四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(文科)试题

这是一份四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(文科)试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为：.
故选：C
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到点的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间两点距离坐标公式即可.
【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得：.
故选：C
3. 在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（ ）
A. 3，13，23，33，43B. 11，21，31，41，50
C. 3，6，12，24，48D. 3，19，21，27，50
【答案】A
【解析】
【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.
【详解】依题意，组距为，
所以A选项符合，BCD选项不符合.
故选：A
4. 命题“”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】解：因为命题是全程量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，
故选：B
5. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充要条件的定义即可判断.
【详解】根据不等式的性质可得，“”是“”的充要条件.
故选：C
6. 已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（ ）
A. 当时，直线l总与x轴相交
B. 当时，直线l经过坐标原点O
C. 当时，直线l是x轴所在直线
D. 当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，直线（A，B不同时为）.
A选项，当时，，直线方程可化为，
此时直线总与轴有交点，A选项正确.
B选项，当时，直线方程为，
此时直线经过原点，B选项正确.
C选项，当时，，直线方程可化为，
此时直线l是x轴所在直线，C选项正确.
D选项，当时，如，
直线过点，即直线与两坐标轴同时相交，D选项错误.
故选：D.
7. 执行如图所示的程序语句，若输入，则输出y的值为（ ）
A. 4B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析程序框图的运行过程知，本题的功能为计算并输出分段函数的值，因为输入，所以执行的是，进而可得解.
【详解】由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数的值，
当时，满足，
∴执行，
∴输出的值为．
故选：C
8. 已知F是抛物线焦点，M是抛物线上一点，且满足（O为坐标原点），则的值为（ ）
A. 4B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，求得点坐标并代入抛物线方程，从而求得，也即求得.
【详解】依题意，，设，
由于，不妨设在第一象限，
则，即，
将点坐标代入得，
即，
由于，所以，即.
故选：A
9. 已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：B
10. 已知，命题，命题表示焦点在x轴上的椭圆.则下列命题中为假命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次不等式的求解以及椭圆标准方程的概念，解得不等式的解集，可得命题的真假，结合逻辑用语的概念，可得答案.
【详解】对于命题，由，，解得，则命题为真命题；
对于命题，由方程表示焦点在x轴上椭圆，则，解得，故命题为真命题；
综上，可知命题，，为真命题，命题为假命题.
故选：B.
11. 在平面直角坐标系xOy内，对任意两点，，定义A，B之间的“曼哈顿距离”为，记到点O的曼哈顿距离小于或等于1的所有点形成的平面区域为.现向的圆内随机扔入N粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在内的豆子为M粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据得，作出平面区域，根据几何概型计算求解即可.
【详解】设，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，.
则平面区域为下图中的四边形ABCD及其内部，其面积为，
根据几何概型公式可得：，.
故选：B
12. 已知有相同焦点，的椭圆与双曲线在第一象限的交点为A，若（O为坐标原点）是等边三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中关系及公交点求解即可.
【详解】（O为坐标原点）是等边三角形，且，则，
且，则，
，
所以，即得，
所以
故选：A
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于______.
【答案】14
【解析】
【分析】设左、右焦点为,利用椭圆的定义即得解.
【详解】设左、右焦点为, 设，
由题得
因为，所以.
所以点P与另一个焦点的距离等于14.
故答案为：14
14. 为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）
【答案】
【解析】
【分析】依据频率分布直方图，计算时对应的数值，即为中位数.
【详解】解：，，所以中位数在之间，
设中位数为，则有，
所以
故答案为：.
15. 甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率是，则乙不输的概率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】因为甲获胜的概率是，即乙输的概率为，
由对立事件的概率公式可知，乙不输的概率为.
故答案为：.
16. 已知双曲线的左，右焦点，，经过的直线l与双曲线的左支相交于P，Q两点.记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为.若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】充分利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的切线长相等，可得，，，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，同理的内切圆圆心的横坐标也为，则有轴，进一步得到，利用建立的齐次式，从而可解.
【详解】
记的内切圆圆心为，边、、上的切点分别为A、B、C，
易见、C横坐标相等，
则，，，
由，即，得，
即，记的横坐标为，则，
于是，得，
同理的内切圆圆心的横坐标也为，则有轴，
故圆与圆外切于点C.
