株洲市第二中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份株洲市第二中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数满足(i是虚数单位),则( )
A.B.C.D.1
3、“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知,直线,若l与相离,则( )
A.点在l上B.点在上C.点在内D.点在外
5、已知三角形中三边长为a,b,c,若,,成等差数列,则直线与直线的位置关系为( )
A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合
6、在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天,那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要( )轮传染?(初始感染者传染个人为第一轮传染,这个人每人再传染个人为第二轮传染……)
A.4B.5C.6D.7
7、用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形,制成一个圆锥形容器,当该圆锥形容器的容积最大时,扇形的圆心角为( )
A.B.C.D.
8、,,,则a,b,c的大小关系为( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、如图是函数的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是( )
A.在上增函数B.在上是减函数
C.当时,取得极小值D.当时,取得极大值
10、已知正四棱柱的底面边为1,侧棱长为a,M是的中点,
则( )
A.任意,
B.存,直线与直线BM相交
C.平面与底面交线长为定值
D.当时,三棱锥外接球表面积为
11、已知数列的前项和为,且,则( )
A.B.
C.数列为等差数列D.n为奇数时,
12、设O为坐标原点,F为抛物线的焦点,过焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M,N两点(点M在第二象限),当时,,则下列说法正确的是( )
A.
B.的面积的最小值为
C.存在直线l,使得
D.分别过点M,N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
三、填空题
13、已知,,若,则m的值为______.
14、记为等差数列的前n项和,,,则___________.
15、若椭圆的焦点在x轴上,过点作圆的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是______________
16、如图所示,平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD满足,,,若点A,C分别为椭圆()的上､下顶点,点B在椭圆E上,点D不在椭圆E上,则椭圆E的焦距为___________.
四、解答题
17、已知数列的首项,且满足.
（1）求证:数列为等比数列;
（2）若,求满足条件的最大整数.
18、已知曲线(a,b为常数)在处的切线方程为.
（1）求a,b的值;
（2）求曲线过点的切线方程.
19、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）证明:
（2）若为锐角三角形,且,求a的取值范围.
20、如图,在等腰直角三角形ABC中,,D是AC的中点,E是AB上一点,且.将沿着DE折起,形成四棱锥,其中A点对应的点为P.
（1）在线段PB上是否存在一点F,使得平面PDE?若存在,指出的值,并证明;若不存在,说明理由;
（2）设平面PBE与平面PCD的交线为l,若二面角的大小为,求四棱锥的体积.
21、已知双曲线(,)的渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程;
（2）设A,B是双曲线C右支上不同的两点,线段AB的垂直平分线l交AB于M,点M的横坐标为2,则是否存在半径为1的定圆P,使得l被圆P截得的弦长为定值,若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由.
22、已知函数.
（1）若在上单调递增,求实数k的取值范围;
（2）若存在极小值,且极小值等于,求证:.
参考答案
1、答案：C
解析：因为,
解得,且,所以,1,2,3,
所以,所以.
故选:C.
2、答案：B
解析：因为,
所以,
解得.
故选:B
3、答案：A
解析：方程表示双曲线等价于,即或,
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选:A
4、答案：C
解析：由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径,
不妨设r为的半径,即有,
故,由于,则,所以,
则点在内,
故选:C.
5、答案：D
解析：因为,,成等差数列,所以,即,
对于直线与直线,满足,
所以直线与直线重合.
故选:D
6、答案：B
解析：感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为,
经过n轮传染,总共感染人数为:
即,解得,
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染,
故选:B
7、答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么
因此,()
令得
当时,
当时,
时,V取得极大值,并且这个极大值是最大值.
把代入,得
由,得
即圆心角为弧度时,漏斗容积最大
故选:D.
8、答案：
解析：令,则,
则在上单调递增,故,则.
令,则,
则在上单调递增,故,则.
所以,即;
令,则,
因为,所以,则,故,
所以在上单调递增,则,即,
易知,所以,则,即;
综上:.
故选:B.
9、答案：BC
解析：从导函数图像可以看出函数在,上为单调减函数;
在,上为增函数,故A错B对,C对D错.
故选:BC
10、答案：AC
解析：对于A,,,,,平面,
平面,平面,,故正确;
对于B,因为平面,平面,
所以平面,
与异面,故不相交,故错误;
对于C,延长BM,交于N点,连接交于P,M为中点,
,
所以,
所以,,
所以,
平面平面,
平面与底面交线为,
其中P为中点,所以,故正确对;
对于D,,是直角三角形,外接圆是以为直径的圆,
圆心设为,半径,
取中点Q,则平面,,
所以,
所以,
,故错误.
故选:.
