2024六盘水水城区高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024六盘水水城区高二上学期12月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 若为偶函数，则（ ）
A. 0B. 5C. 7D. 9
5. 已知椭圆，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
7. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（ ）
A. 1B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A. 的长轴长为B. 的短轴长为
C. 的坐标为D. 的最小值为
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
12. 在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（ ）

A. 设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6
B. 小圆标准方程为
C. 图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D. 小圆与小圆公共弦所在的直线方程为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的虚部为__________．
14. 已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．
15. 已知正方体外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．
16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过点．
（1）若经过点，求的斜截式方程；
（2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
18. 已知圆的圆心的坐标为，且经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．
19. 已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且．
（1）求点的坐标；
（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．
20. 如图，在直三柱中，，分别为，的中点．
（1）若，求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值．
21. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．2023-2024学年第一学期高二质量监测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集的定义求解.
【详解】集合，
则．
故选：D
2. 在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件可得出点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，
则点的坐标为.
故选：A.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，该直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，
因为，所以所求的倾斜角为．
故选：D.
4. 若为偶函数，则（ ）
A. 0B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值.
【详解】由题意，
为偶函数，
∴，，
∴，解得：，
故选：C.
5. 已知椭圆，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得得且．
故选：B
6. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意圆心为，半径，圆心到直线的距离为，利用垂径定理即可求得弦长.
【详解】圆心到直线的距离为，
又圆的半径，所以．
故选：C
7. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】记3克的砝码为，，1克的砝码为，，2克的砝码为，从中随机选取两个砝码，
样本空间，
共有10个样本点，其中事件“这两个砝码总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为．
故选：A.
8. 已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，因为为的中点，可得，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于的方程，即可求解.
【详解】设，因为为的中点，可得
又由，两式相减得
，
则，得．
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A. 的长轴长为B. 的短轴长为
C. 的坐标为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．
故选：ABD.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
11. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
12. 在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（ ）

A. 设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6
B. 小圆标准方程为
C. 图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D. 小圆与小圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据五圆的位置，求两点间的距离的最大值判断选项A；由圆心坐标和半径求小圆的标准方程判断选项B；求每个圆环的面积判断选项C；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.
【详解】设每个大圆的半径为，每个小圆的半径为．因为，
所以，两点间距离的最大值应为，A选项正确．
依题意可得小圆的圆心为，半径，所以小圆的标准方程为1，B选项正确．
因为每个圆环的面积为，即，而五个圆环有重合的部分，
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于，C选项错误．
又小圆的方程为，所以小圆和小圆两圆方程相减，
可得公共弦所在直线方程，化简得，D选项正确．
故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的虚部为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.
【详解】由题意得，所以的虚部为5．
故答案为：5
14. 已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值.
【详解】该方程可化为圆的标准方程．
由，得．
因为，
所以该圆的半径的最大值为．
故答案为：，2
15. 已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得.
【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为.
由，得,
故答案为：.
16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值.
【详解】由，得．设，则，
，解得．
中，，
解得，从而，椭圆方程为，，
设，则，
当时，的最小值是8．
故答案为：8
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过点．
（1）若经过点，求的斜截式方程；
（2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；
（2）根据截距式代入即可求解.
【小问1详解】
由题意得，则的方程为，
其斜截式方程为．
【小问2详解】
设的截距式方程为，
由题意得得，
所以在轴上的截距为．
18. 已知圆的圆心的坐标为，且经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；
（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．
【小问1详解】
解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，
可得圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
【小问2详解】
解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为．
19. 已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且．
（1）求点的坐标；
（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解；
（2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解.
【小问1详解】
由题意得，
得，又，所以，
所以．
【小问2详解】
由题意得．因为与平行，所以的斜率为2．
设，联立得．
因为与相切，所以，
得，
故的一般式方程为或．
20. 如图，在直三柱中，，分别为，的中点．
（1）若，求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量的线性运算法则，可得，
又由，所以．
【小问2详解】
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以．
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设与平面所成的角为，可得．
21. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理求解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即．
由正弦定理得．
由，得，则，
由，得．
【小问2详解】
由余弦定理得，则．
由，得，当且仅当时，等号成立．
故，即面积的最大值为．
22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设方程为，联立方程组，得到，利用弦长公式，求得和，得到，结合换元法和基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，
可得且，解得，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
设点，联立方程，可得，
所以，
可得．
又因为，
所以，
可得．
令，上式，
当且仅当，即时，取得最小值．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.