2024郑州外国语学校高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024郑州外国语学校高一上学期12月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了 集合，则， 命题“”的否定是，48）， 若，则下列命题中为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

（100分钟 100分）
一.选择题（共8题，每题4分，共32分）
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A 一B. 二C. 三D. 四
6. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033B. 1053
C. 1073D. 1093
7. 定义在区间上的函数与的图象交点为，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4小题，每题4分，共16分.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的0分）
9. 若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为8D.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若，则图象关于点对称
C. 若在区间上单调递增，则
D. 若在区间上恰有2个零点，则
12. 已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的取值范围为
三、填空题（共4小题，每题4分，共16分）
13. 函数的单调递增区间为___________.
14. 函数的图象的对称轴中，离y轴最近的对称轴方程为________．
15. 函数的定义域是R，则a的取值范围是____________________________.
16. 已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是______.
四、解答题（共4小题，共36分）
17. 已知．
（1）化简函数；
（2）若，求和的值．
18. 已知函数.
（1）当时，求函数零点；
（2）当时，求不等式的的解集.
19. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上值域为，求的取值范围.
20. 已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．郑州外国语学校2023-2024学年高一上期月考2试卷
数 学
（100分钟 100分）
一.选择题（共8题，每题4分，共32分）
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数定义域得，二次函数值域得，即可根据补集、交集运算法则求得结果
【详解】由，，则；又，则，，故.
故选：B
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：C
3. 已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形的周长和面积，利用基本不等式可求出面积的最大值，进而求出圆心角的大小.
【详解】扇形周长，扇形面积
由，可得，当且仅当时，面积有最大值，
扇形的圆心角
故选：B
【点睛】本题考查了扇形的周长和面积公式、基本不等式求最值等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，
所以函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为.
故选：B.
5. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.
详解】 ， ，
第四象限；
故选：D.
6. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033B. 1053
C. 1073D. 1093
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
7. 定义在区间上的函数与的图象交点为，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得.
【详解】依题意， ，
所以，，
，，
，其中，
所以
故选：A
8. 函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，对分类讨论，根据取整函数的要求，即可求得值域.
【详解】当时，，则，此时函数的值域；
若，则，
当时，，当且仅当时等号成立；
则，所以，则此时函数的值域为，；
当时，，所以，
当且仅当时等号成立，则，即，
则此时函数的值域为.
综上所述，函数的值域是.
故选：
二、多选题（共4小题，每题4分，共16分.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的0分）
9. 若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，取，则，故D错误.
故选：BC.
10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为8D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断
【详解】对于，因为，即，
所以，当且仅当时取等号，正确；
对于B，由基本不等式得，，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，即，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，由可得，即，故D错误.
故选：ABC.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若，则的图象关于点对称
C. 若在区间上单调递增，则
D. 若在区间上恰有2个零点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
时，，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C错误；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，
则，解得，故D正确.
故选：AD.
12. 已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D.
【详解】因为，
令，可得，解得，所以A正确；
令，可得，所以，
任取且，则，
因为，所以，所以，
可得函数在上单调递增函数，所以B不正确；
由
，
，
所以C正确；
因为，由，可得，
所以，
所以等价于，即，
因为函数在上单调递增函数，可得，解得，
即不等式的解集为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题（共4小题，每题4分，共16分）
13. 函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由求出函数的定义域，函数是由和
复合而成，由复合函数的单调性可知求出的单调增区间即可求解.
【详解】由可得，解得：，
所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，
对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
14. 函数的图象的对称轴中，离y轴最近的对称轴方程为________．
【答案】##
【解析】
【分析】令求解.
【详解】令，得，
其中离y轴最近的对称轴为．
故答案为：
15. 函数的定义域是R，则a的取值范围是____________________________.
【答案】[0，4）
【解析】
【分析】由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况确定实数a的取值范围即可.
【详解】当a=0时，函数解析式为：，其定义域为，满足题意，
当时，应满足：，求解不等式组可得：，
综上可得，实数的取值范围是[0，4）.
故答案为[0，4）．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，由函数的定义域确定参数的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16. 已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，根据方程的根的个数转化为的图象与直线有4个不同的公共点，数形结合求得m范围，以及、、、之间的关系及对应范围，即可求解.
【详解】由的解析式作出的大致图象，如图所示：
方程有4个不等实数根等价于的图象与直线有4个不同的公共点，
则，不妨令，
则由图可知，，，
所以，，
由，得.
所以，
设，则，
根据对勾函数单调性知在区间上单调递增，所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共4小题，共36分）
17. 已知．
（1）化简函数；
（2）若，求和的值．
【答案】17.
18. ；.
【解析】
【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得出；
（2）由三角函数的诱导公式化简再计算得出.
【小问1详解】
【小问2详解】
因为，
所以，
所以；
．
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，求不等式的的解集.
【答案】（1）2或3 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1） 根据零点 定义计算求解即可；
（2）分类讨论结合根的情况解不等式.
【小问1详解】
当时，，
令 ，
得或，
所以的零点为2或3.
【小问2详解】
当时，，则为，得；
当时，，
当即时，的解为或；
当即时，的解为；
当即时，的解为或，
综上所述，当时，的解集为；
当即时，的解集为或
当时，的解集为；
当即时，的解集为或.
19. 已知函数.
（1）求单调递增区间；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令即可求得单调递增区间；
（2）由，得，画出在的图象，可得，从而可求解.
【小问1详解】
令，解得.
故的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以.
画出在的图象如图所示：
所以，解得.
故的取值范围为.
20. 已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.