专题07 规律探究一（过关）-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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一、填空题
1．观察下列算式：
12−02=1+0=1; 22−12=2+1=3； 32−22=3+2=5；
42−32=4+3=7； 52−42=5+4=9； ……
若字母n表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来： ．
2．观察2，12，27，…，发现这组数是按一定规律排列的．如果将第1个数记为a1，第2个数记为a2，…，第n个数记为an，这组数满足1an+1an+2=2an+1，则a5的值为 ．
3．观察一组按规律排列的代数式： a+2b，a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是 ．（n为正整数）
4．观察下列等式：11×4=131−14；14×7=1314−17；17×10=1317−110……，13n−23n+1=1313n−2−13n+1，请根据上面计算规律计算11×4+14×7+17×10⋯⋯+12022×2025= ．
5．在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，根据此规律，m的值是 ．

6．观察下列数，按规律在横线上填上适当的数；0，−3，8，−15，24，−35， ．
7．定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推，若a1=−13，则a2023= ．
8．观察下列数：1x2，−1x3，1x4，−1x5，…，按此规律排列，第十个数为 ．
9．观察下列一组数：12、35、12、717、926……，它们是按一定规律排列的，那么第11个数是 ，第n个数是 ．
10．已知：20=1，21=2，22=4，23=8，24的个位数是6，25的个位数是2，…，则20+21+22+23+24+…+210的个位数字是 ．
11．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式a+bn的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则a+b5的展开式中从左起第三项的系数为 ．

12．观察这组数：23,69,1227,2081,30243,⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ．
13．观察下列各式：
21×3=11−13，
22×4=12−14
23×5=13−15
……
请利用你所得结论，化简代数式21×3+22×4+23×5+⋯2nn+2（n≥3且为整数），其结果为__________．
14．观察如图所示图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第674个图形摆出的图案应该用 个五角星．
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
15．用火柴棒连续摆 ，摆一个这样的正方形需要4根火柴棒，如果像 …… 这样一直摆下去，那么连摆20个这样的正方形需要( )根火柴棒；用100根火柴棒可以连摆( )个这样的正方形．
16．如图，搭第一个图形需要3根火柴棒．

（1）搭一搭，填一填：
（2）搭40个这样的三角形需要 根火柴棒．
（3）搭n个这样的三角形需要 根火柴棒．
17．如图，将若干个三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2023个图形是 ．

18．用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

19．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如下面的草图所示：

这样捏合到第 次后可拉出128根细面条．
20．活动二：按下图方式，用火柴棒搭三角形

搭1个三角形需要火柴棒 根； 搭2个三角形需要火柴棒 根；搭3个三角形需要火柴棒 根； 搭10个三角形需要火柴棒 根；搭100个三角形需要火柴棒 根；
二、解答题
21．找规律，完成下列各题：

(1)如图①，把正方形看作1，12+14=1−14= ．
(2)如图②，把正方形看作1，12+14+18=1−18= ．
(3)如图③，把正方形看作1，12+14+18+116=1− = ．
(4)计算：12+14+18+116+132= ．
(5)计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= ．
22．如图棱长为a的小正方体，按照下图的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，……，第n层，若第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：

(1)填写表格：
(2)研究上表可以发现S随n的变化而变化，请你用式子来表示S与n的关系．
23．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：
(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；
(2)图案n中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含n的式子表示）
(3)图案n中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
24．如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…．，以此类推．
(1)第6个图中有______棋子；
(2)用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；
(3)第多少个图中有505颗棋子？
25．三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这n+3个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
【问题探究】我们可以从n=1，n=2，n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以前得的三角形个数的变化规律．
【问题解决】
(1)当三角形内有4个点时，最多剪得的三角形个数为______；
(2)你发现的变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加______个；
(3)猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得______个三角形．
三角形个数
1
2
3
4
5
…
火柴棒根数





…
n
1
2
3
4
…
S
1
3
_______________
_______________
…
三角形内点的个数
图形
最多剪出的小三角形个数
1
3
2
5
…
7
…
…
…