山东省济南市历城第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市历城第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、方程的所有实数根组成的集合为( )
A.B.C.D.
2、设命题,,则命题的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、“”是“对任意的正数x,”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、函数的图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.
5、已知函数,则函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
6、达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,,数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:,,(其中).根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A.B.C.D.
7、已知的三个内角分别为A,B,C,若满足,,那么( )
A.B.C.D.
8、为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的( )倍.(当较小时,)
二、多项选择题
9、下列不等式中正确的是( )
A.B.
C.D.
10、已知,,,则( )
A.的最大值为B.的最大值为
C.的最小值为0D.的最小值为
11、已知函数下列说法正确的是( )
A.若,则有2个零点B.的最小值为
C.在区间上单调递减D.是的一个周期
12、定义:表示的解集中整数的个数.若,,则下列说法正确的是( )
A.当时,
B.当时,不等式的解集是
C.当时,
D.当时,若,则实数a的取值范围是
三、填空题
13、计算:________.
14、已知函数的图象恒过点P,若点P在角的终边上,则________.
15、已知,若方程有四个不同的解,则的取值范围是________.
16、定义在R上函数满足,且当时,.若当时,,则m的最小值等于________.
四、解答题
17、已知集合,集合,其中实数.
（1）当时,求;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18、（1）已知方程,的值.
（2）已知,是关于x的方程的两个实根,且,求的值.
19、已知函数.
（1）求的最小正周期以及对称轴方程;
（2）设函数,求在上的值域.
20、已知实数大于0,定义域为R的函数是偶函数.
（1）求实数的值并判断并证明函数在上的单调性;
（2）对任意的,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
21、科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型:①,
②,
③,.试分析这三个函数模型是否符合公司要求?
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?
22、已知奇函数和偶函数满足.
（1）求和的解析式;
（2）存在,,使得成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：解方程,得或,
方程的所有实数根组成的集合为.
故选:C.
2、答案：A
解析：因为命题,为特称命题,
所以该命题的否定为“,”.
故选:A.
3、答案：A
解析：分析:当对任意的正数x恒成立时,可得,
由,所以当时,,此时.
所以“”是“对任意的正数x,”的充分不必要条件.
故选A
4、答案：A
解析：
故则是偶函数,排除C,D,又当,.
故选:A.
5、答案：D
解析：因为,所以解得,所以函数的定义域为,
所以函数需满足且,解得且,
故选:D.
6、答案：A
解析：依题意,设.
则.
,.
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为.
则,
.
故选:A.
7、答案：C
解析：因为,所以在中,角A为锐角,
由可得:,则,
所以,
则,
故选:.
8、答案：B
解析：由题意,,
.
故选:B.
9、答案：AC
解析：对于A,因为在上递增,且,所以,所以A正确,
对于B,因为在R上递减,且,所以,所以B错误,
对于C,因为在上递减,且,所以,所以C正确,
对于D,因为,,所以,所以D错误,
故选:AC
10、答案：ABD
解析：对于选项A:因为,,,
所以,即,当且仅当时,ab有最大值,
又因为是单调递增函数,所以,故A正确;
对于选项B:由基本不等式的变形可知,,即,
当且仅当时,的最大值为,故B正确;
对于选项C:由,即,
当且仅当时,取得最小值,
因为在上单调递增,所以,
从而的最小值为,故C错误;
对于选项D:因为,,,
所以,
故,
当且仅当,即,时,有最小值,故D正确.
故选:ABD.
11、答案：CD
解析：
令,,则,
若,是函数的零点,即,,,,共4个零点,故A错误;
,函数单增,则当时,取最小值为,故B错误;
时,,,函数单增,单减,由复合函数单调性知,在区间上单调递减,故C正确;
,
则是的一个周期,故D正确;
故选:CD
12、答案：BCD
解析：根据题意,可转化为满足的整数x的个数.
当时,如图,数形结合得的解集中整数的个数有无数多个,故A错误;
当时,,数形结合(如图),由解得,
所以在内有3个整数解,为1,2,3,故B和C都正确;
当时,作出函数和的图象,如图所示,
若,即的整数解只有一个,
只需满足,即,解得,
所以时,实数a的取值范围是,故D正确;
故选:BCD.
13、答案：10
解析：
,
故答案为:10
14、答案：
解析：易知恒过点,即,
因为点在角的终边上,所以,
所以,,
所以,
故答案为:.
15、答案：
解析：作出函数的图象,如下图所示:
方程有四个不同的解,
则,,所以,
则,
设,,所以,
因为,所以,则,
则的取值范围为,
故答案为:.
16、答案：
解析：当时,故,
当时,故…,
可得在区间上,,
所以当时,,作函数的图象,如图所示,
当时,由得,
由图象可知当时,,所以m的最小值为.
故答案为:.
17、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由条件知:,,
,故.
（2）由题意知,集合A是集合B的真子集.
当时,,于是,而且,
,
又,则只需,又,解得
实数a的取值范围为.
18、答案：（1）;
（2）
解析：（1）由得:,
即,
,
;
（2）,是关于x的方程的两个实根,
,
解得:,
又,
,
,
即,
解得:,
,
.
19、答案：（1）最小正同期为,对称轴方程为
（2）
解析：（1）
,
所以的最小正同期为.
令,得对称轴方程为.
（2）由题意可知,
因为,所以,
故,所以,
故在上的值域为.
20、答案：（1）,在上单调递增,证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为为偶函数,且,所以,解得,又,所以,;
设,则,因为,所以,,所以,所以在上单调递增.
（2）因为为定义在R上的偶函数,且在上单调递增,,所以,平方得,又因为对任意不等式恒成立,所以,解得.
21、答案：（1）见解析;
（2）投资收益至少要达到万元
解析：（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数,
在且对,恒有且.
①对于函数,当时,,不符合要求;
②对于函数为减函数,不符合要求;
③对于函数在,
显然为增函数,且当时,;
又因为;
而,所以当时,.
所以恒成立;
因此,为满足条件的函数模型.
（2）由得:,所以,
所以公司的投资收益至少要达到8000万元.
22、答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为奇函数和偶函数满足①,所以②;联立①②得:,;
（2）变形为,因为,所以,所以,
当时,在上有解,符合要求;
令,由对勾函数可知,当时,在上单调递减,在上单调递增,,要想上有解,只需,解得:,所以;
若且,在上单调递增,要想上有解,只需,解得:,所以;综上:实数a的取值范围为.