在中，.
，则，
，即.
，
方程两边同除以，得，
解得或(舍去)，
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，直线.
（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；
（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用点坐标求得正确答案.
（2）利用点斜式求得所求直线的方程.
【小问1详解】
设经过点P且与直线l平行的直线的方程为，
将代入得，
所以所求直线方程为
【小问2详解】
直线的斜率为，
与直线垂直的直线的斜率为，
所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为，
即.
18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：
（1）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；
（2）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率.
【答案】（1）乙机床更稳定，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）计算甲、乙两种机床的生产次品的平均数和方差，说明稳定性；（2）分别计算从五天中任意抽取两天的方法种数和这两天中至多有一天次品数超过1的方法种数，利用古典概型公式计算概率即可.
【小问1详解】
甲机床的次品数为0,1,0,2,2，平均数为1，方差为；
乙机床的次品数为，平均数为1，方差为；
甲、乙两个机床生产的次品的平均数相等，甲机床次品数的方差大于乙机床次品数的方差，所以乙机床性能更稳定.
【小问2详解】
设从五天的数据中抽取两天，至多有一天的次品数超过1件为事件，
则从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，抽取的方法有种，
至多有一天的次品数超过1件，则.
19. 已知圆与直线相交于，两点.
（1）求的长；
（2）设圆经过点，及.若点在圆上，点在圆上，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可得的长；
（2）根据圆经过点，，可得圆心在圆心在轴上，设，半径为，即可求得圆的方程，再根据两圆上动点距离最值即可得的最大值.
【小问1详解】
圆化成标准方程为，则圆心为，半径，
圆与直线相交于，两点，则圆心到直线的距离为，
所以.
小问2详解】
由于圆与直线相交于，两点，所以或，
又圆经过点，，则圆心在轴上，设，半径为，则，
所以，解得
则圆，
若点在圆上，点在圆上，所以.
20. 某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：
假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，
（1）求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.
参考公式：，.
【答案】（1）；
（2）约万件.
【解析】
【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；
（2）将代入由（1）算得的回归方程可得答案.
【小问1详解】
由题，可得，
，
，
.
则，.
故回归方程为：.
小问2详解】
将代入回归方程，则.
故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约万件.
21. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设经过原点O的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点.求四边形ACBD的面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求椭圆方程；
（2）分类讨论当当直线AB的斜率不存在或直线AB的斜率为0时，计算面积；当直线AB的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程求得，由弦长公式求得，同理可得，进而求得面积，转化为求关于k的函数的最值.
【小问1详解】
由题意知，，
所以椭圆E的方程为；
【小问2详解】
①当直线AB的斜率不存在或直线AB的斜率为0时，A、B、C、D分别为椭圆的四个顶点，所以；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设：，则：，
设、、、，
，解得：，即：，
所以，
同理：，
所以，
令，则，
所以，，
当时，，
又因为，所以四边形ACBD的面积的最小值为.
22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设经过点的直线与曲线相交于、两点，经过点的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线（去掉原点），由此可得出曲线的方程；
（2）设点、、，分析可知，写出直线的方程，将点的坐标代入的方程，可得出，写出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，可得出，然后化简直线的方程，可求得直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：由题意可知，，
所以，点到点的距离等于点到直线的距离，
所以，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线（去掉原点），
设曲线的标准方程为，则，可得，
因此，曲线的方程为，其中.
【小问2详解】
解：设点、、，
若，则轴，此时直线的方程为，
则直线与曲线无公共点，不合乎题意，
直线的斜率为，
直线的方程为，
因为点在直线上，则，
所以，，可得，
同理可知，直线的方程为，
因为点在直线上，，
易知，所以，，
易知，直线的方程为，即，
即，即，
故直线的方程可化为，由，解得，
因此，直线恒过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.INPUTx
IF x<0 THEN
y=-x+1
ELSE
y=-x^2+3
END IF
PRINTy
END
销售网点数x（单位：个）
17
19
20
21
23
售卖出的产品件数y（单位：万件）
21
22
25
27
30