11、答案：ABD
解析：对于A选项,,A对;
对于B选项,因为,则,
对任意的,由可得,
上述两个等式作差可得,
所以,数列中的奇数项成以1为首项,公差为2的等差数列,
数列中的偶数项成以1为首项,公差为2的等差数列,
当n为奇数时,设,则,
当n为偶数时,设,则,
综上所述,,B对;
对于C选项,,故数列不是等差数列,C错;
对于D选项,当为奇数时,设,则,
则
,D对.
故选:ABD.
12、答案：ABD
解析：作出如图所示图形:
对A,由抛物线定义及题意得,
即,解得,故A正确;
对B,,则,当直线的斜率不存在时,显然不合题意,
设,,
设直线l的方程为,联立抛物线得
,则,
,
当且仅当时等号成立,故B正确;
对C,
,
故钝角,则不存在直线l,使得,故C错误;
对D,,即,故,
故在点M处的切线斜率为,在点处的切线斜率为,
故斜率之积为,故相切的两条直线互相垂直,故D正确.
故选:ABD.
13、答案：6
解析：,
,即,
,解得.
故答案为:6.
14、答案：4
解析：因,所以,即,
所以.
15、答案：
解析：∵点在圆外,过点与圆相切的一条直线为,且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,椭圆的右焦点为,即,设点,连接OP,则,,.又直线AB过点,直线AB的方程为,点在直线AB上,,又,,故椭圆方程是.
16、答案：4
解析：由题意得,,设,.连接BD,
由,,可知A,B,C,D在以BD为直径的圆M上,且,
又原点O为圆M的弦AC的中点,
所以圆心在AC的垂直平分线上,即在x轴上,则,又,
所以,
因为,所以,
所以,
当时,则0,
若,则四边形ABCD为矩形,则点D也在椭圆E上,与点D不在椭圆E上矛盾,
所以,所以,故圆M的圆心坐标为,
所以圆M的方程为,将代入可得,又,
所以,故椭圆E的焦距为.
故答案为:4.
17、答案：（1）见解析
（2）2022
解析：（1）由题设可得,
所以.
又,
所以是以首项,为公比的等比数列
（2）由（1）可得,即,
所以
显然右边是递增数列,
易知,当时,,
时,不满足题意,
所以满足条件的最大整数是2022.
18、答案：（1）
（2）或
解析：（1）,依题意可得,,
当,代入直线方程得,将点代入曲线方程,求得;
（2）设切点,则,切线方程为,
切点既在切线上,也在曲线上,
从而有,①
,②
联立①②消去,整理可得,
,
解得或,切点为或,
从而切线方程为或.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得:
,则.
因为,,所以,,
因为,则.
所以,或(舍去),即
（2）由为锐角三角形,可得,即,
解得,所以,,则,
由正弦定理可得,
则
.
故a的取值范围是.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,平面PDE,证明如下:
过点C作,垂足为H,
在PE上取一点M,使得,连接HM,FM,
因为,,所以且,
因为D是AC的中点,且,所以且,
所以且,所以四边形CFMH是平行四边形,即,
又因为平面PDE,平面PDE,所以平面PDE;
（2）延长CD,BE交于点A,连接PA,
作PA的中点T,连接TD,TE,
易知平面PBE与平面PCD的交线l即为PA,
因为,,T为PA的中点,
所以,,
所以即为二面角的平面角,
因为,,,且AE,平面APE,
所以平面APE,
因为平面ABC,所以平面平面PAB,
因为平面APE,所以,
因为,且易知,所以,
所以,则,
所以,
所以四棱锥的高,
又四边形BCDE的面积,
所以四棱锥的体积.
21、答案：（1）
（2）2
解析：（1）设双曲线的右焦点,则点到渐近线的距离为,
即,解得,又渐近线方程为,即,且,
解得,,所以双曲线方程为.
（2）设,,AB的中点为,
由AB中点的横坐标为2可得,
因为A,B是双曲线C上不同的两点,所以,
得,
当存在时,,
因为AB的中垂线为直线l,所以,即,
所以l过定点,
当不存在时,A,B关于x轴对称,AB的中垂线l为x轴,此时l也过,
所以存在定圆,使得l被圆P截得的弦长为定值2.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为在上单调递增,
所以在上恒成立,且不恒等于,
由可得,
令,则,
所以在上单调递减,
所以;
（2）因为,其定义域为,
所以,
①当时,,所以当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以的极小值为,而,不合题意,
②当时,由可得或,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的极小值为,而,不合题意,
③当时,,在上单调递增,不合题意,
④当时,由可得或,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的极小值为,
令,则,
所以,
令,则,,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
令,
则
,所以在上单调递增,所以,
所以当时有,
因为,所以,
又因为在上单调递减,所以,
所以,即.