内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高二上学期期末数学理科试题

这是一份内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高二上学期期末数学理科试题，共17页。试卷主要包含了 下列四个命题为真命题的是， 已知，则“”是“”的，5B等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列四个命题为真命题的是
A. “若，则互为相反数”的逆命题；
B. “全等三角形面积相等” 的否命题；
C. “若，则无实根”的逆否命题；
D. “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；
【答案】A
【解析】
【分析】根据四种命题的定义依次得到四个选项中的命题，并判断真假，从而得到结果.
【详解】选项的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
选项的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题；
选项的逆否命题为“若有实根，则”，当有实根，则，解得，可知为假命题；
选项的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题.
本题正确选项：
【点睛】本题考查四种命题的求解和辨析，关键是能够准确的根据原命题求解出其他三个命题，属于基础题.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则；
若，则无意义，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则m的值等于（ ）
A. 8B. 5C. 5或3D. 5或8
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案.
【详解】焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，
则，解得，
故选：A.
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的为-4，则输出的值为（ ）
A. 0.5B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
进入循环体，依照循环条件，依次执行命令，直到满足条件时退出循环，代的值计算即可.
详解】，进入循环体，依次执行命令有，，，退出循环，得
故选：C
5. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，建立方程，求出参数，再利用两点间的距离公式或焦半径公式求解.
【详解】方法一：由题意可知，解得，即，
又焦点，所以．
方法二：由题意可知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，
则，解得，即，则由抛物线的定义可得，．故A，B，C错误.
故选：D.
6. 十二律为我国古代汉族的乐律学名词，是古代的定音方法，分为“黄钟、太簇、姑冼、蕤宾、夷则、无射”六种阳律以及“大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟”六种阴律．现从“太簇、蕤宾、夷则、大吕、中吕、应钟”六种音律中任选两种，则至少有一种来自阴律的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】六种音律中有3个阴律，3个阳律，直接借助组合数计算即可.
【详解】“太簇、蕤宾、夷则、大吕、中吕、应钟”中有3个阴律，3个阳律，
故至少有一种来自阴律的概率为，
故选：D
7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案．
【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8. 如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】因为D为BC的中点，所以，
又，
所以．
故选:C．
9. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【解析】
【分析】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，依次分析各选项对应的概率，看是否符合即可
【详解】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间
选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上概率为0.5，不符合，故A错；
选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合，故B错；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合，故C错；
选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对
故选：D
10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则
A. 1020B. 1010C. 510D. 505
【答案】D
【解析】
【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.
11. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【详解】解：设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.
12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中错误的是（ ）
A. 曲线过坐标原点
B. 曲线关于坐标原点对称
C. 曲线关于坐标轴对称
D. 若点在曲线上，则的面积不大于
【答案】A
【解析】
【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论．
【详解】解：由题意设动点坐标为，则，
即，
即曲线的方程为，
若曲线过坐标原点，将点代入曲线的方程中可得与已知矛盾，
故曲线不过坐标原点，故A错误；
把方程中的被代换，被代换，方程不变，
故曲线关于坐标原点对称，故B正确；
因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，
把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，
故曲线关于坐标轴对称，故C正确；
若点在曲线上，则，
，当且仅当时等号成立，
故的面积不大于，故D正确.
故选：A.
二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间内的汽车大约有______辆．
【答案】
【解析】
【分析】由频率分布直方图求出频率，即可估计数量.
【详解】解：由频率分布直方图可知所对应的频率为，
所以速度在区间内的汽车大约有（辆）.
故答案为：
14. 向量=(1，2，-1)，=(2，1，a)，若，则a=_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据两向量垂直可得，代入坐标列出等式计算即可.
【详解】，=(1，2，-1)，=(2，1，a)，
，解得.
故答案为：4
15. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，解得或
所以
【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题．
16. 在矩形中，，，现向该矩形内随机投一点，则的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知求出矩形的面积，以及使成立的点的对应区域面积，利用几何概型求值.
【详解】解：由题意，，
矩形的面积为，如图，
使成立的区域为以为直径的半圆，面积为，
由几何概型公式得到向该矩形内随机投一点，则的概率为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查几何概型中的面积型及圆的面积公式，属于中档题.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 2021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.
（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；
（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法,列举出偏理方向和偏文方向的所有情况,即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率.
（2）利用列举法,列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能,即可求得两人选课相同的概率.
【详解】（1）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；
偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六种选择.
由以上可知共有12种选课模式.
小明选择偏理方向又选择生物的概率为.
（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三种选择,
同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化, 生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]
由以上可知共有9种选课法,两人选课相同有三种,
所以两人选课相同的概率.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能即可求解,属于基础题.
18. 命题p：曲线表示一个圆；命题q：指数函数在定义域内为单调递增函数.
（1）若为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）所给方程化为圆的标准方程，根据p为真命题知，解不等式即可；（2）由指数函数的单调性求出当p为真命题时m的取值范围，根据题意知p，q中有且仅有一个为真命题，分类讨论求参数m的范围.
【详解】（1）方程即为，
由为假命题，知p为真命题，则，
解得或，
则m的取值范围是.
（2）由（1）可知，p为真命题时m范围为：或，
当q为真命题时，解得，
由为真，为假，则p，q中有且仅有一个为真命题.
当p为真，q为假时m的范围为：，
当p为假，q为真时m的范围为：，
综上所述，m的取值范围是.
19. 如图所示，已知直三棱柱，，，，、分别是所在棱上的中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线、所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法确定直线的位置关系；
（2）利用向量法求异面直线所成的角.
【小问1详解】
如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，即
【小问2详解】
由题意得B(0，1，0)，，∴＝(0，1，2)，
·∴.，
故所求异面直线、所成的角的余弦值
20. 给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.
（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；
（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.
【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；
（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线的准线方程为：，
所以条件④不适合题意，
当选择条件③时，，
此时适合题意，
故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；
（2）假设总有，
由题意得直线的斜率不为，
设直线的方程为，
由得
设，
所以恒成立，，，
则，
所以，
所以，
综上所述，无论如何变化，总有.
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.
21. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面，，，点E是线段SD上的点，且 ().
（1）求证：对任意的，都有；
（2）设二面角的大小为，直线BE与平面ACE所成角为，当时，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接BD，先证AC面SBD，又BE面SBD，易证出；
（2）以D为原点，，，的方向为正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量分别计算二面角的余弦值和直线BE与平面ACE所成角的正弦值即可.
【详解】（1）连接BD，由ABCD是正方形，可得ACBD，
又平面ABCD，则ACSD，又，
所以AC面SBD，又BE面SBD，
所以；
（2）以D为原点，，，的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设面CAE的法向量为，
则，设，，，取，
又由平面，
所以可作为面ADE的一个法向量，
所以，，
面CAE的法向量，，
，
则.
【点睛】方法点睛：向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要步骤是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，左顶点为，过点A作斜率为的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的都有，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）存在；
（3）
【解析】
【分析】
（1）先利用题给条件求得的值，进而求得椭圆C的方程；
（2）假设存在点满足题目要求，列出方程组求得其坐标即可解决；
（3）先求得的表达式，再利用均值定理即可求得的最小值.
【小问1详解】
由题意得，，则，则
则椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设过点A作斜率为的直线l为：，，则
由，整理得，
则，，则，
假设存定点，则，
则恒成立，
则对任意恒成立，
则，解之得.则
【小问3详解】
设过O点作直线l的平行线为，
由，可得，
不妨令，则，
又，,
则
（当且仅当时等号成立），则最小值为.