(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习06《二次函数与幂函数》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m
C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1
【答案解析】答案为：D.
解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2﹣1＜2n，∴﹣1＜n＜0，综上所述，选D.
幂函数y＝(m2﹣3m＋3)xm的图象过点(2,4)，则m＝( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【答案解析】答案为：D.
解析：∵幂函数y＝(m2﹣3m＋3)xm的图象过点(2,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m＋3＝1，,2m＝4，))解得m＝2.故选D.
若(2m＋1)0.5＞(m2＋m﹣1)0.5，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣eq \f(1＋\r(5),2)] B.[eq \f(\r(5)－1,2)，＋∞)
C.(﹣1,2) D.[eq \f(\r(5)－1,2)，2)
【答案解析】答案为：D.
解析：因为函数y＝x0.5的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－\f(1,2)，,m≤\f(－\r(5)－1,2)或m≥\f(\r(5)－1,2)，,－1即eq \f(\r(5)－1,2)≤m＜2.故选D.
幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq \r(3,3))，则f(x)是( )
A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
【答案解析】答案为：C.
解析：设f(x)＝xa，将点(3，eq \r(3,3))代入f(x)＝xa，解得a＝eq \f(1,3)，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
幂函数f(x)＝(m2﹣4m＋4)· SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
【答案解析】答案为：B.
解析：由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4m＋4＝1，,m2－6m＋8>0，))解得m＝1，故选B.
“a＝1”是“函数f(x)＝x2﹣4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A.
解析：由a＝1可得f(x)＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，图象开口向上，图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数.由函数f(x)＝x2﹣4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，可得2a≤2，解得a≤1.所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2﹣4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.
二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则该函数的解析式是( )
A.f(x)＝2x2﹣8x＋11 B.f(x)＝﹣2x2＋8x﹣1
C.f(x)＝2x2﹣4x＋3 D.f(x)＝﹣2x2＋4x＋3
【答案解析】答案为：D;
解析：二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，则图象的对称轴为x＝1，
又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x﹣1)2＋5(a≠0)，于是3＝a＋5，解得a＝﹣2，
故f(x)＝﹣2(x﹣1)2＋5＝﹣2x2＋4x＋3.故选D.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(﹣1,7)，则a，b的值分别是( )
A.2,4 B.﹣2,4 C.2，﹣4 D.﹣2，﹣4
【答案解析】答案为：C.
解析：∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴﹣eq \f(b,2a)＝1.①
又图象过点P(﹣1,7)，∴a﹣b＋1＝7，即a﹣b＝6， ②
联立①②解得a＝2，b＝﹣4，故选C.
若函数f(x)＝x2﹣2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )
A.﹣3 B.2 C.﹣2 D.1
【答案解析】答案为：C.
解析：函数f(x)＝x2﹣2x＋m图象的对称轴为x＝1＜3，二次函数图象的开口向上，所以f(x)在[3，＋∞)上是增函数，因为函数f(x)＝x2﹣2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即9﹣6＋m＝1，解得m＝﹣2，故选C.
若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2﹣x)，则( )
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
【答案解析】答案为：A.
解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2﹣x)，∴函数图象关于x＝2对称，由a＞0知f(x)min＝f(2)，由2﹣1＜4﹣2，得f(1)＜f(4)，故选A.
已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a＜0)，若x1＜x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)＝f(x2) B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＜f(x2) D.与x的值无关
【答案解析】答案为：C.
解析：由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴方程为x＝eq \f(1,4)，
因为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，
由x1＜x2，结合二次函数的图象可知f(x1)＜f(x2).
函数y＝eq \r(2ax2＋4x＋a－1)的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞)
C.[﹣1,2] D.[0,2]
【答案解析】答案为：D.
解析：当a＝0时，y＝eq \r(4x－1)，值域为[0，＋∞)，满足条件；
当a≠0时，要使y＝eq \r(2ax2＋4x＋a－1)的值域为[0，＋∞)，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝16－8aa－1≥0，))解得0＜a≤2.综上可知a的取值范围为[0,2].
二、填空题
已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(eq \f(1,3)，eq \r(3))，则f(eq \f(1,2))＝________.
【答案解析】答案为：eq \r(2).
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(eq \f(1,3)，eq \r(3))代入解析式得3﹣α＝eq \r(3)，
解得α＝﹣eq \f(1,2)，∴f(x)＝x﹣0.5，f(eq \f(1,2))＝eq \r(2).
已知抛物线y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的顶点在x轴上，则m＝________.
【答案解析】答案为：15
解析：∵抛物线y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的顶点在x轴上，
∴其顶点的纵坐标0，即m2﹣30m＋225＝0，∴(m﹣15)2＝0，∴m＝15.
已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________.
【答案解析】答案为：f(x)＝x2.
解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
若二次函数f(x)＝ax2﹣x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围为________.
【答案解析】答案为：[2，＋∞).
解析：由已知可得，a＞0，且判别式Δ＝1﹣4ab＝0，即ab＝eq \f(1,4)，∴b＞0，∴a＋4b≥2eq \r(4ab)＝2eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))当且仅当a＝1，b＝eq \f(1,4)时等号成立eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))，即a＋4b的取值范围为[2，＋∞).
三、解答题
已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
【答案解析】解：法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求二次函数为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x﹣m)2＋n.
∵f(2)＝f(﹣1)，
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(1,2).
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a(x﹣eq \f(1,2))2＋8.
∵f(2)＝﹣1，∴a(2﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，
∴f(x)＝﹣4(x﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，
故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)，即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1.
又函数有最大值ymax＝8，解得a＝﹣4或a＝0(舍).
∴所求函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
已知函数f(x)＝x2＋(2a﹣1)x﹣3.
(1)当a＝2，x∈[﹣2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1，求实数a的值.
【答案解析】解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x﹣3＝(x＋eq \f(3,2))2﹣eq \f(21,4)，
又x∈[﹣2,3]，所以f(x)min＝f(﹣eq \f(3,2))＝﹣eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，所以所求函数的值域为[eq \f(21,4)，15].
(2)对称轴为x＝﹣eq \f(2a－1,2).
①当﹣eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥﹣eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝﹣eq \f(1,3)，满足题意；
②当﹣eq \f(2a－1,2)≥3，即a≤﹣eq \f(5,2)时，f(x)max＝f(1)＝2a﹣3，
所以2a﹣3＝1，即a＝2，不满足题意；
③当1＜﹣eq \f(2a－1,2)＜3，即﹣eq \f(5,2)＜a＜﹣eq \f(1,2)时，
此时f(x)max在端点处取得，
令f(1)＝1＋2a﹣1﹣3＝1，得a＝2(舍去)，
令f(3)＝9＋3(2a﹣1)﹣3＝1，得a＝﹣eq \f(1,3)(舍去).
综上，可知a＝﹣eq \f(1,3).
已知函数f(x)＝x2＋ax＋3﹣a，若x∈[﹣2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
【答案解析】解：f(x)＝(x＋eq \f(a,2))2﹣eq \f(a2,4)﹣a＋3，令f(x)在[﹣2,2]上的最小值为g(a).
(1)当﹣eq \f(a,2)＜﹣2，即a＞4时，g(a)＝f(﹣2)＝7﹣3a≥0，
∴a≤eq \f(7,3).又a＞4，∴a不存在.
(2)当﹣2≤﹣eq \f(a,2)≤2，即﹣4≤a≤4时，g(a)＝f(﹣eq \f(a,2))＝﹣eq \f(a2,4)﹣a＋3≥0，
∴﹣6≤a≤2.又﹣4≤a≤4，∴﹣4≤a≤2.
(3)当﹣eq \f(a,2)＞2，即a＜﹣4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥﹣7.
又a＜﹣4，∴﹣7≤a＜﹣4.
综上可知，a的取值范围为[﹣7,2].
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，F(x)＝ SKIPIF 1 < 0 求F(2)＋F(﹣2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围.
【答案解析】解：(1)由已知c＝1，a﹣b＋c＝0，且﹣eq \f(b,2a)＝﹣1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2，
∴F(x)＝ SKIPIF 1 < 0
∴F(2)＋F(﹣2)＝(2＋1)2﹣(﹣2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于﹣1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤eq \f(1,x)﹣x且b≥﹣eq \f(1,x)﹣x在(0,1]上恒成立.
又eq \f(1,x)﹣x的最小值为0，﹣eq \f(1,x)﹣x的最大值为﹣2，
∴﹣2≤b≤0，故b的取值范围是[﹣2,0].