浙江省嘉兴市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份浙江省嘉兴市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了1）， 已知圆， 已知是抛物线， 直线与曲线的交点个数为， 已知和是双曲线， 已知曲线等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.
【详解】化为，
直线的斜率为，倾斜角为.
故选:D.
【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.
2. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，则应从丙型号产品中抽取（ ）
A. 10件B. 15件C. 20件D. 30件
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件求出分层抽样的抽样比，由此可求出丙型号的产品中抽取的件数.
【详解】依题意，丙型号产品在分层抽样中的抽样比为，
所以，从丙型号的产品中抽取的件数是：.
故选：B
3. 已知实数是2、8的等比中项，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由等比中项的定义列方程求解即可.
【详解】因为实数是2、8的等比中项，
所以，得，
故选：A
4. 已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
5. 已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由结合抛物线定义可求出的值，进而可求的坐标.
【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，
又，由抛物线的定义可知，解得，所以.
故选：A
6. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可
【详解】设等差数列的公差为，则，
因为，
所以，
因为等差数列和的前项和分别为、，满足，
所以，
所以，
故选：C
7. 直线与曲线的交点个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.
【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
8. 已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．
【详解】不妨设，
在△中，由余弦定理知，，
因为，
则，
两式联立得，
因为，，
整理得，化简得，
所以离心率．
故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 树德中学举行高中数学素养测试，对80名考生的参赛成绩进行统计，得到如下图所示的频率分布直方图，则（ ）

A. 成绩的极差一定大于40，不超过60
B. 成绩在的考生人数为8人
C. 成绩的众数一定落在区间内
D. 成绩的中位数一定落在区间内
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图逐个分析各个选项即可.
【详解】由频率分布直方图可知，
成绩的极差一定大于，不超过，故A正确；
成绩在的考生人数为人，故B正确；
最高频率的区间中点值估计众数，但不能说众数一定落在区间内，故C错误；
因为，，所以成绩的中位数一定落在区间内，故D正确.
故选：ABD
10. 已知曲线：（x，y不同时为0），则（ ）
A. 上两点间距离的最大值为
B. 若点在内部，则
C. 若与直线有公共点，则
D. 若与圆有公共点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合逐一判断选项即可.
【详解】曲线的图象是由半圆和此半圆分别关于轴、轴、原点对称的图象组合而成，如图所示：

对于A，曲线上两点间距离的最大值为，
故A错误；
对于B，由得，
由得，
所以当点在内部时，有，故B正确；
对于C，由曲线的图象可知，
当直线与半圆相切时，截距最大，
则由得或（舍去），
当直线与半圆相切时，截距最小，
则由得或（舍去），
所以若与直线有公共点，则，故C正确；
对于D，曲线：与坐标轴的交点为，，
当圆过点和时，最小，最小值为2，
当圆过点时，最大，最大值为，
所以若与圆有公共点，则，故D错误.
故选：BC
11. 记数列的前项和为，，，则（ ）
A. 可能是常数列
B. 可能是等比数列
C. 可能是等差数列
D. 可能既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意求得或，且或，结合选项，利用等差、等比数列的定义及性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为数列的前项和为，，且，
所以，可得，解得或，
又因为，可得，
两式相减得，即，
可得或，
对于A中，因为，或，所以数列不可能为常数列，所以A不正确；
对于B中，当时，数列满足且，
即，满足，所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以B正确；
对于C中，当时，数列满足且，
可得满足，所以数列为以为首项，为公差的得出数列，
所以C正确；
对于D中，当时，数列满足且，
由，不满足，则数列不是等比数列，
当时，数列满足且，
由，不满足，则数列不是等差数列，
即数列可能既不是等差数列，也不是等比数列，所以D正确.
故选：BCD.
12. 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆：，其倒椭圆：，为坐标原点，为上任意点，则（ ）
A. 的最小值为9
B. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为、，则
D. 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为、，则直线与曲线相切
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，设，，由基本不等式求出，A错误；B选项，画出图形，并将换成，换成，均满足，从而得到B正确；C选项，设，表达出直线斜率为，直线的斜率为，由斜率乘积不一定为-1得到C错误；D选项，表达出直线，与曲线联立，由根的判别式作出判断.
【详解】A选项，设，其中，，
，
则，当时取等，故的最小值为3，A错误；
B选项，曲线：的图形如下：
且将换成，换成，均满足，从而可知曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，B正确；
C选项，设，则，，
直线的斜率为，
又直线的斜率为，不一定成立，故与不一定垂直，C错误；
D选项，直线的方程为，其中
联立，
则
，
则直线与曲线相切，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 为了研究某产品的质量，现随机抽取个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图，则该样本质量的分位数为_______.

