大湾区2022-2023学年高二数学上期末联考试题

这是一份大湾区2022-2023学年高二数学上期末联考试题，共18页。试卷主要包含了直线x+3y−2=0的斜率为，已知直线l1，某校高一等内容，欢迎下载使用。
1．直线x+3y−2=0的斜率为（ ）
A．π3B．5π6C．−3D．−33
【考点】直线的斜率．
【解答】解：由x+3y−2=0可得y=−33x+233，
故直线的斜率为−33．
故选：D．
2．已知a→=(1，−2，1)，a→−b→=(−1，2，−1)，则b→等于（ ）
A．(−2，0，−2)B．(−2，4，−2)C．(2，−4，2)D．(2，1，−3)
【考点】空间向量及其线性运算．
【解答】解：∵a→−b→=(−1，2，−1)，
∴b→=a→−a→−b→= 1，−2，1−(−1，2，−1)＝(2，−4，2)．
故选：C．
3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m
【考点】抛物线的性质．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为：y2=2px，p>0，由题意可得AB=3.6，则A的纵坐标为1.8，
再由深度为0.6，可得A的横坐标为0.6，
即A（0.6，1.8），将A的坐标代入抛物线的方程可得：1.82＝2p×0.6，
可得p=2.7，
所以抛物线的方程为：y2=5.4x，
所以抛物线的焦点到顶点的距离为p2=2.72=1.35，
故选：A．
4．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．66B．91C．107D．120
【考点】数列的应用；归纳推理．
【解答】解：根据题意，设第n个叠放图形正方体的数目之和为an，
第n个叠放图形中共有n层，从上到下，每一层正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…
则第n个叠放图形中各层正方体的个数，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列
所以第n个叠放图形中正方体的数目之和an＝n+n(n−1)×42=2n2−n，
故8个叠放的图形中小正方体木块的总数为a8＝8+8×7×42=120，
故选：D．
5．已知直线l1：3x−4y+7=0与直线l2：6x−m+1y+1−m=0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【解答】解：直线l1：3x−4y+7=0与直线l2：6x−m+1y+1−m=0平行，
可得m=7，直线6x−m+1y+1−m=0化为6x−8y−6=0，即3x−4y−3=0，
所以l1与l2之间的距离：7+332+(−4)2=2．
故选：B．
6．已知等差数列{an}中，a3+a5=a4+7，a10=19，则数列{an∙csnπ}的前2022项和为（ ）
A．1010B．1011C．2021D．2022
【考点】数列的求和．
【解答】等差数列{an}中，a3+a5=a4+7，a10=19，
则：2a4−a4=7，
所以：a4=7，
整理得：an=2n−1，
则：数列设bn＝an∙csnπ，
则：b1=−1，b2=3，b3=−5，b4=7，…
S2022＝(−1+3)+(−5+7)+…+(−4041+4043)，
＝2×1011，
＝2022
故选：D．
7．已知正方体ABCD−EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足AP→=34AB→+12AD→+23AE→，则P点到直线AB的距离为（ ）
A．34B．45C．56D．35
【考点】空间向量及其线性运算．
【解答】解：分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图
∵正方体ABCD−EFGH的棱长为1
∴AB→=(1，0，0)
∵AP→=34AB→+12AD→+23AE→
∴AP→=(34，12，23)
可得|AP|→=(34)2+(12)2+(23)2=18112
∵AB→⋅AP→=1×34+0×12+0×23=34
AB→⋅AP→=|AB|→⋅|AP|→cs∠PAB
∴cs∠PAB=AB→⋅AP→|AB|→⋅|AP|→=341×18112=9181
根据同角三角函数关系，得sin∠PAB=1−cs2∠PAB=10181
∴P点到直线AB的距离为|AP|→sin∠PAB=18112⋅10181=56
故选：C．
8．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．若双曲线C的方程为x29−y216=1，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线n所在直线的斜率为k，则k∈(−43，43)
B．当m⊥n时，|PF1|•|PF2|＝32
C．当n过点Q(7，5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13
D．若点T坐标为(1，0)，直线PT与C相切，则PF2=12
【考点】双曲线的性质．
【解答】解：双曲线C的方程为x29−y216=1，可得a=3，b=4，c=5，
渐近线方程为y=±43x，渐近线的斜率分别为−43，43，
由于P在双曲线的右支上，可得射线n所在直线的斜率的范围为(−43，43)，故A正确；
若m⊥n，设PF1=m，PF2=n，
则m2+n2=4c2=100，由双曲线的定义可得m−n=2a=6，所以2mn=100−36=64，即mn=32，故B正确；
当n过点Q(7，5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为PF2+PQ=PF2+QF−PF1=(7+5)2+(5−0)2−2×3=7，
故C错误；
由T(1，0)，F1(−5，0)，F2(5，0)，可得|TF1|＝6，|TF2|＝4，
因为直线PT与C相切，在点P处的切线平分∠F1PF2，可得|PF1||PF2|=|TF1||TF2|=32，
又PF1−PF2=6，解得PF2=12，故D正确．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．若椭圆的焦点为F1(−c，0)，F2(c，0)(c>0)，长轴长为2a，则椭圆上的点(x，y)满足（ ）
A．(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=2a
B．y2x2−a2=c2a2−1
C．(x−c)2+y2|a2c−x|=ca
D．(x−c)2+y2=a−cax
【考点】椭圆的性质．
【解答】解：由椭圆的定义可知A正确；
B中，由椭圆的标准方程：x2a2+y2b2=1可得y2a2−c2=1−x2a2=a2−x2a2⇒y2x2−a2=c2−a2a2=c2a2−1，(y≠0)时才成立，所以B不正确；
C中，由椭圆的第二定义可得P到右焦点的距离与到右准线的距离为离心率，即(x−c)2+y2|x−a2c|=ca，所以C正确；
D中由椭圆的第二定义可得(x−c)2+y2=ca|x−a2c|，因为a2c>x，所以(x−c)2+y2=a−cax，所以D正确；
故选：ACD．
10．某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A．P(A)=18B．事件A与事件B互斥
C．P(C)≠P(D)D．事件A与事件C对立
【考点】互斥事件与对立事件．
【解答】解：对于A，甲、乙、丙为女生的概率均为12，故P(A)=(12)3=18，故A正确，
对于B，A，B两事件不可能同时发生，为互斥事件，故B正确，
对于C，事件D包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生，三名学生有两名男生，与事件C含义相同，故P(C)＝P(D)，故C错误，
对于D，事件A的对立事件为事件C，故D正确．
故选：ABD．
11．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x的值可能为（ ）
A．58B．59C．62D．64
【考点】百分位数．
【解答】解：将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79，
若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，
他们的差为4，不符合条件，
若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，
它们的差为18，不符合条件，
若57γ，平面β截圆锥得椭圆，∴Γ是椭圆，故B错误；
对于C，当φ=π4，γ=π4时，φ=γ，平面β截圆锥得抛物线，∴Γ是抛物线，故C正确；
对于D，当φ=π3，γ=π4时，φ>γ，平面β截圆锥得椭圆，∴Γ是椭圆，故D错误
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列．请写出{an}的一个通项公式an＝
【考点】数列的函数特性．
【解答】解：根据题意，要求数列{an}是单调递减数列且Sn是单调递增数列；
可以考虑{an}是公比在(0，1)之间的正项等比数列，
故{an}的通项公式可以为an=12n，则Sn=12(1−12n)1−12=1−12n，
满足①{an}是单调递减数列；②Sn是单调递增数列；
故答案为：12n，（答案不唯一）．
14．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝80m，BC＝60m，若AB＝40m，则甲，乙两人相距 ．
【考点】解三角形．
【解答】解：分别过点D，B作DM∥AB，BM∥AD两直线交于M，连接MC，
所以ADMB是平行四边形，所以MB=AD=80，
又由已知可得DA⊥AB，所以ADMB是矩形，所以MB⊥AB，
又BC⊥AB，
所以∠MBC是库底与水坝斜面所成二面角的平面角，故∠MBC=120°，
在△MBC中，由余弦定理可得MC2=BC2+MB2−2BC•MBcs120°=6400+3600+4800=14800，
又AB⊥MB，AB⊥BC，MB∩BC=B，
所以AB⊥平面MBC，又DM∥AB，所以DM⊥平面MBC，又MC⊂平面MCB，
所以DM⊥MC，
∴DC2=DM2+MC2=14800+1600=16400，
所以DC=2041m．
故答案为：2041m．
15已知点A(2，3)、B(5，−1)，l为平面上的动直线，点A，B到直线l的距离分别为1，3，则这样的直线l有 条.
【考点】直线与圆相交的性质．
【解答】解：以A(2，3)为圆心，1为半径，B(5，−1)为圆心，3为半径，分别作圆，如图所示：
满足点A到直线l的距离为1，点B到直线l为3的直线l的条数，即为两圆公切线的条数，
∵A(2，3)、B(5，−1)，
∴AB=(2−5)2+(3+1)2=5>3+1，
∴两圆外离，公切线有4条，
故满足点A到直线l的距离为1，点B到直线l为3的直线l有4条．
16．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON=DN=1，MN=3，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为 .
【考点】轨迹方程．
【解答】解：以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
因为ON=1，所以点N的运动轨迹C1是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为x2+y2=1，
设点N(csθ，sinθ)，由于ON=DN=1，则D(2csθ，0)，
由MN=3，可得NM→=3ND→，设M(x，y)，
所以(x−csθ，y−sinθ)=3(csθ，−sinθ)，解得M(4csθ，−2sinθ)，
则点M的运动轨迹C2是椭圆，其方程为x216+y24=1，
设C2上的点P(4csα，2sinα)，
则OP2=16cs2α+4sin2α=4+12cs2α≤16，
则切线长为OP2−1≤16−1=15，
所以切线长的最大值为15．
故答案为：15．
四．解答题（共6小题）
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是棱DD1的中点．
(1)求证：BC⊥AB1；
(2)求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值；
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；二面角的平面角及求法．
【解答】(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系
A(0，0，0)， B1(1，0，2)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，E(0，1，1)
BC=(0，1，0)，AB1=(1，0，2)
BC∙AB1=0，∴BC⊥AB1，∴BC⊥AB1；
(2) AE=(0，1，1)，AB1=(1，0，2)，
令 m=(2，1，−1)，
因为AE⋅m=0，AB1⋅m=0，所以m→是平面AB1E的法向量，
平面ABCD的法向量是n→=(0，0，1)，
所以平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值为|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=16=66．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn=2an−2n+1．
(1)求证：数列{an2n}是等差数列；
(2)若对任意正整数n，不等式2n2−n−30，即b1⋯．
所以，数列{bn}中的最大项为b3=38，所以，5−λ>38，所以λ0)，
联立y=kx+4kx2+4y2=8，得1+4k2x2+32k2x+64k2−8=0，（*）
因为直线与椭圆相切，
所以Δ=32×32k4−32(4k2+1)(8k2−1)=0，
解得k2=14，
因为k>0，
所以k=12，
所以方程（*）可化为2x2+8x+8=0，
解得x=−2，
所以y=12×[(−2)+4]=1，
所以T的坐标为(−2，1)．
（2）证明：由（1）可得ET的中点的G坐标为(−3，12)，
所以直线ET的方程为y−12=−12(x+3)，即y=−12x−1，
联立y=−12x+1x2+4y2=8，解得x1=−1+3，x2=−1−3，
所以y1=−12x1−1=−32−12，y2=32−12，
不妨设A(−1+3，−32−12)，B(−1−3，32−12)，
所以kEA=32+12−3−3=−36，kEB=32−123−3=36，
所以直线EA的方程为y=−36(x+4)，
联立椭圆的方程可得x2+2x−2=0，
解得x=−1+3或−1−3，
所以M(−1−3，32−12)，
同理可得N(−1+3，−3−12)，
所以kMN=yM−yNxM−xN=3−23=−12，
所以MN∥ET．
（3）过线段ET的中点G作直线l交抛物线C于A，B两点，直线EA与抛物线C的另一个交点为M，直线EB与抛物线C的另一个交点为N，则MN∥ET．组号
分组
频数
频率
第1组
[75，80）
①
第2组
[80，85）
0.300
第3组
[85，90）
30
②
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计
100
1.00