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专题11 一元二次方程的判别式及根与系数关系-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练(华师大版)
展开(1)试说明:无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)若方程的两实数根都为正整数,求k的值.
【答案】(1)见解析;(2)k=-1或-2
【详解】(1)解:当时,原方程为,解得:;
当时,方程是一元二次方程.
∵,
∴方程总有两个实数根;
∴综上所述,无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)解:即
解得:
方程的两实数根都为正整数
或
的值为或
2.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:不论m取何值,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个根分别为,且,若,求m的值.
【答案】(1)见解析;(2)m=5或m=-1
【详解】(1)解:
∴
.
不论取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)的两个根分别为,且,
∴,
∵
∴
即
∴
解得:或
3.设是一元二次方程的两个根,求和的值.
【答案】,
【详解】解:由一元二次方程的根与系数的关系,得.
∴;
.
4.设是一元二次方程的两个根.求:
(1).(2).
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:∵是一元二次方程的两个根,
∴,
∴;
(2)解:∵
又∵,
∴.
5.已知关于x的方程的两实数根,.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两实数根,满足,求k的值.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:∵关于x的方程有实数根,
∴,
解得:,
∴k的取值范围是;
(2)解:∵方程的两实数根,,
∴,
∵,
∴,
∴,解得:.
6.关于x的一元二次方程.
(1)当时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的m,n的值,并求此时方程的根.
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根;(2)时,
【详解】(1)解:由题意得:,
∵,
∴,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴,
若,
则原方程为,
因式分解得:,
∴.
7.已知关于x的一元二次方程.
(1)当时,求该一元二次方程的根;
(2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2)且
【详解】(1)解:当时,原方程为,
∴,
即,
解得:;
(2)解:∵该一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴且,
解得:且.
8.已知关于的一元二次方程,其中,,为的三边长.
(1)如果是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【答案】(1)△ABC是等腰三角形,理由见解析;(2) △ABC是直角三角形,理由见解析;
(3),
【详解】(1)△ABC是等腰三角形.
理由如下:
将代入原方程,得,
即.
.
是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形,
理由如下:
方程有两个相等的实数根,
.
.
∴△ABC 是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形,
,且,,都不等于零.
原方程可化为.
解得,.
这个一元二次方程的根为,.
9.已知关于的方程.
(1)求证:无论为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个根为,满足,求的值.
【答案】(1)见解析; (2),
【详解】(1)方法一:
证明:整理原方程,得.
,
∴无论为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
方法二:
证明:解方程.
解得:.
,
∴无论为何值,该方程总有两个不相等的实数根
(2)解:由根与系数的关系得.
.
解得:.
10.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根满足,求k的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
【详解】(1)证明:由题意得
,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:由题意得,
又∵,
∴,
∴,
∴,
解得或.
11.已知关于的方程有两个实数根.
(1)求的取值范围.
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:由题意得:,,,
∴,
解得;
(2)由题意得:,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
,
整理得,
解得(舍去),,
.
12.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)方程的两个实数根满足,求实数m的值.
【答案】(1)见解析; (2)或
【详解】(1)证明:
∵
∴
所以,该方程总有两个实数根;
(2)解:由题意得
∴
∴
解得或.
13.已知:关于x的方程.
(1)求证:无论取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰△ABC的一边长,另两边长,恰好是这个方程的两个根,求的周长.
【答案】(1)见解析;(2)5
【详解】(1)∵在方程中,
有:,
∴无论k取何值,方程总有两个实数根;
(2)根据,恰好是方程的两个根,
即可知方程有两个相等的根,
即有:,
解得:,
则原方程为,
解得:,
∴△ABC的周长为:.
14.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为,且,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)
【详解】(1)解:在关于x的一元二次方程中,,
,
,
,
该方程总有两个不相等的实数根;
(2)方程的两个实数根,,
由根与系数关系可知,,,
,
∴,
即,
解得.
15.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:无论取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知5是关于的方程的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,求的周长.
【答案】(1)见解析; (2)
【详解】(1)证明:∵,,,
∴,
∴不论k取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:把代入方程得,
解得;
方程为,
解得,,
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长,,,5不能构成三角形,
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5,
所以△ABC的周长为.
16.已知关于x的方程.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为整数,求m的值.
【答案】(1)证明见详解;(2)-1或1.
【详解】(1)解:根据题意,可知:,
,
无论m取何值,恒成立,
无论m取何值,恒成立,
无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:方程的两个不相等的实数根
,
均为整数,
或,
或,
或,
的值为或1.
17.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)当为正整数时,求方程的根.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:根据题意,得
=.
解得.
(2)解:∵为正整数且,
∴.
∴方程可化为,
解得.
18.已知关于x的方程.
(1)求证:不论k取何值,方程必有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根为,求k的值及方程另一个根.
