专题04 构造全等三角形的四种方法-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

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补形法
1．（2022•海淀区期末）如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．
2．（2022•东城区期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，在此图形上用尺规作出∠CAB和∠C′A′B′的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．
3．（2022•西城区期末）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
4．（2022•大兴区期末）在△ABC中，AB＝AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC＝100°，α＝60°时，∠CBD的大小为 ；
（2）如图2，当∠BAC＝100°，α＝20°时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．
截长补短法
5．（2022•通州区期末）已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
6．（2022•丰台区期末）如图，△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，BE是△ABC的平分线．求证：AE+BE＝BC．
7．（2022•密云区期末）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
8．（2022•怀柔区期末）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
倍长中线法
9．（2022•门头沟区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F．
（1）若BE＝AC，求证：AF＝EF；
（2）若AF＝EF，求证：BE＝AC．
10．（2022•昌平区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F，连接BE且BE⊥AF．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
11．（2022•东城区期末）已知△ABC中，
（1）如图1，点E为BC的中点，连接AE并延长到点F，使FE＝EA，则BF与AC的数量关系是 ．
（2）如图2，若AB＝AC，点E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC＝∠ABD，求证：AE＝EC．
（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，点M在DC的延长线上，连接AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM＝AB．
12．（2022•房山区期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到，使DE＝AD，连接BE．根据 可以判定△ADC≌ ，得出AC＝ ．
这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是
．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”—把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC边的中点，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE2+CF2＝EF2．
【问题拓展】
（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝5，且∠ADE＝90°．
直接写出AE的长＝ ．
旋转法
13．（2022•通州区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．
求证：AE⊥BE．
14．（2022•顺义区期末）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．
15．（2022•大兴区期末）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M．
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
16．（2022•昌平区期末）（1）问题引入
如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新
如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）