山东省济南市历城第二中学2022-2023学年高三第二次摸底考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市历城第二中学2022-2023学年高三第二次摸底考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、在,“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、已知向量,,若,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4、《张邱建算经》记载:今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问第11日到第20日这10日共织布( )
A.30尺B.40尺C.6尺D.60尺
5、已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
6、在平面直角坐标系中,P为圆上的动点,定点.现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折,与y轴右侧半圆所在平面成的二面角,使点A翻折至,P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动,则,P两点间距离的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、函数(且)的所有零点之和等于( )
A.B.C.D.
8、已知函数满足,,若对任意正数a,都有,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列四个命题中,正确的有( )
A.数列的第项为
B.已知数列的通项公式为,则-8是该数列的第7项
C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为
D.数列的通项公式为,则数列是递增数列
10、关于函数,下列叙述正确的是( )
A.其图象关于直线对称
B.其图象关于点对称
C.其值域是
D.其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到
11、如图,在四棱锥的平面展开图中,四边形ABCD为直角梯形,,,.在四棱锥中,则( )
A.平面平面PBD
B.平面PBC
C.三棱锥的外接球表面积为
D.平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为
三、填空题
12、若函数,,则________.
13、已知,则________.
14、已知数列各项均为正数,若,且,则的通项公式为________.
15、给出下列四个命题:
①若存在实数x,y,使,则与,共面;
②若与,共面,则存在实数x,y,使;
③若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面;
④若点P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使.
其中________是真命题.(填序号)
16、函数,若存在a,b,c（）,使得,则的最小值是________.
四、解答题
17、设等差数列的前项和为,已知,.
（1）求数列的通项公式及;
（2）若___________,求数列的前n项和.
在①;
②;
③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中,并对其求解.
18、如图,在中,点D在BC边上,,,,
（1）求的值;
（2）求的面积.
19、已知等比数列的各项均为正数,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,记为的前n项和,证明:.
20、如图,圆心角为的扇形AOB的半径为2,点C是弧AB上一点,作这个扇形的内接矩形CDEF.
（1）求扇形AOB的周长;
（2）当点C在什么位置时,矩形CDEF的面积最大?并求出面积的最大值.
21、如图,在直三棱柱中,,,D是棱AB的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:.
22、已知,(n为正整数,).
（1）当时,设函数,,证明:有且仅有1个零点;
（2）当时,证明:.
参考答案
1、答案：C
解析：,
,
.
故选:C.
2、答案：C
解析：当,因为在内单调递减,所以,所以“”是“”的充分条件;
当时,因为在内单调递减,所以,所以“”是“”的必要条件.
故选:C
3、答案：B
解析：,当且仅当时等号成立,
则的最小值为.
故选:B.
4、答案：A
解析：由题女子织布数成等差数列,设第n日织布为,有,,所以
,
故选:A.
5、答案：D
解析：因为函数,是定义在R上偶函数,是定义在上的奇函数,故函数为奇函数,其图象关于原点对称,故A,C不正确,又因为函数,当时,,故当时,;当时,;当时,;故B不正确,故选D
6、答案：B
解析：设A所在平面为,圆的另一半所在平面为,
若,则P,A,O三点共线时,有最小值;当P在圆的下端点时,取到最大值,即;
若,设,在上的投影为距离为,则到面距离为,又到y轴的距离为3,到y轴的距离为,而到x轴的距离为2,则,其中,,,故,当且仅当时成立;,当且仅当时成立;即;
综上可得,,
故选:B
7、答案：B
解析：令,则,如图,画出函数,的图像,
函数(且)的所有零点之和等于函数的图像与函数的图像交点横坐标之和,
如图,两函数图像都关于对称,由图知两函数图像共有八个交点,横坐标之和为,
所以函数(且)的所有零点之和等于.故A,C,D错误.
故选:B.
8、答案：D
解析：依题意,,,
构造函数,则.
由得:
,
令,
,
所以在区间,,递增;在区间,,递减,
所以在区间上的最大值是,
所以,所以在上单调递减.
,
当且仅当,,时等号成立,
所以,则,,
,,,
所以x的取值范围是.
