专题07 整体思想在整式乘法运算中的三种应用-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

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幂的运算中的整体思想
1．（2022•通州区期末）已知2x+3y﹣3＝0，求3•9x•27y的值为（ ）
A．21B．81C．243D．48
解：原式＝3•（32）x•（33）y
＝3•32x•33y
＝31+2x+3y，
∵2x+3y﹣3＝0，
∴2x+3y＝3，
∴原式＝31+3＝34＝81．
答案：B．
2．（2022•朝阳区期末）已知4a＝16，8b＝4，求52a+3b的值．
解：∵4a＝16，8b＝4，
∴4a×8b＝16×4，
∴（22）a×（23）b＝64＝26，
∴22a×23b＝26，
∴22a+3b＝26，
∴2a+3b＝6，
∴52a+b＝56＝15625．
3．（2022•大兴区期末）计算：
（1）已知（4n）2＝28，求n的值；
（2）已知3•9m•27m＝316，求m的值．
解：（1）∵（4n）2＝28，
∴（22n）2＝28，
24n＝28，
∴4n＝8，
解得：n＝2；
（2）∵3•9m•27m＝316，
∴3•32m•33m＝316，
31+2m+3m＝316，
∴1+2m+3m＝16，
解得：m＝3．
4．（2022•通州区期末）（1）已知a+3b＝4，求3a×27b的值；
（2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值．
解：（1）原式＝3a×（33）b
＝3a×33b
＝3a+3b
＝34
＝81．
（2）原式＝9x6n﹣8x6n
＝x6n
＝（x3n）2
＝22
＝4．
5．（2022•海淀区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．
你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）若（27x）2＝312，求x的值．
解：（1）∵2×8x×16x＝222，
∴2×23x×24x＝222，
则21+3x+4x＝222，
∴1+3x+4x＝22，
解得：x＝3；
（2）∵（27x）2＝312，
∴（33x）2＝312，
则36x＝312，
∴6x＝12，
解得：x＝2．
乘法公式运算中的整体思想
6．（2022•密云区期末）已知a﹣b＝b﹣c=25，且a2+b2+c2＝1，则ab+bc+ac的值（ ）
A．1325B．−225C．1925D．1825
解：∵a﹣b＝b﹣c=25，
∴a﹣c=45，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]=1225，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2−1225=−1225=1325；
答案：A．
7．（2022•房山区期末）已知a=38x﹣20，b=38x﹣18，c=38x﹣16，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
解：原式×2＝（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）×2，
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc），
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2．
将a=38x﹣20，b=38x﹣18，c=38x﹣16代入得：
原式=4+4+162=12．
答：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为12．
8．（2022•东城区期末）已知m﹣n＝﹣3，mn＝4．
（1）求（3﹣m）（3+n）的值；
（2）求m4+n4的值．
解：（1）∵m﹣n＝﹣3，mn＝4，
∴原式＝9﹣3（m﹣n）﹣mn＝9+9﹣4＝14；
（2）∵m﹣n＝﹣3，mn＝4，
∴原式＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝[（m﹣n）2+2mn]2﹣2m2n2＝257．
9．（2022•昌平区期末）已知（2016﹣a）（2014﹣a）＝1006，试求（2016﹣a）2+（2014﹣a）2的值．
解：（2016﹣a）2+（2014﹣a）2
＝[（2016﹣a）﹣（2014﹣a）]2+2（2016﹣a）（2014﹣a）
＝22+2×1006
＝4+2012
＝2016，
答：（2016﹣a）2+（2014﹣a）2的值为2016．
10．（2022•门头沟区期末）已知x+y＝4，xy＝3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求x3y+2x2y2+xy3．
解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10；
（2）∵x+y＝4，xy＝3，
∴原式＝xy（x+y）2＝3×16＝48．
多项式乘法运算中的整体思想
11．（2022•石景山区期末）设a=20172018，b=20182019，c=20192020，比较a，b，c的大小．（提示：用整数1分别减去a，b，c）
解：由题意得，a＝1−12018，b＝1−12019，c＝1−12020，
∵12018＞12019＞12020，
∴1−12018＜1−12019＜1−12020，
∴a＜b＜c．
12．（2022•怀柔区期末）设M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，试比较M与N的大小．
解：设a＝123456788，
则M＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，N＝a×（a﹣1）＝a2﹣a，
∵M﹣N＝﹣2＜0，
∴M＜N．
13．（2022•丰台区期末）分解因式：（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；
解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2
＝（x+1）（x+6）（x+2）（x+3）+x2
＝（x2+7x+6）（x2+5x+6）+x2
＝[（x2+5x+6）+2x]（x2+5x+6）+x2
＝（x2+5x+6）2+2x（x2+5x+6）+x2
＝（x2+5x+6+x）2
＝（x2+6x+6）2；
14．（2022•大兴区期末）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
解：（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
＝（xy﹣1）2+（x+y﹣2）（x+y﹣2xy）
＝（x+y）2﹣2xy（x+y）﹣2（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1
＝[（x+y）2﹣2xy（x+y）+（xy）2]﹣2（x+y﹣xy）+1
＝（x+y﹣xy）2﹣2（x+y﹣xy）+1
＝[（x+y﹣xy）﹣1]2
＝（﹣xy+x+y﹣1）2
＝[﹣x（y﹣1）+（y﹣1）]2
＝[（y﹣1）（1﹣x）]2
＝（x﹣1）2（y﹣1）2．
15．（2022•密云区期末）“换元法”是数学的重要方法，它可以使一些复杂的问题变为简单．
例如：分解因式（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
解：（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x﹣3）（x2+2x+1）
＝（x+3）（x﹣1）（x+1）2
这里就是把x2+2x当成一个量，那么式子（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3看成一个关于x2+2x的二次三项式，就容易分解．
（1）请模仿上面方法分解因式：x（x﹣4）（x﹣2）2﹣45
（2）在（1）中，若当x2﹣4x﹣6＝0时，求上式的值．
解：（1）x（x﹣4）（x﹣2）2﹣45
＝（x2﹣4x）（x2﹣4x+4）﹣45
＝（x2﹣4x）2+4（x2﹣4x）﹣45
＝（x2﹣4x+9）（x2﹣4x﹣5）
＝（x2﹣4x+9）（x﹣5）（x+1）；
（2）当x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣4x＝6时，
原式＝（x2﹣4x+9）（x2﹣4x﹣5）
＝（6+9）×（6﹣5）
＝15．