专题10 阅读理解、探究拓展-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1），
故答案为：；
（2）解：
；
（3），
，
∴，即．
∴．
∴
．
2．阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)应用：
①若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC与AB的比值是 ．
②如图，学校元旦晚会的舞台AB的长为20米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 米．
(2)理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；
(3)运用：如图（2），已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，，，BD为的平分线．求证：点D是AC的黄金分割点．
【答案】(1)①；②（）；(2)见解析；(3)见解析
【详解】（1）①解：根据黄金分割点的概念得：AC：AB＝．
故本题答案为：．
②解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（米），
故答案为：（）．
（2）解：图形如图1所示：
（3）证明：∵，，
∴，
又∵BD平分，
∴
∴
∴
即
又∵
∴
∴，
∴，
∴D点是AC的黄金分割点．
3．阅读以下材料，并解决相应问题：
在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角中，的对边分别是．如图1，过点作于点，则根据定义得，于是，也就是，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
(1)在锐角△ABC中，若，， ，求．
(2)仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．
【答案】(1)；(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意得：，
∵，， ，
∴，即，
解得：；
（2）解：证明如下：
过点B作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
证明如下：
过点C作于点F，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知x=，求代数式的值．
【答案】(1)-6；(2)
【详解】（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
变形整理得：，
．
5．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ． ．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、满足，，且，求
①；
②的值．
【答案】(1)；(2)；(3)①；②
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：．
（2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）∵实数s、t满足，，且，
∴可以看作方程的两个根，
∴，，
①
=
=
=；
②
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为：．
6．阅读材料：
①对于任意实数a和b，都有，∴，得到，当且仅当时，等号成立．
②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式.即：如果a≥0，则．如：等．
例：①用配方法求代数式的最小值．
②已知，求证：.
①解：由题意得：，
∵，且当时，，
∴，
∴当时，代数式的最小值为：；
②证明：∵，∴
∴，当且仅当，即时，等号成立．
请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）.设垂直于墙的一边长为x米.
(1)若所用的篱笆长为36米，那么：
①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？
②设花圃的面积为S米，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；
(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)①垂直于墙的一边长为6米或12米；②最大面积是162；
(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米
【详解】（1）解：①由题意得，
化简后得，
解得，，
答：垂直于墙的一边长为6米或12米；
②由题意得
，
∵，
∴当时，S取得最大值是162，
∴当垂直于墙的一边长为9米时，S取得最大值，最大面积是162；
（2）设所需的篱笆长为L米，由题意得，
，
∴若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米．
7．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和ab看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m是正整数，，且，求m
(3)已知，求的值．
【答案】(1)；(2)2；(3)9
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴或
∵m是正整数
∴；
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
8．数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
如图①，在平行四边形中，点是边的中点，点是线段上一点，的延长线交于点．若，求的值．

【尝试探究】
在图①中，过点作交于点，则的值为＿＿＿＿，的值为＿＿，的值为＿＿＿＿．
【类比延伸】
如图②，在原题的条件下，若，则的值为＿＿＿＿（用含的代数式表示）．
【拓展迁移】
如图③，若点在线段的延长线上，的延长线交的延长线于点，，则的值为＿＿＿＿（用含的代数式表示）．
【答案】（1）5，2，；（2）；（3）
【详解】解：（1）如图①，过点作交于点，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图②，过点作交于点，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
又∵点是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
故答案为：；
（3）如图③，过点作交于点，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
又∵点是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
9．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，
整理得，，∴，∵，∴．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x，y满足，求的值．
(2)解方程：．
(3)已知a，b，c是的三边（c为斜边），周长为15，且a，b满足，试求的面积．
【答案】(1)；(2)或；(3)
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则原方程变为，
∴，
∴或，
当时，则，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解；
当时，则，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解；
∴原方程的解为或；
（3）解：设，则原方程变为，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵a，b，c是的三边（c为斜边），
∴，
∴，
∵周长为15，
∴，
∴，
∴．
10．阅读下列材料，完成相应的学习任务：
已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．
(1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程
【答案】(1)见解析；(2)有，见解析
【详解】（1）
证明：如图②，过C作，交BA的延长线于E，
则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE，
∵，
∴＝，
∴＝；
（2）
解：有其他的证明方法，理由如下：
过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥AB，过点D作DG⊥AC，
∵AD是∠BAC的角平分线， DF⊥AB，过点D作DG⊥AC，
∴DF=DG，
∵， ， ，
∴，，
∴ ．
11．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
【答案】(1)1；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为、，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
12．如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．
（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．
【答案】（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.
【详解】（1），理由如下：
由直角三角板和正方形的性质得
在和中，
；
（2）成立，证明如下：
如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形
由正方形对角线的性质得，为的角平分线
则
在和中，
；
（3）如图，过点分别作，垂足分别为
同（2）可知，
由长方形性质得：
，即
在和中，
.
13．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下

