(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习08《对数与对数函数》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
计算(lg29)(lg32)＋lgaeq \f(5,4)＋lga(eq \f(4,5)a)(a＞0，且a≠1)的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案解析】答案为：B.
解析：原式＝(2lg23)(lg32)＋lgaa＝2×1＋1＝3.
函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域是( )
A.(﹣eq \f(1,3)，＋∞) B.(﹣eq \f(1,3)，0)∪(0，＋∞)
C.[﹣eq \f(1,3)，＋∞) D.[0，＋∞)
【答案解析】答案为：B.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,ln3x＋1≠0，))解得x＞﹣eq \f(1,3)且x≠0，故选B.
若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A.lg2x B.eq \f(1,2x) C.lg 0.5x D.2x﹣2
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意知f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1).
∵f(2)＝1，∴lga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝lg2x.
函数f(x)＝lga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )

【答案解析】答案为：A.
解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝lga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
函数y＝eq \f(xln|x|,|x|)的图象可能是( )
【答案解析】答案为：B.
解析：易知函数y＝eq \f(xln|x|,|x|)为奇函数，故排除A，C；当x＞0时，y＝ln x，只有B项符合.故选B.
函数f(x)＝lga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的单调递增区间是( )
A.(﹣∞，﹣2) B.(﹣∞，﹣1) C.(2，＋∞) D.(5，＋∞)
【答案解析】答案为：D.
解析：由函数f(x)＝lga(x2﹣4x﹣5)得x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5.令m(x)＝x2﹣4x﹣5，则m(x)＝(x﹣2)2﹣9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a＞1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.
设a＝lg50.5，b＝lg20.3，c＝lg0.32，则a，b，c的大小关系是( )
A.b＜a＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.a＞b＞c
【答案解析】答案为：B.
解析：a＝lg50.5＞lg50.2＝﹣1，b＝lg20.3＜lg20.5＝﹣1，c＝lg0.32＞lg0.3eq \f(10,3)＝﹣1，lg0.32＝eq \f(lg 2,lg 0.3)，lg50.5＝eq \f(lg 0.5,lg 5)＝eq \f(lg 2,－lg 5)＝eq \f(lg 2,lg 0.2).∵﹣1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴eq \f(lg 2,lg 0.3)＜eq \f(lg 2,lg 0.2)，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.
对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是( )
A.lg y﹣lg x＝lg eq \f(y,x) B.lg(x＋y)＝lg x＋lg y
C.lg x3＝3lg x D.lg x＝eq \f(ln x,ln 10)
【答案解析】答案为：B.
解析：由对数的运算性质可知lg x＋lg y＝lg(xy)，因此选项B错误.
函数f(x)＝eq \f(1,2)x2﹣2ln(x＋1)的图象大致是( )
【答案解析】答案为：A.
解析：∵函数f(x)＝eq \f(1,2)x2﹣2ln(x＋1)的定义域满足x＋1＞0，∴x＞﹣1.
当x＝0时，可得f(0)＝eq \f(1,2)×02﹣2ln(0＋1)＝0，则排除选项B、D；
又f(﹣eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)×(﹣eq \f(1,2))2﹣2×ln(﹣eq \f(1,2)＋1)＝eq \f(1,8)﹣lneq \f(1,4)＝eq \f(1,8)＋ln 4＞0，则排除选项C.故选A.
已知函数f(x)＝lg(eq \r(1＋4x2)＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f(lneq \f(1,2))＝( )
A.4 B.2 C.1 D.0
【答案解析】答案为：A.
解析：由函数f(x)的解析式可得：f(x)＋f(﹣x)
＝lg(eq \r(1＋4x2)＋2x)＋2＋lg(eq \r(1＋4x2)﹣2x)＋2＝lg(1＋4x2﹣4x2)＋4＝4，
∴f(ln 2)＋f(lneq \f(1,2))＝f(ln 2)＋f(﹣ln 2)＝4.故选A.
若函数y＝lg2(mx2﹣2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.(0,3) B.[0,3) C.(0,3] D.[0,3]
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意知mx2﹣2mx＋3＞0恒成立.当m＝0时，3＞0，符合题意；
当m≠0时，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝－2m2－12m<0，))解得0＜m＜3.综上0≤m＜3，故选B.
已知函数f(x)＝lga(2x﹣a)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，1) B.[eq \f(1,3)，1) C.(eq \f(2,3)，1) D.[eq \f(2,3)，1)
【答案解析】答案为：A.
解析：当0＜a＜1时，函数f(x)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上是减函数，所以lga(eq \f(4,3)﹣a)＞0，即0＜eq \f(4,3)﹣a＜1，解得eq \f(1,3)＜a＜eq \f(4,3)，故eq \f(1,3)＜a＜1；当a＞1时，函数f(x)在区间(eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(1,2)，eq \f(2,3)eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(,,,,)))上是增函数，所以lga(1﹣a)＞0，即1﹣a＞1，解得a＜0，此时无解.综上所述，实数a的取值范围是(eq \f(1,3)，1).
二、填空题
已知4a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝________.
【答案解析】答案为：2.
解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝lg410，eq \f(1,a)＝lg 4，b＝lg510，eq \f(1,b)＝lg 5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
计算： SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案解析】答案为：26.
解析：原式＝1﹣lg 3＋lg 3＋25＝26.
已知a＞0，且a≠1，函数y＝lga(2x﹣3)＋eq \r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
【答案解析】答案为： SKIPIF 1 < 0 .
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝lga(2x﹣3)＋eq \r(2)的图象恒过点P(2，eq \r(2))，
则2α＝eq \r(2)，所以α＝eq \f(1,2)，故幂函数为f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 .
已知函数f(x)＝lga(8﹣ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：(1，eq \f(8,3)).
解析：当a＞1时，f(x)＝lga(8﹣ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝lga(8﹣2a)＞1，解得1＜a＜eq \f(8,3).当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝lga(8﹣a)＞1，解得a＞4，且0＜a＜1，故不存在.综上可知，实数a的取值范围是(1，eq \f(8,3)).
三、解答题
已知函数f(x)＝lg(x＋eq \f(a,x)﹣2)，其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围.
【答案解析】解：(1)由x＋eq \f(a,x)﹣2＞0，得eq \f(x2－2x＋a,x)＞0，
当a＞1时，x2﹣2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1﹣eq \r(1－a)或x＞1＋eq \r(1－a)}.
(2)设g(x)＝x＋eq \f(a,x)﹣2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1﹣eq \f(a,x2)＝eq \f(x2－a,x2)＞0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.则f(x)min＝f(2)＝lgeq \f(a,2).
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)＞0.
即x＋eq \f(a,x)﹣2＞1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a＞3x﹣x2.令h(x)＝3x﹣x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a＞2时，恒有f(x)＞0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
已知函数f(x)＝lga(3﹣ax).
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
【答案解析】解：(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3﹣ax，
则t(x)＝3﹣ax为减函数，
当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3﹣2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3﹣ax＞0恒成立.
∴3﹣2a＞0，∴a＜eq \f(3,2).
又a＞0且a≠1，∴a∈(0,1)∪(1,eq \f(3,2)).
(2)由(1)知函数t(x)＝3﹣ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝lgat在[1,2]上为增函数，∴a＞1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3﹣2a，f(x)的最大值为f(1)＝lga(3﹣a)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2a>0，,lga3－a＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.