甘肃省庆阳市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份甘肃省庆阳市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4． 本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一、二章约占30%，第三、四章约占70%．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 10B. 5C. 20D. 4
【答案】B
【解析】
分析】用排列数公式展开即可求得.
【详解】．
故选：B
2. 直线与平行，则（ ）
A. －2B. 2C. 6或－1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.
【详解】由题可知，直线与平行，
所以，得；经验证，符合题意．
故选：B
3. 现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.
【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为．
故选：A
4. 等比数列的前n项和为，则（ ）
A. －2B. 2C. －1D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】求出，根据等比数列的性质求出.
【详解】因为为等比数列，且前n项和，
根据等比数列的性质有
所以．
故选：A
5. 在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）
A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.
【详解】在展开式中，根据通项可知，
时系数为有理数，即第五项为．
故选：C
6. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果.
【详解】记抛物线C的准线为，作于T，如下图所示：
抛物线定义可知，，且，所以
当P，Q，T三点共线时，有最小值，
最小值为．
故选：D
7. 跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A. 30天B. 31天C. 32天D. 33天
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解
【详解】依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，
且首项为1千米，公差为0.5千米．
设他经过n天后完成健身计划，
则，
整理得，
解得．
故选：C.
8. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.
【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，
又圆与直线相切，
则到直线的距离为，
则，解得，
设过且与垂直的直线为，
则：，
联立，
得直线l与的交点为，
设圆心关于点的对称点为，
由中点公式有
所以圆心关于点的对称点为，
因此圆C关于直线l对称圆的方程为：，
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（ ）
A. C的短轴长为B. 的最大值为
C. C的长轴长为6D. C的离心率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.
【详解】由标准方程可知，，，
所以，，．
所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；
离心率，即D正确；
由椭圆性质得， 故选项B错误.
故选：ACD
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 展开式的常数项为20B. 被7除余1
C. 展开式的第二项为D. 被63除余1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.
【详解】对于A，的展开式的通项为.
令，解得，所以展开式的常数项为，故A错误；
对于B，，因为都是的倍数，所以是的倍数，所以被7除余1，故B正确；
对于C，的展开式的第二项为，故C正确；
对于D，，因为都是的倍数，所以是63的倍数，所以被63除余1，故D正确.
故选：BCD.
11. 用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（ ）
A. 个位是0的四位数共有60个B. 2与4相邻的四位数共有60个
C. 不含6的四位数共有100个D. 比6701大的四位数共有71个
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A特殊元素法，先排零；
对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论；
对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位；
对于C，分别考虑首位为7，前两位为67.
【详解】个位是0的四位数共有个，A正确．
若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确．
不含6的四位数共有个，C错误．
比6701大的四位数共有个，D正确．
故选：ABD
12. 若直线l与抛物线有且仅有一个公共点，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为．已知抛物线上有两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，过抛物线C上异于A，B的一点的切线分别与交于点M，N，则（ ）
A. 直线的方程为B. 点A，Q，B的横坐标成等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知得，结合抛物线上点的坐标关系，可判断A,B选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出坐标，根据向量的坐标运算，可判断C,D选项；
【详解】解：已知抛物线，则，抛物线上两点，过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，则，
则由题意可知：，
对于A，联立，当时，，此时直线方程为，符合，
当，直线的斜率，所以直线的方程为：，
因为在直线上，所以，所以直线的方程为，故A正确；
对于B，因为在抛物线上，所以，则或，
由A得，则或，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；
对于C，由A，B可得，即，点是抛物线上一点，所以，
联立，同理可得
所以，
，
，
所以，故C正确；
对于D，由C得，，
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 若圆与圆外切，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】利用两圆外切则圆心距等于两圆半径之和即可.
【详解】由圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
则,
由两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，
即，
解得，
故答案为：16.
14. 已知等差数列单调递减，若，，则公差d的一个整数取值可以是______．
【答案】－4（或－3，－2，－1，只需写出一个答案即可）
【解析】
【分析】根据数列单调递减可知，利用通项公式可得即可求得结果.
【详解】因为，由等差数列的通项公式可得，即，
又是单调递减数列，所以，
故d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1．
故答案为：－4
15. 双曲线C：上的点P到右焦点的距离为10，则P到左焦点的距离为______．
【答案】18
【解析】
【分析】利用双曲线的定义即可得到所求距离．
【详解】依题意，设C的左、右焦点分别为、，则，
因为，，所以，故P在右支上，
所以由双曲线的定义可得，则．
故答案为：18.
16. 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______．
【答案】864
【解析】
【分析】所有可能值班安排共有种，减去选一人连排三天、四天、五天夜班的情况得答案.
【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，
（1）从四人中选一人连排三天夜班，
若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；
若形如□▲▲▲□排列：共有种；
若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；
因此，选一人连排三天夜班共有132种．
（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，
形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．
（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．
故满足题意的排夜班方式的种数为．
故答案为：864
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．
（A）求；
（B）求；
（C）设，证明：．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】选A利用二项式展开写出所有含的项即可算出结果；选B，利用赋值法时，可得进而求得结果；选C，分别令，即可得出证明.
【详解】选A 解：
因为．
选B 解：
令，得，则．
选C 证明：
令，得；
令，得．
故．
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．
（1）求，的坐标．
（2）若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．
【答案】（1），的坐标分别为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.
（2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，，
故，的坐标分别为，．
【小问2详解】
设A，B两点的坐标分别为，，
则，
两式相减得．
因为弦AB的中点在椭圆内，所以，
所以直线l的斜率．
19. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点．
（1）求m的值；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线几何性质写出焦点坐标，利用直线过焦点即可算出m的值；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理和焦点弦公式即可求得.
小问1详解】
抛物线的焦点为，
将焦点坐标代入直线方程得，
即．
【小问2详解】
由（1）知，直线方程为，设
联立直线与抛物线方程整理得，
则，，
根据抛物线焦点弦公式得，
所以
20. 已知等差数列的首项为1，公差为．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公差为d，利用求解d，从而得到通项公式；
（2）使用错位相减求和.
【小问1详解】
设公差为d，由题知，
解得，
所以，．
【小问2详解】
由（1）知，
则，①
，②
①－②可得，
即．
21. 现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；
(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.
【小问1详解】
依题意可得不同安排方法的总数为．
【小问2详解】
根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：
第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．
故不同安排方法的总数为．
22. 在①C的渐近线方程为 ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．
（1）求C的标准方程；
（2）已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.
【小问1详解】
选①
因为C的渐近线方程为，所以，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
选②．
因为C的离心率为，所以，得，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．
设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，
联立直线和双曲线方程得，
所以，，
直线PM：，即，
直线QN：，即，
消去y，得，
整理得，
则．
因为，所以A的横坐标为1．
故A在定直线上．