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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案,共6页。教案主要包含了引入新课,课堂探究,知识应用,课堂练习,归纳总结等内容,欢迎下载使用。
直线与平面平行
(一)教学内容
直线与平面平行的判定定理、直线与平面平行的性质定理.
(二)教学目标
1.理解直线与平面平行的判定定理;
2.理解直线与平面平行的性质定理;
3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
(三)教学重点与难点
教学重点:直线与平面平行的判定定理和性质定理.
教学难点:直线与平面平行的判定定理和性质定理.
(四)教学过程设计
一、引入新课
回顾:空间中,直线与平面的位置关系有几种,分别是什么?
答:空间直线与平面的位置关系可分为直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.
直线在平面内:有无数个公共点;
直线与平面相交:有且只有一个公共点.
直线与平面平行:没有公共点.
在直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要的关系.它不仅应用广泛,而且是学习平面与平面平行的基础.
设计意图:通过回顾旧知,引出本节课的概念.
二、课堂探究
问题1:怎样判断直线与平面平行呢?
答:只需判定直线与平面没有公共点.
想一想:直线是无限延伸的,平面是无限延伸的,如何保证直线与平面没有公共点呢?
观察:如图(1),门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点吗?此时门扇转动的一边与墙面平行吗?
如图(2) ,将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上,把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中(AB离开桌面), DC的对边AB与桌面有公共点吗?边AB与桌面平行吗?
答:无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以它与墙面是平行的;
硬纸板的边AB与DC平行,只要边DC紧贴着桌面,边AB转动时就不可能与桌面有公共点,所以它与桌面平行.
一般地,我们有直线与平面平行的判定定理
定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
符号表示 a⊄α, b⊂α,且a//b,则a//α.
处理空间位置关系常用方法:直线间的平行转化为直线与空间的平行,即空间几何问题转化为平面几何问题.
探究:求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
答:已知:空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.
求证: EF//平面BCD.
(1)做辅助线
证明:连接BD.
(2)证明线线平行,即EF//BD即可.
∵ AE=EB,AF=FD ,
∴EF//BD.
又EF⊄平面BCD ,BD⊂平面BCD ,
∴EF//平面BCD.
问题2:在直线a平行于平面"α"的条件下,直线a与平面" α "内的直线有怎样的位置关系?
答:如图,由定义,如果直线a∥平面α.那么a与α无公共点,即a与α内的任何直线都无公共点.这样,平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面或者平行的关系.
追问:在什么条件下,平面α内的直线与直线a平行呢?
答:假设a与α内的直线b平行,那么由基本事实的推论3(经过两条平行直线,有且只有一个平面),过直线a ,b有唯一的平面β.这样,我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线.于是可得如下结论:过直线a的平面β与平面α相交于b ,则a//b.
探究:求证:过直线a的平面β与平面α相交于b ,则a//b.
已知: a // α, a⊂β,α∩β=b.
求证: a//b.
证明:∵α∩β=b,
∴b⊂α.
又a//α,
∴ a与b无公共点.
又a⊂β,b⊂β,
∴a//b.
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
符号表示 a // α, a⊂β,α∩β=b ,则a//b.
总结:简记:线面平行,则线线平行.
作用:判定线线平行的重要依据.
关键:寻找面面交线.
三、知识应用
例1如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'.
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?
(1)
分析:要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.
解:(1)如图(2),在平面A'C'内,过点P作直线EF ,使EF//B'C',并分别交棱A'B',D'C'于点E,F.连接BE,CF ,则EF,BE,CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C'相交于B'C',所以BC//B'C'.
由(1)知,EF//B'C',所以EF//BC.
而BC在平面AC内,EF在平面AC外,所以EF//平面AC.
显然BE ,CF 都与平面AC相交.
四、课堂练习
1. 如图,在四棱锥P−ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD B .MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能
2. 如图(1)所示,已知正方形ABCD, E,F分别是AB,CD的中点,将△ ADE沿DE折起,连接AB,AC,如图(2)所示,则BF与平面ADE的位置关系______ .
3. 如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,S,E,G分别是D1B1,BC,SC的中点.求证:直线EG∥平面BDD1B1.
参考答案:
1. 分析:因为MN ∥平面PAD , MN ⊂平面PAC ,
平面PAD ∩平面PAC = PA,所以MN ∥PA.
答案:B
2. 分析:由图(1)可知, BF∥DE,由图(2)可知,
BF ⊄平面ADE, DE ⊂平面ADE,故BF∥平面ADE.
答案:平行
3. 分析:由图(1)可知, BF∥DE,由图(2)可知,
BF ⊄平面ADE, DE ⊂平面ADE,故BF ∥平面ADE.
答:证明:如图,连接SB.
∵E,G分别是BC,SC的中点,
∴EG∥SB.
又SB⊂平面BDD1B1,EG ⊄平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
五、归纳总结
回顾本节课的探究过程,你学到了什么?
1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
符号表示 a⊄α, b⊂α,且a//b,则 a//α.
2. 直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
符号表示 a // α, a⊂β,α∩β=b,则a//b.
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