1.
(1)当a取何值时，不等式f(x)<0对一切实数x都成立:
(2)若f(x)在区间(−1，1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围.
22．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为 的一个“和谐区间” .
(1)先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）
(2)若是定义在上的奇函数，当时，.求的“和谐区间”.
参 考 答 案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9.A,B 10.B,C,D 11.A,B 12.B,C,D
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.1,4 14.4 15.19.5 16.(12,+∞)
四、解答题（每小题12分，共6小题72分）
17.（1）等价于
当时，不等式的解集为，
当时，不等式等价于，不等式的解集为
当时，不等式等价于，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，6分
（2）【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得 10分
18、(1)(3,4] (2)−2，+∞
【解析】(1)lg2x−1⩽2，得05，解得：3(2)由条件可知，A∩∁RB≠∅，∁RB={xx⩽1或x>5}， 所以a−3<1a−3<2a−1​或2a−1>5​a−3<2a−1，解得：a>−2， 所以a的取值范围是−2,+∞ 12分
19.【解析】(1)因为f(x)是偶函数,所以f(7)−f(1)=f(−7)−f(−1)=lg28−lg22=2;3分
(2)设x>0,则−x<0,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x>0时,
f(x)=f(−x)=lg2(1+x),所以f(x)=lg2(1−x),x⩽0lg2(1+x),x>0(也可表示为f(x)=lg2(1+|x|)). 7分
(3)由f2a−1⩽fa及f(x)是偶函数得f(|2a−1|) 由f(x)=lg2(1−x),x⩽0lg2(1+x),x>0得,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以由f(|2a−1|)即a的取值范围是(13,1). 12分
20.(1)模型③最合适,理由如下:
对于模型①Q(x)=tax+b,为指数型函数模型,表格中Q(x)对应的数据递增的速度较慢,故模型 ①不合适;
对于模型②Q(x)=p(x−16)2+q,为二次函数模型,其图象关于直线x=16对称,有Q(8)=​Q(24),与表中数据不符,故模型②不合适;
对于模型③Q(x)=mx+1+n,幂函数型增长模型满足表格中Q(x)对应数据较慢的递增速度,将表中数据(3,12),(8,13)代入模型③,
有Q(3)=m3+1+n=12,Q(8)=m8+1+n=13,⇒2m+n=12,3m+n=13, 解得m=1n=10，∴Q(x)=x+1+10,
经验证Q(15)=15+1+10=14,Q(24)=24+1+10=15均满足表中数据,
因此,使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适. 5分
(2)∵第24天冰墩墩的日销售单价P(24)=P(x)=2000+k24+1=2000+k5(元/套),∴第24天的日销售收入为P(24)×Q(24)=(2000+k5)×15=32400(元),
∴k=800,∴P(x)=2000+800x+1,
由(1)所选模型③,当1⩽x⩽30且x∈N+时,
f(x)=P(x)Q(x)=(2000+800x+1)(x+1+10)=20800+2000x+1+​8000x+1⩾20800+22000x+1∙8000x+1​=20800+2×4000=28800(元)
当且仅当2000x+1=8000x+1,即x=3时,等号成立,
∴在第3天时,该商品的日销售收入f(x)达到最低28800元. 12分
21. 【解析】(1)f(x)为二次函数,则a≠0,
当a>0时,二次函数开口向上,不等式f(x)<0不对一切实数x都成立,不满足题意;
当a<0时,则有Δ=16+4a<0,解得a<−4.
故当a∈(−∞,−4)时,不等式f(x)<0对一切实数x都成立;
(2)(i)当f(x)仅有一个零点时,由Δ=16+4a=0⇒a=−4,此时零点为x=−−42a=−12,符合题意; 5分
(ii)当f(x)有两个零点时,Δ=16+4a>0⇒a>−​4
①当f(1)=0⇒a=5,则由f(x)=5x2−4x−1=0解得另一个零点为x=−15,符合题意;
②当f(−1)=0⇒a=−3,则由f(x)=−3x2−4x−1=0解得另一个零点为x=−13,符合题意;
③当f(−1)f(1)≠0,由零点存在定理,则有f(1)f(−1)=(a−5)(a+3)<0,解得a∈(−3,0)∪(0,5).
综上,f(x)在区间(−1,1)内恰有一个零点时,实数a的取值范围为{−4}∪[−3,0)∪(0,5].12分
22．解：（1）函数的定义域为，且函数为奇函数，
当时，函数为减函数，任意的，则，
所以当时，函数没有“和谐区间”，同理当时，函数没有“和谐区间”，
所以“函数没有“和谐区间””是正确的，函数在上递减，
则在定义域内任取区间，则，
由是函数的“和谐区间”，得，解得，
所以函数的“和谐区间”为； 5分
（2）解：因为当时，，所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以.，
所以当时，，设，因为在上单调递减，
所以，，所以，，
所以，是方程的两个不相等的正数根，
即，是方程的两个不相等的正数根， 所以，，
所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是，所以的“和谐区间”是和. 12分f2≈−1.807
f3≈0.599
f2.5≈−0.584
f2.75≈0.012
f2.625≈−0.285
f2.6875≈−0.136