＝
＝

=
(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简．
(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：



=
=．
（2）解：∵
∴，
∵
∴，，．
14．【操作发现】
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，此时∠ABB′等于多少度；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP’，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；
【思维拓展】
如图4，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），请直接写出BD的长（用含k的式子表示）．
【答案】【操作发现】（1）∠AB′B＝45°；【问题解决】（2）PB＝5；【学以致用】（3）S△APC＝7；【思维拓展】BD＝．
【详解】解：（1）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，如图1所示：
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP'，连接PP′，如图2所示：
则△APP′是等边三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，
∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，
∴∠PP′B＝90°，
∴PB＝；
（3）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如图3所示：
则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；
(4)∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，如图4所示：
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，BE＝CE＝1，
∴BC＝2，DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝，
∴BD＝CG＝．
15．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
类比应用：
(1)化简：__________；
(2)化简：
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽．
(3)黄金矩形ABCD的长____________；
(4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论：
(5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)见解析；(5)
【详解】（1）
化简：．
故答案为：．
（2）
解：原式＝
（3）
∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽，
黄金矩形ABCD的长BC为：．
故答案为：．
（4）
矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可知：
，
FD=EC=AD-AF，
，
所以矩形DCEF是黄金矩形；
（5）
如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，，
，
在△AED中，
，
，
，
解得，
以点D到线段AE的距离为，
故答案为：．
16．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，；(2)或；(3)15
【详解】（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
17．某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
(1)【应用结论】已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ．
(2)【应用结论】对于函数y＝（x＞4），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
(3)【拓展应用】疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积，问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
【答案】(1)1，2；(2)当x=5时，最小值是6；(3)当长=6米，宽为4米时，钢丝网长度最短，最短长度是72米
【详解】（1）
解：∵已知函数与函数，
∴＝，
∵x＞0，
∴≥2，
即≥2，当且仅当x＝即x2＝1，只取x＝1时，等号成立；
∴≥2，
∴当x＝1时，取得最小值为2．
故答案为：1，2
（2）
解：∵x＞4，
∴x－4＞0，
∵ ，
∴2，
∴y＝＝≥6，
此时，
解得，，
经检验，是分式方程的根，
∵x＞4，
∴x＝5，
∴当x＝5时，函数y＝（x＞4）的值最小，最小值是6．
（3）
解：设每间隔离房与墙平行的边为m米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为w米，
由题意得：w＝6m+9×＝+6m，
即：w＝+6m，
∴+6m≥2，
∵2＝2×36＝72，
∴w＝+6m≥72，当且仅当＝6 m时，等号成立，
即6m2＝216，
解得m＝6或﹣6（不合题意，舍去），
∴m＝6，
此时＝4，
∴每间隔离房的长、宽各为6米和4米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是72米．
18．阅读下面材料，回答下列问题：
构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．
材料：已知，求代数式的值；
分析：这道题如果将代数式化简，再直接将代入求值比较困难，观察的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现是方程的根，所以，，所以原式．
(1)以2，为根的方程可以是_________；
(2)已知，请用材料中的方法求代数式的值；
(3)求代数式的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）以2，为根的方程可以是：
故答案为：
（2）∵，
∴是方程的根，
∴，
∴
；
（3）设，
∴，
∵，
∴x是方程的根，
∴，
∴
．
19．阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【详解】解：（1）（答案不唯一）；
（2）；
故答案为：
证明：
=
故答案为：
（3）①；
，
，
，
．
②
则
20．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
(1)当___________时，代数式有最小值，最小值为 ___________．
(2)当x取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
(4)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1，；(2)时，4；(3)，，16；(4)，见解析．
【详解】（1）解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
故答案为：1；
（2）解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是4．
（3）解：
因为，，所以，
因此，当，时，即，时，代数式有最小值，最小值是16．
（4）解：，，
∴，
∵，
∴，即．
21．（1）观察探究：
①；
②；
③．
（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）
①，②；
（3）拓展应用：
①化简：；
②计算的值．
【答案】（2）①，②；（3）①，②．
【详解】（2）①；
②；
（3）①；
②原式=．
22．请阅读下列材料：
我们可以通过配方，利用平方的非负性来求出代数式的最值．
例如：①请求出代数式的最值．
，且，
∴当时，代数式有最小值．
②请求出代数式的最值．
，且．
∴当时，代数式有最大值2．
请根据上述方法，解决下列问题：
(1)当x= ，代数式有最 （填“大”，“小”）值为
(2)代数式有最小值2，求k的值．
(3)应用拓展：如图，现在有长度24m的围栏，要利用一面墙（墙的最大可用长度为15m）来围成菜园，的长度不大于墙的长度，要围成中间有一道围栏的矩形菜园，请问菜园的长和宽分别为多少时，菜园有最大面积？
【答案】(1)，小，；(2)k=；（3）
【详解】（1）解：∵，且
∴当时，代数式：有最小值：；
故答案为：，小，；
（2）∵，且，
∴当时，代数式有最小值：，
∴，
解得：k=；
（3）解：设，则：，
∵，
∴，
解得：；
由题意得：，
当时，代数式有最大值：72，
∴当时，菜园面积最大．
23．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)若可配方成（m、n为常数），则________；
探究问题：
(3)已知，则____________；
(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
(5)已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)时，S为“完美数”，理由见解析；(5)6
【详解】（1）解：∵
∴10是“完美数”
故答案为．
（2）解：∵
∴
∴
故答案为．
（3）解：