【答案】
【解析】
【分析】设该样本质量的分位数为，可知，根据百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】第一个矩形的面积为，
前两个矩形的面积之和为，
设该样本质量的分位数为，因为，则，
由百分位数的定义可得，解得.
故该样本质量的分位数为.
故答案为：.
14. 将数列和的公共项从小到大排列得到一个新的数列，则数列的前项和为_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以2首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为.
故答案为：.
15. 已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，由中点公式列出方程组，求得，进而求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
16. 已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理可得，求出的范围则可求得离心率的取值范围.
【详解】过点且与直线垂直的直线为，
两直线的交点，从而点.
点在椭圆上，
则，即
则.
由于，则，，
故答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆经过点、，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程；
（2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【小问1详解】
的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
【小问2详解】
由于，点到直线的距离，
即，解得
18. 某工厂现有甲、乙两条生产线，可生产同一型号的产品.为了提高生产线的稳定性和产品的质量，计划对其中一条生产线进行技术升级.为此，让甲、乙两条生产线各生产8天（每天生产的时间、产品总数均相同），两条生产线每天生产的次品数分别为：
（1）分别计算这两组数据的平均数和方差；
（2）请依据所学统计知识，结合（1）中的数据，给出升级哪条生产线的建议，并说明你的理由.
【答案】（1），；，
（2）选择乙生产线进行升级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求解；
（2）根据平均数和方差的实际意义判断．
【小问1详解】
设甲组数据的平均数和方差为、，乙组数据的平均数和方差为、.
，；
，
【小问2详解】
由于，甲生产线生产的次品平均数少于乙生产线生产的次品平均数；
又，甲生产线较乙生产线生产的产品质量更稳定.
综上，选择乙生产线进行升级
19. 已知等差数列满足，数列是等比数列，数列的前项和，
（1）求数列和的通项；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，结合等差、等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求解；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由数列的前项和，
当时，可得
可得， 因为，所以
则，解得或，
当时，可得，；
当时，可得，，
此时当时，，可得，不符合题意，（舍去）；
即数列和的通项，.
【小问2详解】
解：由（1）得，
可得，
则
两式相减得，
所以.
20. 已知、是抛物线：上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点
（1）证明：轴：
（2）若点的坐标为，求的面积.
注：抛物线在点处的切线方程为.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设出点和的坐标，可得切线、的方程，联立、的方程可得，问题得证；
（2）由轴，得，计算即可得结果.
【小问1详解】
设，，则中点，
直线：，：，
，解得，
即，从而轴.
【小问2详解】
由（1）可解得，则，即
由于轴，则
，
即的面积为.
21. 已知数列满足，.证明：
（1）；
（2）
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由由于，再由时，，即可证得.
（2）由，得到，即可得证.
【小问1详解】
证明：由于，
当时，，则，
所以.
【小问2详解】
证明：由于，可得，且，
又由，可得当时，，
则
，
所以
22. 已知双曲线的两个焦点坐标分别为、，的一条渐近线经过点..
（1）求双曲线的方程；
（2）若为的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为.证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；
（2）分析可知直线、均不与轴重合，设直线的方程为，直线的方程为，将直线的方程与圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，将直线的方程与圆的方程联立，求出点的纵坐标，同理可得出点的纵坐标，由已知可得，可得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，
又因为双曲线的一条渐近线过点，则，
由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
【小问2详解】
证明：因为过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，
则直线、均不与轴重合，

设直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
因为，解得，则，
即点，同理可得点，
由于直线与双曲线有两个交点，则，
联立可得，
因为，解得，同理可得，其中.
由于、两点关于原点对称，则.
化简可得，即或，
由于、两点在轴同侧，且，，
则不符合题意，所以，，
又直线斜率，
则直线的方程为，
直线经过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
甲
0
1
1
0
1
1
1
1
乙
1
2
3
0
0
0
1
1