【答案】(1)证明见解析;(2)k的值为2,方程的另一个根为0.
【详解】(1)证明:,
,
,即,
论k取何值,方程必有两个不相等的实数根;
(2)解:将代入原方程可得:,
解得:,
关于x的方程为:,
,
方程另一个根为,
答:k的值为2,方程的另一个根为0.
19.已知关于x的一元二次方程.
(1)若,求此方程的解;
(2)若该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围.
【答案】(1),;(2)
【详解】(1)把代入得:
,
,
∴,.
(2)∵方程有两个不相等的实数根,
∴,
∴,
∴.
20.关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两根分别为,且,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)
【详解】(1)因为中,,,,
所以
,
∵,
所以,
∴方程总有两个实数根.
(2)∵方程的两根分别为,
∴,
∵,
∴,
∴.
21.已知关于x的一元二次方程 .
(1)试证明:无论k取何值,此方程总有两个不同的实数根;
(2)若其两根x1,x2满足,求k的值.
【答案】(1)见解析;(2)或
【详解】(1)证明:
无论k取何值,此方程总有两个不同的实数根.
(2)解:由得,
,
(
解得,或.
22.已知关于的方程的两个实数根分别是
(1)求的取值范围;
(2)若两个根,满足,求的值.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:∵关于的方程的有两个实数根,
∴,
解得:.
(2)∵关于的方程的有两个实数根,
∴,
∵,
∴,
∴,
解得:,
∵,
∴.
23.已知关于x的方程
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)设方程的两根分别为,(),若,求m的值.
【答案】(1);(2).
【详解】(1)根据题意可得,,
∴;
(2)由根与系数的关系可得,,,
∴,
解得,或,
,
∴,
∴.
24.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:无论m取何值时,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若,是原方程的两根,且,求m的值.
【答案】(1)见解析;(2),
【详解】(1)证明:∵
∴无论m取何值时,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:∵,
∴,
又∵
∴,
解得:,.
25.已知,是关于的一元二次方程的两个实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2)
【详解】(1)解:由题意可得:
解得;
(2)由根与系数的关系可得:,
由可得
即,化简可得:
解得,
又∵
∴
26.阅读材料:有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造闭法:
方法1:利用根的定义构造.例如,如果实数、满足、,且,则可将、看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2:利用韦达定理逆向构造.例如,如果实数、满足、,则可以将、看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题:
(1)已知一元二次方程的两根,,则______,______;
(2)已知实数满足,,求的值.
(3)已知实数满足、,且,求c的最大值.
【答案】(1);;(2)或;(3)
【详解】(1)解:一元二次方程的两根,,
,;
(2)解:当时,
实数、满足,,
、可看作方程的两根,
,,
原式,
当,则原式;
综上所述,原式的值为或2;
(3)解:,,
将、看作是方程的两实数根,
△,,即,
,
,即,
的最大值为1.
27.在等腰三角形中,,,的对边分别是a,b,c,已知,b和c是关于x的方程的两个实数根,求的周长.
【答案】7或
【详解】解:分两种情况计算:
(1)当a为底边时,b和c为腰,即,
b和是关于的方程的两个实数根,
,
解得或,
当时,原方程为,
解得,不符合题意,舍去.
当时,原方程为,
解得,符合题意.
故△ABC的周长是;
(2)当a为腰时,b和c一个为腰一个为底,令,
b和是关于的方程的两个实数根,
将代入,得,
解得,
则原方程为,
由一元二次方程根与系数的关系可知,
则,
故△ABC的周长是,
综上可知,△ABC的周长是7或.
28.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意的实数m,方程总有实数根;
(2)若方程的一个根为2,求出方程的另一个根.
【答案】(1)见解析;(2)方程的另一个根1
【详解】(1)证明:∵,
∴,
∴,
∵,
∴对于任意实数m,方程总有实数根
(2)把代入原方程,得,解得:
把代入原方程,得,
即,
,
或,
∴,,
∴方程的另一个根是.
29.已知关于的一元二次方程(为实数).
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两个实数根分别为,,且,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)或.
【详解】(1)证明:
,
所以方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:根据根与系数的关系得,,
又,
解得:,
∵,
∴
整理得,
解得,,
的值为或.
30.已知关于x的一元二次方程①有两个实数根,.
(1)求实数k的取值范围;
(2)从因式分解法可知,方程①也可转化为②.把方程②的左边展开化成一般形式后,可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系:______,______;(用含k的式子表示)
(3)是否存在实数k,使得成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);;(3)
【详解】(1)解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
化简整理,得,解得:;
(2)解:∵关于x的一元二次方程①有两个实数根,.
∴②.,
∴,
比较①②得:,,
故答案为:;
(3)解:∵,
∴,
由(2)得,,
∴,
整理,得 解得:,,
又由(1)知,
∴.
∴存在,当时,使得成立.
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