∴
∴．
故答案为．
（4）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵
∴．
（5）解：∵，
∴，即，
∴
．
当时，最大，最大值为6．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题；
例题：求代数式的最小值．
解：，
，，∴代数式的最小值为4．
(1)求代数式的最小值
(2)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为的矩形已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)2；(2)，．
【详解】（1）解：，
，
，
代数式的最小值为2；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为，
则，
由题意得，
解得，
∴自变量x的取值范围是，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
25．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
26．【问题情境】
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．
[变式探究]
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
[结论运用]
如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；
[迁移拓展]
图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
【答案】小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH的值为4；[迁移拓展]（6+2）dm
【详解】小军的证明：
连接AP，如图②
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD+PE．
小俊的证明：
过点P作PG⊥CF，如图2，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°，
∴四边形PDFG为矩形，
∴DP＝FG，∠DPG＝90°，
∴∠CGP＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PGC＝∠CEP，
∵∠BDP＝∠DPG＝90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠GPC＝∠ECP，
在△PGC和△CEP中
，
∴△PGC≌△CEP，
∴CG＝PE，
∴CF＝CG+FG＝PE+PD；
[变式探究]
小军的证明思路：连接AP，如图③，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
小俊的证明思路：
过点C，作CG⊥DP，如图③，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°，
∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠CGP＝∠CEP，
∵CG⊥DP，AB⊥DP，
∴∠CGP＝∠BDP＝90°，
∴CG∥AB，
∴∠GCP＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠PCE，
∴∠GCP＝∠ECP，
在△CGP和△CEP中，
，
∴△CGP≌△CEP，
∴PG＝PE，
∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．
[结论运用]
如图④
过点E作EQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，
∴DF＝5，
∵∠C＝90°，
∴DC＝＝4，
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，
∴PG+PH＝4．
∴PG+PH的值为4．
[迁移拓展]
延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，
∵AD×CE＝DE×BC，
∴，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A＝∠CBE，
∴FA＝FB，
由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，
设DH＝x，
∴AH＝AD+DH＝3+x，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA＝90°，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，
∵AB＝2，AD＝3，BD＝，
∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，
∴BH＝6，
∴ED+EC＝6，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，
∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
＝DE+DM+EM+CN+EN+EC
＝DE+AE+BE+EC
＝DE+AB+EC
＝DE+EC+AB
＝6+2，
∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm．