广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
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这是一份广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题,共20页。试卷主要包含了 若直线为圆的一条对称轴,则, 已知O为坐标原点,P是椭圆E, 已知曲线,则等内容,欢迎下载使用。
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分100分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.回答第II卷时,必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答卷各题目指定区域内,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第I卷
一、单选题:本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 过点和点的直线在轴上的截距为( )
A. 3B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线两点式方程可写出直线的方程,令其中,即可求得答案.
【详解】由题意可得过点和点的直线方程为 ,即 ,
令,则,即过点和点的直线在轴上的截距为,
故选:C.
2. 设数列的前项和,则的值为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用求解即可.
【详解】,,
故.
故选:D
3. 已知平面外的直线的方向向量是,平面的法向量是,则与的位置关系是( )
A. B. C. 与相交但不垂直D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由确定正确答案.
【详解】由于,即,
由于,所以.
故选:B
4. 若直线为圆的一条对称轴,则( )
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,将圆心代入直线计算求解.
【详解】由题可知圆心为,因为直线是圆对称轴,所以圆心在直线上,即,解得.
故选:C
5. 在前项和为的等比数列中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式化简已知等式可求得,结合等比数列求和公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为,则,
,解得:,
.
故选:B.
6. 已知正项等差数列的前项和为,若,则的值为( )
A. 3B. 14C. 28D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得,则可由已知等式求的值,从而利用求和公式和等差数列性质求得值.
【详解】解:正项等差数列,则
若,则,解得或(舍)
则.
故选:D.
7. 已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线C的准线l上,线段与y轴交于点A,与抛物线C交于点B,若,则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题知点A为的中点,结合已知得,过点B作,由抛物线的定义即可求解.
【详解】设l与x轴的交点为H,由O为中点,知点A为的中点,
因为,所以.
过点B作,垂足为Q,则由抛物线的定义可知,
所以,则,所以.
故选:C
8. 已知O为坐标原点,P是椭圆E:上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E于Q,R两点,,,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的对称性,及,得四边形为矩形,设,利用椭圆的定义,及条件所给出的长度关系,可表示出,,,利用勾股定理,求出m,推断出点P的位置,求出离心率.
【详解】
如图,设左焦点为,连接,,,
由题,,关于原点对称,所以四边形为平行四边形,
又因为,所以四边形为矩形.
设,则,
又因为,则,,,
在中,,即,
解得或(舍去),故点P为椭圆的上顶点.
由,所以,即,所以离心率.
故选:B.
【点睛】解题时注意数形结合,抓住椭圆的对称性,将图形关系用含a,b,c的代数式表示出来,即可求解离心率.
二、多选题:本大题共4小题,每小题3分,满分12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得3分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9. 已知数列的前n项和,则下列结论正确的是( )
A. 是等差数列B.
C. D. 有最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】由与的关系求出数列的通项,从而可判断AB,根据数列性质可判断C,根据前项和的函数性质可判断D.
【详解】当时,,
当时,
,符合,
故,
所以,,
所以数列是等差数列,首项为,公差,A正确;
,B正确;
因为公差,所以数列是递减数列,所以,C错误;
,
易知当或时,有最大值,D错误.
故选:AB
10. 已知曲线,则( )
A. 若,则曲线C是圆,其半径为2
B. 若,则曲线C是椭圆,其焦点在y轴上
C. 若线C过点,则C是双曲线
D. 若,则曲线C不表示任何图形
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A,曲线可化为,表示圆,可求半径,判断A;
对于B,时,曲线可化为,可判断表示椭圆,判断B;
对于C,将点,,代入曲线:,求得曲线方程,
判断C; 对于D,可举特例进行说明,判断D.
【详解】对于A,时,曲线可化为,其半径为,故A错误;
对于B,时,曲线可化为表示的是椭圆,而,
所以其焦点在轴上,故B正确;
对于C,将点,,代入曲线:,
有,,所以曲线是双曲线,故C正确;
对于D,若,,满足条件,此时曲线:,表示两条直线,
故D错误,
故选:.
11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,…即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是( )
A. B. 是偶数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项ACD通过递推关系分析即可.
选项B通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的.
【详解】由已知,数列满足递推关系.
选项:;
故正确;
选项:观察数列可知,数列每三项都是奇、奇、偶重复循环,,
恰好能被3整除,且为偶数,所以也为偶数,故正确;
选项:若选项C正确,又,则,
同理,,依次类推,
可得,显然错误,故错误;
选项:,
又,故正确;
故选:.
12. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线,O为坐标原点.一束平行于x轴的光线从点射入,经过C上的点反射后,再经C上另一点反射后,沿直线射出,经过点Q,则( )
A. B. 延长交直线于点D,则D,B,Q三点共线
C. D. 若平分,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由平行于x轴的,且过点,可推出点坐标,写出直线的方程,并联立抛物线的方程,结合韦达定理可得,,即可判断A是否正确;解得点坐标,推出,,三点纵坐标都相同,即可判断B是否正确;由弦长公式计算出,即可得出C是否正确;平分推出,由,计算的值,即可判断D是否正确;.
【详解】如图所示:
,,,,由平行于x轴的,且过点,所以,
把代入抛物线的方程,解得,即,
由题知,直线经过焦点,
直线的方程为,即,
联立,得,
所以,,
对于A选项:由,故选项A错误;
对于B选项:因为,,所以,即点纵坐标为,
直线的方程为,联立,解得,所以点坐标为,,
由光学性质可知平行于x轴,则,,三点纵坐标都相同,
所以,,三点共线,故选项B正确
对于C选项:
,故选项C正确;
对于D选项:由光学性质可知平行于x轴,平行于x轴,
则,有,
平分,有,所以
∴,即,得,故选项D正确.
故选:BCD.
第II卷
三、填空题:本大题共4小题,每小题3分,满分12分.
13. 若双曲线的一条渐近线方程为,则实数___________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点在 轴上的渐近线为 即可解决.
【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上,
所以 即
解得
故答案为:9.
14. 如图,直三棱柱中,分别是的中点,,则与所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,不妨设,写出对应点的坐标,利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可知:两两互相垂直,建立如图所示空间直角坐标系,
不妨设,因为分别是的中点,
则,,,,
则,,设直线与所成的角为,
所以,
所以与所成角的余弦值为,
故答案为:.
15. 已知正项数列前项和满足,且,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用得出数列是等差数列,且公差为1,然后求得,再代入可得.
【详解】,,
,,
,,
∴,即,所以是等差数列,公差为1,
,,
,即,.
故答案为:.
16. 已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,左焦点为,以原点为圆心的圆与直线相切,且该圆与轴的正半轴交于点,过点的直线交椭圆于两点.若四边形是平行四边形,且平行四边形面积为,则椭圆的长轴长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与圆相切可求得圆的半径,即,将与椭圆方程联立可求得坐标,由可构造齐次方程求得离心率,从而用表示出,根据可构造方程求得的值,进而得到椭圆长轴长.
【详解】
由题意知:,,,
直线,即,
直线与圆相切,圆的半径,即,
四边形为平行四边形,,
将代入椭圆方程得:,即,
又,,,
即,,解得:(舍)或;
即,,
,解得:
椭圆长轴长.
故答案为:.
四、解答题:本大题共6小题,满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17. 在中,,,且,求:
(1)求的值;
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得,由已知条件利用余弦定理得,解方程得到a的值,进而可求b得值.
(2)由已知条件,利用同角三角函数的基本关系可求得值,进而根据三角形的面积公示可计算得解.
【小问1详解】
因为,由正弦定理得,,所以,
由余弦定理得,因为,,
所以,化简得,解得 或,
当时,,与题意不符合;
当时,,符合题意.
所以.
【小问2详解】
因为,,
所以,所以的面积
18. 已知数列满足且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求的前n项和为.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由题意可知,为等比数列,已知首项和公比,利用等比数列通项公式求解.
(2)求出的通项,错位相减法求.
【小问1详解】
数列满足且,∴是首项为,公比为的等比数列,
∴
【小问2详解】
由,得,
,
,
两式相减得,
.
19. 如图,正三棱柱的所有棱长都为2,D为中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)建立合适空间直角坐标系,写出相关点坐标及相关向量,得到,即可证明;
(2)计算平面的一个法向量,而为平面的法向量,利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值,则得到面面角的正弦值.
【小问1详解】
证明:取中点,连接,
为正三角形,,
正三棱柱平面平面且相交于,
又平面,平面,取中点,
则,,,
平面,,
故以为原点, 建立如图所示空间直角坐标系,
则,根据上下底面为正三角形,
易得,
,
,
,
,且平面,直线平面.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为,
,,则,
令,得,
由(1)得为平面的法向量,
设二面角的平面角为,
,
,
二面角正伭值的大小为.
20. 如图,已知抛物线的焦点为,且经过点.
(1)求和的值.
(2)若点在上,且,证明:直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据抛物线得定义可求得,代入点的坐标可求得.
(2)设出的方程及的坐标,利用点在上,且,通过向量数量积为0建立的关系,代入方程易证明直线过定点.
【小问1详解】
,
又在抛物线上,.
【小问2详解】
证明:设,,
,
,
即.
设直线,与抛物线方程联立,
得,且,
,
所以
当时,:,过定点.
当时,:,过定点与点重合,舍去.
综上所述,直线过定点.
21. 某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用()表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列的通项公式;
(2)记为数列的前n项的和,,企业经过成本核算,若万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?
【答案】21. (万元)
22. 该企业需要在第12年年初更换A型车床
【解析】
【分析】(1)由题意得构成首项,公差的等在数列,构成首顶,公比的等比数列,从而可求出其通项公式,
(2)由(1)得是单调递减数列,于是,数列也是单调递减数列,然后分别求出和时的值,再由可求得结果.
【小问1详解】
题意得构成首项,公差等差数列.
故(万元).
构成首顶,公比的等比数列,
故万元.
于是,(万元).
【小问2详解】
由(1)得是单调递减数列,于是,数列也是单调递减数列.
当时单调递减,(万元).
所以(万元);
当时,(万元);当时,(万元).
所以,当时,恒有.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
22. 已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,双曲线的右顶点在圆上,且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点、,设为坐标原点.
①求证:点与点的横坐标的积为定值;
②求△周长的最小值.
【答案】(1);
(2)①证明见解析;②6.
【解析】
【分析】(1)由在圆上求出参数a,利用向量数量积的坐标表示求出参数c,进而可得双曲线方程.
(2)①设直线为,联立双曲线求得,联立渐近线与直线方程求与的横坐标,注意直线斜率不存在情况的讨论;②法1:利用两点距离公式求,结合基本不等式及①结论即可求周长最小值;法2:由①结论及两点距离公式可得,再由余弦定理求,进而应用基本不等式求的最小值,注意等号成立条件.
【小问1详解】
设双曲线的半焦距为,
由在圆上,得:,
由,得:,
所以,则双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
①当直线的斜率存在时,设其方程为,显然,
联立,消去得:,
由直线与双曲线有且只有一个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别相交知:直线与双曲线的渐近线不平行,所以且,
于是得,则,
双曲线的渐近线为,
联立,消去得:,
设,,则.
当直线的斜率不存在时,,故,
综上,点与点的横坐标的积为定值3.
②法1:由①,,
则,当且仅当时取等号,
所以△周长的最小值为6.
法2:由①,
则,,
在△中,由余弦定理,
所以△的周长为,当且仅当时取等号,
所以△的周长的最小值为6.
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