专题02 配方法的应用-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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一、单选题
1．若（x，y是实数），则M的值一定是( )
A．0B．负数C．正数D．整数
【答案】C
【详解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14
＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1
＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1
∵，，，
∴（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0，故C正确．
故选：C．
2．若为任意实数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．100D．
【答案】C
【详解】解：



，
∵，
∴，
∴，
的最大值为．
故选：C．
3．已知关于x的多项式的最小值为8，则m的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【详解】解：原式，
当x-=0，即x=时，原式取得最小值9-=8，
整理得：，
解得：m=±2，
则m的值可能为2，
故选：B．
4．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8B．5＜c＜8C．8＜c＜13D．5＜c＜13
【答案】C
【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
5．已知，，下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式，则；
②B－A的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n=±3，故结论正确；
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
而（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，
得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得
当时，
当时，
故结论错误；
④∵（2022-A+A-2019）2
=（2022-2019）2
=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）
=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2
=9，
∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；
故选B．
6．设为实数，则x、y、z 中至少有一个值（ ）
A．大于B．等于C．不大于D．小于
【答案】A
【详解】解：x+y+z＝
＝，
∵≥0，≥0，≥0，＞0，
∴x+y+z＞0，
∴x、y、z中至少有一个大于0．
故选：A．
7．已知P＝，Q＝（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．无法判断
【答案】C
【详解】解：∵P＝，Q＝，
∴Q﹣P＝＝＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1＞0，
则P＜Q，
故选：C．
8．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
9．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
10．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】解：∵为负整数，
为负整数，

故①的结论正确；
∵，
又，
∴，且有最小值2，
∴有最大值3，
∴，
∴②的结论正确；
∵，
∴m＝x＋2，n−6＝−（x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4−x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2−mn
＝36−（−x2＋2x＋8）
＝x2−2x＋28
＝(x−1)2＋27，
∵(x−1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
二、填空题
11．已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系：S＝﹣5x2+10x+14，将这个解析式配方，得S=_______________，则x＝______时，S有最大值，最大值是 ____________．
【答案】 1 19
【详解】解：配方得：S＝﹣5x2+10x+14＝﹣5（x﹣1）2+19，
∴当x＝1时，S最大＝19，
故答案为：﹣5（x﹣1）2+19，1，19．
12．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），
若x取任何实数，A的值都不是负数，
∴（3）≥0，
解得：；
故答案为：．
13．当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为_____．
【答案】 -1 1
【详解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，
∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1．
故答案为：﹣1，1．
14．已知实数满足x2＋3x﹣y﹣3＝0，则x＋y的最小值是______．
【答案】-7
【详解】∵x2＋3x﹣y﹣3＝0
∴
∴
∵
∴
∴x+y的最小值为-7
故答案为：-7
15．若，则的最小值是__________．
【答案】
【详解】由，得
∴
∴的最小值是−1
故答案为：−1
16．对于二次三项式，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．
【答案】-9
【详解】解：
=
=，
∵，
∴，即当时，二次三项式的最小值为-6，
∴，
∴，
故答案为：-9．
17．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是________．
【答案】15
【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
18．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．
【答案】<
【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2<0，
∴A﹣B<0，
∴A故答案为：<．
19．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
20．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_________．
【答案】2或3
【详解】解：∵a−b＝2，
∴a＝b＋2，
∴
＝0，
∴，
∵b≥0，−2≤c＜1，
∴，
∴，
∴，
∴3＜≤12，
∵a是整数，
∴b是整数，
∴b＝0或1，
∴a＝2或3，
故答案为：2或3．
三、解答题
21．阅读材料：若，求x、y的值．解：∵，
∴．
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数．
(2)已知a、b满足．求 a、b 的值．
【答案】(1)说明见解析；(2)，
【详解】（1）
解：
∵，，
∴，
∴不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数．
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
22．已知，求的值．
【答案】
【详解】解：将等式整理配方，得，
则，，，
，，，
．
23．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①，
∵，
∴．
因此，代数式有最小值﹣2；
②，
∵，
∴．
因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为______；
(2)求代数式的最大值．
【答案】(1)﹣3；(2)当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3
【详解】（1）
解：﹣4x+1＝＝，
∵，
∴，
∴当x＝2时，这个代数式﹣4x+1的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）
＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3
＝﹣﹣+3，
∵≥0，≥0，
∴﹣，﹣，
∴＝﹣﹣+3，
∴当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3．
24．（1）若，求m、n的值．
解：因为，所以
由此，可求出______；______；
根据上面的观察，探究下面问题：
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）4，4；（2）；（3）3．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4，4；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
（3）∵a−b＝4，
∴a＝b＋4，
∴将a＝b＋4代入，得，
∴，
∴，
∴b＋2＝0，c−3＝0，
解得b＝−2，c＝3，
∴a＝b＋4＝−2＋4＝2，
∴a＋b＋c＝2−2＋3＝3．
25．阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；(2)大，16；(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为
【详解】（1）
解：，
故答案为：；
（2）
解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）
解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为50，
∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ．
26．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即无论x取何实数，有最小值，是．
(1)问题：已知，试求y的最值．
(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，
探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）
(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）
【答案】(1)11；(2)18；(3)
【详解】（1）
解：
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，即y有最大值，是11；
（2）
探究一：∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ PNBC，
∴ ∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，
∴△APN∽△ABC，
∴，
设PN＝x，
∴，
∴，
由已知可得四边形EDMN是矩形，
∴，
∴，
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，
∴矩形PQMN的最大面积的值为18；
（3）
探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，
∴，
设PN＝x，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，
∴矩形PQMN的最大面积的值为．
27．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2•x•3+﹣+5＝﹣4
∵≥0
∴当x＝﹣3时，+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+5x﹣1＝+b，则ab的值是_______．
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式2+kx+7的最小值为2，求k的值．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【详解】（1）
解：



解得a=，b=-，
∴ab=-．
（2）

∵，
∴，
∴代数式的值都是正数；
（3）

∵，
∴代数式有最小值为．
∵代数式的最小值为2，
∴．
解得：k=．
28．阅读材料：
若a，b都是非负实数，则，当且仅当时，“=”成立．
证明：∵，∴．
∴．当且仅当时，“=”成立．
举例应用：已知，求函数的最小值．
解：．当且仅当，即时，“=”成立．
∴当时，函数取得最小值，．
问题解决：
(1)已知，求函数的最小值；
(2)求代数式的最小值．
【答案】(1)3；(2)4
【详解】（1）
∵，
当且仅当x=3时，“=”成立，
∴y≥3，
∴当x=3时，函数取得最小值，y最小=3；
（2）
原式=
=
，
当且仅当m=1时，“=”成立，
∴当m=1时，原代数式得最小值为4．
29．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）当时，有最大值
【详解】（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
30．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．
解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)；(2) ，；3；(3)13
【详解】
=

=
=
（2）
2x2+y2－8x+6y+20
=
=
当 ， 时，多项式有最小值为3
（3）
a2+b2＝8a+6b－25，
变形为 ，
整理得，

根据两边之和大于第三边的判定，
又因为c是正整数，所以
所以△ABC周长的最大值=