故选:D
9、答案：ABD
解析：A,数列的第k出项为,A正确;
B,令,得或(舍去),B正确;
C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为,则其通项公式为,因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为C错误;
D,,则,
因此数列是递增数列,D正确,
故选:ABD.
10、答案：ACD
解析：对于A,令,,解得,,故图象关于直线对称,故A正确,
对于B,令,解得,,故不是对称中心,故B错误,
对于C,函数,故C正确,
对于D,由三角函数图象变换知D正确,
故选:ACD
11、答案：AC
解析：由四棱锥的平面展开图还原立体图,
可得平面ABCD,,,
平面ABCD,,
底面ABCD为直角梯形,,,
则以B为坐标原点,BC,BA,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示直角坐标系,
在直角梯形ABCD中,,
所以,即,而上述证明得,
又因为PB,平面PBD,,
所以平面PBD,又平面PAD,
所以平面平面PBD,故A正确;
对B选项,由,可知,,,,,则,
,,,且PB,平面PBC,
平面PBC,故为平面PBC的一个法向量,
根据底面为梯形,则显然AD不垂直AB,则AD不平行平面PBC,故B错误,
对C选项,将三棱锥补成长为2,宽和高为1的长方体,
则三棱锥的外接球,即为长方体的外接球,
其半径,
故表面积为,故C正确,
由点坐标得,,
设平面的法向量为,
则,令,则,得
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
,故其夹角的正弦值为,故D错误,
故选:AC.
12、答案：,
解析：,
,
解得,
即函数的定义域为,
,
,
解得或,
函数的定义域为,
故函数的定义域为
,
故答案为:,
13、答案：
解析：,
函数的最小正周期为6,
,
,
故答案为:.
14、答案：/
解析：由已知可得,所以,,
所以,数列是等比数列,且该数列的首项为,公比为e,因此,.
故答案为:.
15、答案：①③
解析：①由共面向量定理知,正确;
②若,共线,则不与,共线,则不存在实数x,y,使,故错误;
③由共面向量定理知,正确;
④若,共线,不与,共线,则不存在实数x,y,使,故错误.
故答案为:①③
16、答案：.
解析：设,则,,,且,
由,得,由,得,
所以,
设,则,,
设,则,
所以在单调递减,在单调递增,
所以,故的最小值是.
故答案为:.
17、答案：（1）,;
（2）见解析.
解析：（1）设等差数列的公差为d,首项为,则,
,解得,
所以.
（2）选①:由（1）知,,所以
,.两式相减得:
所以.
选②:由（1）,
所以.
选③:由（1）,则,
当n为偶数时,,
当n为奇数时,,
所以.
18、答案：（1）;
（2）330.
解析：（1）在中,由得,显然,
由得,又,
所以.
（2）在中,由正弦定理得:,
所以的面积是.
19、答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设等比数列的公比为q,
因为,所以,
又因为数列为各项均为正数的等比数列,所以,
所以或(舍),
又因为,所以.
（2）因为,所以,
又因为,所以,所以,,
所以是以1为首项,以为公比的等比数列,
所以,所以.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题,弧AB长为,故扇形AOB的周长为:;
（2）设,,,则,,,
所以,
所以矩形CDEF的面积
,
,所以当时,S取得最大值,
即当C在弧AB中点时,矩形CDEF的面积最大,最大值为.
21、答案：（1）见详解;
（2）见详解.
解析：（1）连接,设,连接OD,在直三棱柱中,侧面是平行四边形,
所以:O为的中点,又因为:D是棱AB的中点,所以:,
又因为:平面,平面,所以:平面.
（2）由（1）可知:侧面是平行四边形,因为:,所以:平行四边形是菱形,
所以:,在直三棱柱中,平面ABC,因为:平面ABC,所以:,
又因为:,,平面,平面,
所以:平面,因为:平面,所以:,
又因为:,,平面,平面,所以:平面,
因为:平面,所以:.
22、答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）当时,
记,则
所以在区间上单调递增
而,
所以存在,使得,即
当时,,单调递减
当时,,单调递增
又,,
所以在上没有零点,在上有一个零点,
综上所述,函数在内只有一个零点.
（2）当时,,
要证,
即证,
令,则,
所以在单调递减,,即,
要证只需证,
令,则,
在单调递减,在单调递增,
,即,
,即,
所以成立,
原命题得证.