广东省佛山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份广东省佛山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。

2023年1月
本试卷共4页，22小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角的定义分析运算.
【详解】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故选：C.
2. 已知向量，，满足，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.
【详解】，，
，
解得
故选：A.
3. 已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故选：D.
4. 已知向量，，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
故在上的投影向量为.
故选：C
5. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值．
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，
解得（负值舍去）.
故选：A．
6. 已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】由已知可得，解得或.
故选：C.
7. 过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率.
【详解】设点，
则有，两式做差后整理得，
由已知，
，又，
，
得
故选：B
8. 在两条异面直线，上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设两条异面直线，所成的角为，将等式两边同时平方计算可得答案．
【详解】如图，设两条异面直线，所成的角为，
，，，，，，
，
则
，
得或（舍去）
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.
9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ）
A. 事件A与事件B互斥B.
C. 事件A与事件相互独立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.
详解】由题意可得：，则，
∵，
∴，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：，
故，
可知B正确，D错误；
又∵，
∴事件A与事件相互独立，C正确；
故选：BC.
10. 已知曲线的方程为，则可能是（ ）
A. 半径为的圆
B. 焦点在上的椭圆，且长轴长为
C. 等轴双曲线
D. 焦点在上的双曲线，且焦距为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，
此时，曲线的方程为，该圆的半径为，A对；
对于B选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，
此时，椭圆的长轴长为，B错；
对于C选项，若曲线为等轴双曲线，则，无解，C错；
对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，
此时，双曲线的焦距为，D对.
故选：AD.
11. 已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（ ）
A.
B. 若，则A的纵坐标为4
C. 若，则直线AB的斜率为
D. 以为直径的圆与直线AB相切于F
【答案】BCD
【解析】
【分析】设直线AB为及交点坐标，利用韦达定理可得，对A：结合向量垂直的坐标表示分析判断；对B：根据抛物线的定义运算求解；对称：结合向量的坐标运算求解；对D：根据直线与圆的位置关系分析判断.
【详解】由题意可得：抛物线：的焦点，准线，
设直线AB为，则，
联立方程，消去y可得：,
则，
对A：∵，
∴，
∴不相互垂直，A错误；
对B：∵，则或（舍去），
∴A的纵坐标为4，B正确；
对C：∵，且，
∴，则，解得或（舍去），
故直线AB的斜率，C正确；
对D：∵，
∴的中点到直线AB的距离，
又∵，
故以为直径的圆与直线AB相切于F，D正确；
故选：BCD.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A. 平面B. 平面与平面相交
C. 点О到直线的距离为D. 点O到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
对A：∵，则，即与不共线，
∴不与平面垂直，A错误；
对B：∵，则与不共线，
∴平面与平面相交，B正确；
对C：∵，则，即为锐角，
∴，
故点О到直线的距离为，C正确；
对D：点O到平面的距离为，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】利用古典模型概率即可求解.
【详解】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：
其
中能构成三角形的有，
这三条线段能构成一个三角形的概率为，
故答案为: .
14. 如图，在空间平移到，连接对应顶点.设，，，为中点，则用基底表示向量__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
15. 已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得的关系，进而可得渐近线方程．
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，，
则的周长为
,
当且仅当共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即
解得，
则渐近线方程为
故答案为：.
16. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求.
【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ，
，
设，
则，解得
，即为直角三角形
又，，
，
，
当时，，得，，
，即
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的三个顶点分别为，，，M是AB的中点.
（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；
（2）根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：AB的中点M为，
则边AB上的中线CM所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
由（1）可得：，且点到直线CM的距离，
故的面积.
18. 每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为.
（1）求的值；
（2）求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解；
（2）分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.
【小问1详解】
设事件“甲第一轮猜对” ，事件“乙第一轮猜对” ，事件C＝“甲第二轮猜对” ，事件“乙第二轮猜对 ，
甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
解得或（舍去）
；
【小问2详解】
三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，
可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.
甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率
19. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.
（2）设直线，，，则，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.
【小问1详解】
根据椭圆对称性，点，必在椭圆上，
则不在椭圆上，在椭圆上，
，解得
所以的方程为
【小问2详解】
由（1）得右焦点，
设直线，，，则
联立，消去得，
则
又直线，
令得
又
即时，，
直线BD过x轴上的定点.
20. 如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，，
（1）若，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；
（2）分别求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由题意可知：，平面平面ACDE，平面平面，
可得平面ACDE，
如图，以A坐标原点建立空间直角坐标系，则，
且平面ACDE的一个法向量为，
若，则，可得，
∵，
故BD与平面ACDE所成角的正弦值为.
【小问2详解】
设，平面BCD的法向量，
∵，则，
令，则，∴取，
设平面BDE的法向量，
∵，则，
令，则，∴取，
由题意可得：，解得或（舍去），
故AB的长为.
【点睛】
21. 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
【小问2详解】
解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
22. 已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点A，B.
（1）求线段AB的中点M的轨迹的方程；
（2）若直线：上存在点P，使得以点Р为圆心，2为半径的圆与有公共点，求k的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理确定即，利用向量的数量积运算即可求出轨迹方程；
（2）将问题转化为轨迹端点到直线的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式求解.
小问1详解】
由题可知的斜率存在，设直线，
设，圆：即，
则圆心，
因为为弦的中点，所以，
即,所以，
即，
由得为两圆的交点，
所以轨迹的方程为.
【小问2详解】
由（1）知为圆上不含的劣弧，
因为直线：上存在点P，使得以点Р为圆心，2为半径的圆与有公共点，
当时，存在圆满足题意；
当时，只需点到直线的距离，
解得；
当时，只需点到直线的距离，
解得；
综上，.