广东省衡水金卷2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题及答案

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本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
5.过抛物线，的焦点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列、C系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，，…，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，…，这9张纸的面积之和是（ ）
A.B.C.D.
7.已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A.B.
C.D.
8.函数，若，则的最小值为（ ）
A.B.4C.D.1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一组互不相等的样本数据，，…，，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有（ ）
A.B.C.D.
10.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.
B.的解析式为
C.是图象的一个对称中心
D.的单调递减区间是，
11.若，分别为的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（ ）
A.B.
C.D.
12.棱长为6的正四面体的四个顶点均在球的表面上，若点为球面上的任意一点，则的取值可以为（ ）
A.B.3C.5D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数的最小正周期为，则________.
14.圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为________.
15.在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________.
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列为等差数列，数列为等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，，求.
18.（本小题满分12分）
已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若边上的中线长为，，求的周长.
19.（本小题满分12分）身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图.
科学饮食组对照组
（1）求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）；
（2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，平面，平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）试求为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
函数在处的切线方程为.
（1）求；
（2）已知，过可作的三条切线，证明：.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：，为坐标原点，若椭圆与椭圆的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在椭圆上，点A，B在椭圆上，若，则四边形的面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.